8.3.2　第2课时　球的表面积和体积（教学设计) 数学人教A版必修第二册

8.3.2　第2课时　球的表面积和体积 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019选择性必修第二册第八章“立体几何初步”中8.3.2节的第2课时内容，核心围绕球的表面积和体积展开，具体包括：球的表面积和体积计算公式的推导过程；球的表面积、体积公式的直接应用；与球有关的切接问题（正方体内切球、外接球，圆柱与内切球等）求解；结合半球、圆柱等构成的组合体，运用球的公式解决表面积和体积计算问题；通过浮标涂漆、零件加工等实际情境，实现球的度量公式在生活和工程中的综合应用。 内容解析 本节是旋转体度量知识的深化与拓展，承接第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式，以及立体几何中“空间问题平面化” “复杂问题简单化”的数学思想。球作为特殊的旋转体，无侧面展开图，其表面积和体积公式的推导需借助极限思想，将球分割为无数个小锥体求和，是对“无限逼近”思维的首次正式渗透，也是培养学生逻辑推理和直观想象素养的关键载体。 从知识关联看，球的公式推导建立在球的结构特征、圆的面积公式以及锥体体积公式基础上，同时球的切接问题又将球与多面体、柱体等几何体紧密联系，实现了旋转体与多面体的度量融合；从学习意义看，本节课的学习让学生完成对四类旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）度量知识的系统建构，掌握“分析几何结构—提取关键量—套用公式—精准计算”的解题流程，为后续复杂组合体的度量和空间几何综合应用奠定基础。 本节课的核心思想为极限思想和转化思想：利用极限思想实现球的体积公式推导，利用转化思想将球的切接问题、组合体问题转化为基本几何体的度量问题，同时让学生体会数学知识从具体到抽象、从特殊到一般的发展规律。 教学目标 1. 理解球的表面积和体积公式的推导逻辑，尤其是极限思想在推导中的应用，能准确表述球的表面积和体积计算公式，并明确公式中各字母的几何意义。 1. 能根据球的半径直接套用公式计算表面积和体积，能解决与球有关的切接问题（正方体内切球、外接球，圆柱内切球等），掌握关键量（半径、棱长、高）之间的转化关系。 1. 能处理含球的组合体（如半球+圆柱）的表面积和体积计算，正确处理拼接面的面积取舍，能运用球的公式解决浮标涂漆等简单实际问题。 1. 体会极限思想、转化思想在几何度量中的应用，提升空间想象能力、数学运算能力和逻辑推理能力，感受数学与生活、工程技术的联系，增强数学建模素养和实际应用意识。 目标解析 1. 能独立阐述将球分割为小锥体推导体积公式的过程，能准确写出球的表面积公式球和体积公式球，并能根据已知条件求出球的半径。 1. 给定球的半径/直径，能快速计算表面积和体积；对于球的切接问题，能找准球心位置，建立球半径与几何体棱长、高的等量关系，完成公式代入和计算。 1. 对于含球的组合体，能分析其组成结构，准确判断需要计算的面（舍去拼接面），结合球、圆柱等公式完成表面积和体积计算；能从实际问题中提取球的几何模型，明确已知量和待求量，验证计算结果的合理性。 1. 能总结球的表面积、体积及切接问题的解题步骤，能解释圆柱内切球与圆柱的体积、表面积比例关系的推导逻辑，能运用割补法、等积法处理与球相关的复杂几何体度量问题。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立准确写出球的表面积公式球和体积公式球，清晰阐述球的体积公式推导中极限思想的应用过程，能说明球的表面积与体积公式的关联。 2. 给定球的半径、直径等已知条件，能直接套用公式精准计算表面积和体积；面对圆柱与球的内切、正方体与球的切接等问题，能找准球心位置，建立球半径与几何体棱长、高、底面半径的等量关系，完成相关计算。 3. 能分析含球组合体（如半球+圆柱）的结构特征，准确判断拼接面并舍弃其面积，熟练运用割补法、公式法计算组合体的表面积和体积；能从浮标涂漆、零件加工等实际问题中提取球的几何模型，明确已知量与待求量，代入公式计算并验证结果的合理性。 4. 能总结球的表面积、体积及含球组合体的解题步骤，清晰解释圆柱内切球与圆柱体积比为定值的推导逻辑；能对比圆柱、圆锥、圆台与球的度量方法，梳理旋转体度量的共性思路，在解题中能规避拼接面重复计算、切接问题找错球半径等常见错误。 5. 能在小组讨论中清晰表达球的公式推导思路和组合体解题方法，能独立完成教材例题、变式题及基础巩固练习，且计算准确率达标，能运用旋转体度量知识解决简单的工程、生活实际问题。 本节课的学习对象为高中选择性必修阶段的学生，在学习本节课前，学生已具备以下基础： 1. 掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式，理解组合体表面积中“拼接面不计算”的原则，会用割补法处理简单组合体的度量问题。 1. 认识球的结构特征，能画出球的直观图，明确球的半径、直径的几何意义，具备平面几何中圆的周长、面积公式的应用能力。 1. 具备基本的代数运算、方程求解能力，初步体会过“转化思想” “类比思想”在立体几何中的应用。 学生的认知难点主要体现在： 1. 空间想象能力不足，对球的体积公式推导中“将球分割为无数小锥体，小锥体高近似为球半径，底面积和为球的表面积”的极限思想理解困难，难以建立“无限分割—逼近求和”的思维模型。 1. 球的切接问题中，无法快速找准球心的位置，难以建立球半径与正方体、圆柱等几何体关键量的等量关系，对“内切” “外接”的几何特征把握不准确。 1. 含球的组合体表面积计算中，容易忽略半球与圆柱等几何体的拼接面，出现重复计算或漏算的问题；体积计算中，对复杂组合体的模型转化不灵活。 1. 从实际问题中提取球的几何模型时，容易忽略实际条件（如涂料损耗、几何体实际尺寸），导致数学模型与实际问题脱节。 基于以上分析，确定本节课的：教学重点：球的表面积和体积公式及其应用；与球有关的切接问题求解；含球组合体的表面积和体积计算。教学难点：球的体积公式推导中的极限思想；球的切接问题中球心位置确定和关键量的转化；含球组合体中拼接面的面积处理。 知识点　球的表面积和体积 1．球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积S球＝4πR2． 2．球的体积 如果球的半径为R，那么它的体积V球＝πR3． 导入新知1： 浮标涂漆的材料计算 某渔业公司需要制作一批半球+圆柱结构的浮标，半球的直径为0.3m，圆柱高0.6m，要在浮标表面涂防水漆，每平方米需0.5kg涂料。思考以下问题： 1. 该浮标的半球部分需要计算的表面积是多少？球的表面积公式是什么？ 1. 计算浮标表面积时，半球与圆柱的黏合面是否需要计算？为什么？ 1. 要计算涂漆的涂料用量，核心需要解决什么数学问题？ 导入新知2：正方体零件的球面加工 某机械厂将棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个最大的球形零件，思考以下问题： 1. 磨制的最大球形零件与正方体是什么位置关系？球的直径与正方体的棱长有什么关系？ 1. 要计算球形零件的体积，需要先求出什么量？球的体积公式是什么？ 1. 磨去部分的体积如何计算？需要用到哪些几何体的体积公式？ 设计意图： 1. 情境1贴近工程实际，情境2贴近零件加工实际，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发解决实际问题的兴趣。 1. 两个情境分别指向球的表面积、体积公式的应用，同时涉及含球组合体、球的切接问题，直接呼应本节课核心知识点，为新知探究做好铺垫。 1. 通过问题链引导学生经历“分析实际问题—提取几何模型—明确关键量”的过程，渗透数学建模思想，同时引出本节课的探究主题：球的表面积和体积。 知识点1：球的表面积公式 2．球的表面积和体积 设球的半径为，它的表面积只与半径有关，是以为自变量的函数． 事实上，如果球的半径为，那么它的表面积是 ． 在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？ 例3 如图8.3-4，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14） 解：一个浮标的表面积为 ， 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 【变式】万花筒（Kaleidoscope），是由苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特爵士发明的一种光学玩具，将有鲜艳颜色的实物放于圆筒的一端，圆筒中间放置一正三棱镜（正三棱柱），另一端用开孔的玻璃密封，由孔中看去即可观测到对称的美丽图像．如图，已知正三棱镜底面边长为6cm，高为16cm，现将该三校镜放进一个圆柱形容器内，则该圆柱形容器的侧面积至少为（    ）（容器壁的厚度忽略不计，结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆柱表面积的有关计算、正弦定理求外接圆半径 【分析】由题意，满足题意的圆柱的高即为三棱柱的高，圆柱上下底面的圆恰好是三棱锥上下底面的外接圆，据此求出圆柱的各项数据. 【详解】由题意，圆柱的高为16cm，底面圆即为三棱柱底面的外接圆，设底面圆半径为，由正弦定理，边长6cm等边三角形外接圆半径满足，故，于是侧面积为. 故选：B 【感悟提升】　求几何体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 知识点2：球的体积公式 思考 在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？ 类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图8.3-5，把球的表面分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个“小锥体”． 当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径．设是其中一个“小锥体”，它的体积是 由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和，而这个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此，球的体积 ． 由此，我们得到球的体积公式 例4 如图8.3-6，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比． 解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为． ，． 【变式】古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据题意，分别计算出圆柱的体积和球的体积，进而可以得出它们的比为定值. 【详解】 设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以 . 故选：B 本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法．在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算． 【感悟提升】　求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算．　 1.（25-26高三上·江苏南通·月考）在所有棱长为2的直三棱柱密闭容器内（厚度忽略）放置一个最大的球，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正棱柱及其有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】求出直三棱柱底面的内切圆半径，并比较此时圆的直径与直三棱柱的高的大小，求出能放置的最大的球的半径，可得其表面积. 【详解】易知所有棱长为2的直三棱柱底面是边长为2的正三角形， 因为边长为2的正三角形的内切圆半径满足, 解得； 因为球的直径要同时小于等于直三棱柱的高和底面内切圆的直径， 即且，所以球的最大半径为， 则球的表面积为. 故选：B. 2.（25-26高二上·上海·期末）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】将直三棱柱补成长方体，将问题转化为求解长方体外接球半径即可. 【详解】由，可知，，故， 将直三棱柱补成如图所示， 以为邻边的长方体， 故直三棱柱外接球半径等于长方体体对角线一半，即半径， 所以球的表面积为， 故答案为：. 3.（2026·湖北荆门·模拟预测）“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 【答案】B 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设球的半径为 ，分别求出球的体积与圆柱体积，以及球的表面积与圆柱的表面积，即可得解． 【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，，所以． 故选：B. 4.（25-26高三上·北京朝阳·期末）古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用球的体积公式和圆柱的表面积公式求解. 【详解】解：可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于直径，圆柱的高等于， 球的体积为，， ， 圆柱的表面积公式为. 故选：D. 5.（2026·四川绵阳·模拟预测）体积为的圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】利用圆柱的体积公式及球的表面积公式计算即可. 【详解】设该圆柱的高和底面圆半径分别为，球的半径为R， 则， 所以球的表面积为. 故选：B 6.（25-26高三上·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意画出图形，由体积可算得正四棱锥的高，再由勾股定理可求得外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 7.（2026高二上·云南·学业考试）某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】根据球的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意可得手持弹力球的半径是， 故手持弹力球的体积为. 故选：B 8.（25-26高二上·上海·期末）已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为，则这个球的体积为 . 【答案】/ 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据圆柱的高和底面直径求出球的半径，再利用球的体积公式计算球的体积. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则， 由，所以， 所以球的体积. 故答案为： 9.（25-26高二上·上海·期末）已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为，则这个球的体积为 . 【答案】/ 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据圆柱的高和底面直径求出球的半径，再利用球的体积公式计算球的体积. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则， 由，所以， 所以球的体积. 故答案为： 10.（25-26高三上·天津蓟州·期末）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】画出示意图，根据球的性质确定球心，利用数量关系列式求解球的半径，代入球的体积公式即可得解. 【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，， 设圆锥和圆柱的高为，则，， 因为，所以， 所以，所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：A. 1.（2026·山东·一模）若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设大球的半径为，小球的半径为，根据球的表面积公式得到，再由体积公式计算即可求解. 【详解】设大球的半径为，小球的半径为，两个球的表面积之比为，所以， 所以，球的体积之比为. 故选：D. 2.（2026·河南鹤壁·一模）一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，可得当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，设球的半径为，再根据勾股定理求出球的半径可得答案. 【详解】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为，体积为高， 设球的半径为，由图可得，解得， 故球的表面积的最小值为 故选：C    3.（多选题）（2026·湖南邵阳·一模）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 【答案】AD 【知识点】圆台的结构特征辨析、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先做出圆台的轴截面，利用数形结合思想，根据各个选项所给条件逐一进行判断和运算即可. 【详解】取圆台的一个轴截面，则，如图（1）所示． 对于选项A，过点作的垂线，交于点，连接，则，所以内切球直径，内切球半径， 所以圆台的内切球体积，故选项A正确； 对于选项B，如图（2），在轴截面中，于点． 因为，所以． 设，则，所以． 所以圆台的外接球的表面积，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以． 如图（3）所示，当外接球球心点在之间时，圆台的母线， 圆台的表面积． 当外接球的球心在的延长线上时，如图（4）所示，圆台的母线， 圆台的表面积，故选项C错误； 对于选项D，外接球半径，由选项C分析可知，圆台的高或1． 所以圆台的体积， 当时，；当时，，故选项D正确． 故选：AD 4.（多选题）（25-26高二上·四川达州·期末）现有一圆台形铁坯，其上、下底面半径分别为1，3，高为4，则（   ） A．该铁坯对应圆台的侧面积为 B．该铁坯对应圆台的外接球的表面积为 C．用该铁坯可以车削出一个半径为2的铁球 D．用该铁坯可以车削出一个体积为的圆柱 【答案】ABD 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算、球的截面的性质及计算 【分析】根据简单几何体的表面积、体积计算公式逐项计算即可. 【详解】圆台上底半径，下底半径，高， 圆台母线. 选项A：由圆台侧面积公式.故A正确. 选项B：设外接球的球心到下底面的距离为，球半径为， 则球心到上底面的距离为. 由勾股定理，， 即，解得. 所以. 所以外接球的表面积为.故B正确. 选项C：圆台轴截面为等腰梯形（上底2，下底6，高4，腰长）. 梯形面积为，周长为. 设车削出球的最大半径为，则该球过球心的截面圆为梯形的内切圆， 所以，即，解得.故C错误. 选项D：设圆柱的底面半径为，高为，建立直角坐标系， 圆台轴截面等腰梯形腰（右侧）所在直线为：，即 圆柱体积：. 令，即，整理得解得或（舍去）， 所以，该铁坯可以车削出一个体积为的圆柱.故D正确. 故选：ABD. 1. 知识清单 (1) 球的表面积公式：球（为球的半径）； (2) 球的体积公式：球（为球的半径）； (3) 球的切接问题：正方体内切球直径=正方体棱长，正方体外接球直径=正方体体对角线长；圆柱内切球直径=圆柱的高=圆柱底面直径。 2. 方法归纳 (1) 球的度量核心：求出球的半径，是解决所有球的问题的关键； (2) 组合体计算：分析结构→处理拼接面→分割/补形→套用公式； (3) 切接问题：找准球心→建立半径与几何体关键量的关系→解方程求半径； (4) 体积计算方法：公式法、等积法、补体法、分割法。 3. 常见误区 (1) 球的体积公式记忆错误，易漏掉的系数； (2) 含球组合体表面积计算中，重复计算半球与圆柱的拼接面； (3) 球的切接问题中，混淆内切球和外接球的几何特征，找错球心位置； (4) 实际问题中，忽略单位换算或实际条件（如涂料损耗、几何体实际尺寸）。 教材第 119 页第 1,3 题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第119页） 1．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径． 解：设圆锥的底面半径为，母线长为则由题意得 ① 又圆锥的侧面展开图为半圆，，即 ② 将②式代入①式得，，即． 故圆锥的底面直径为． 2．当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 解：设球的半径为时，其体积和表面积的数值相等．则，． 即球的半径时，其体积和表面积的数值相等． 3．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积． 解：由题意知，球内切于正方体，，． ，即可制作的最大零件的体积为． 4．一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200 000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球．如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 解：，水中球的体积， ，． 故水不会从水槽中溢出． 习题5.2（第119页） 1．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一个平面内．如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 1．解：由题意，每个面都是边长为的正三角形， ， 即这个八面体的表面积是． 2．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比． 解： 设长方体的三条棱长分别为，，，则 ， 剩下的几何体的体积 ， 所以棱雉的体积与剩下的几何体的体积之比为 3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点．那么当底面水平放置时，水面高为多少？ 解：当三棱柱的侧面水平放置时，液体部分是四棱柱， 其高即为原三棱柱的高，侧棱长．设当底面水平放置时，液面高度为，由已知条件，知四棱柱与三棱柱的底面面积之比为，由于两种状态下液体体积相等，即，，∴当底面水平放置时，液面高为6． 4．如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 解：设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则，． 又可知圆柱母线长，圆锥母线长． 剩下几何体的表面积． 剩下几何体的体积． 答：剩下几何体的表面积为，体积为 ． 5．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是cm，求球的体积． 解：正方体的棱长为cm，正方体的体对角线长为 球的半径 综合运用 6．如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是一个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）．为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到1cm2，可用计算工具）． 解： 由题意， 需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积． 四棱台的斜高 故需要瓷砖的面积为 ． 7．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.9×103kg/m3）六角螺母共重5.8kg．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，π取3.14） 解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即 所以螺帽的个数为 答：这堆螺帽大约有248个． 8．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积之间有什么关系？ 解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为． 以边长为的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，其体积为，记为．同理，以边长为的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体也是圆锥，其体积为，记为．以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥组合而成的简单组合体，其体积为 ，记为．所以 ． 9．如下页图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积．（可用计算工具，尺寸如图，单位：cm，取3.14，结果取整数．） 9．解析：由三视图画出它的直观图如图所示 ，球的直径为，， ，，，． 四棱台的面上的斜高， 四棱台的面上的斜高， ，， ，， ， ∴奖杯的表面积， 奖杯的体积． 奖杯的表面积约为，体积约为． 本节课结束后，从以下四个方面进行教学反思，及时优化教学方法，提升教学效果，突破教学重难点： 1. 学生对球的体积公式推导中的极限思想理解是否到位？是否需要通过动画演示、实物模型等直观手段进一步辅助教学？ 1. 学生在球的切接问题中，是否能快速找准球心位置并建立关键量的关系？错题主要集中在哪些类型的切接问题上？ 1. 例题和练习的难度梯度是否合理？是否需要增加更多基础型的切接问题习题，帮助学生逐步突破难点？ 1. 学生的数学核心素养（直观想象、数学运算、数学建模）是否得到有效提升？在实际问题的解决中，学生是否能快速提取几何模型，准确处理实际条件？ 学科网（北京）股份有限公司 $