8.3.2　第2课时　球的表面积和体积（教学课件）数学人教A版必修第二册

第8章 立体几何初步 8.3.2　第2课时　球的表面积和体积 人教A版· 必修第二册· 学习目标 1.理解球的表面积和体积公式的推导逻辑，尤其是极限思想在推导中的应用，能准确表述球的表面积和体积计算公式，并明确公式中各字母的几何意义。 2.能根据球的半径直接套用公式计算表面积和体积，能解决与球有关的切接问题（正方体内切球、外接球，圆柱内切球等），掌握关键量（半径、棱长、高）之间的转化关系。 3.能处理含球的组合体（如半球+圆柱）的表面积和体积计算，正确处理拼接面的面积取舍，能运用球的公式解决浮标涂漆等简单实际问题。 4.体会极限思想、转化思想在几何度量中的应用，提升空间想象能力、数学运算能力和逻辑推理能力，感受数学与生活、工程技术的联系，增强数学建模素养和实际应用意识。 目录 CATALOG 01.球的表面积 03.题型强化训练 02. 球的体积 04.小结及随堂练习 8.3.2　第2课时　球的表面积和体积 01 球的表面积 导入新知1：定制鱼缸的材料预算问题 家里准备打造一个创意鱼缸，主体是底面半径0.4m、高0.8m的圆柱体，顶部加装与底面完全贴合的半球形玻璃罩（半球半径与圆柱底面半径相同）；鱼缸无盖，底部为承重玻璃，侧面和半球罩为透明观赏面。已知每平方米玻璃单价120元，制作需预留0.1㎡损耗面积，需计算制作鱼缸至少需要花费多少元购买玻璃。 1. 这个鱼缸的几何模型由哪两个基本旋转体组成？它们的连接方式有什么特点？ 2. 计算玻璃用量时，需要求几何体的表面积还是体积？哪些面需要计算，哪些面是重合或无需计算的？ 3. 圆柱和半球的表面积公式分别是什么？需要知道哪些关键数据才能计算？ 4. 如何将损耗面积合理计入总玻璃用量，确保预算准确？ 导入新知2：快递包装的优化方案 某电商平台需给直径10cm的球形商品设计包装，提供两种方案：方案一采用正方体纸盒，球体恰好放入且与正方体六个面都相切；方案二采用圆柱形纸盒，球体为圆柱的内切球，圆柱的高与底面直径均等于球的直径。已知包装纸成本与纸盒表面积成正比，需判断哪种方案更节省包装纸，以及1000件商品两种方案的包装纸成本差额。 1. 方案一中的正方体与球体、方案二中的圆柱与球体分别是什么位置关系？如何建立球体半径与正方体棱长、圆柱底面半径和高的关系？ 2. 正方体和圆柱的表面积公式是什么？需要先求出哪些关键数据才能计算两种纸盒的表面积？ 3. 球体的内切体问题有什么共性规律？如何快速找到几何体关键量之间的联系？ 4.从成本优化角度，为什么需要比较两种方案的表面积？这体现了数学在实际决策中的什么作用？ 学习新知 O 学习新知 例3： 如图8.3-4，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 球的表面积的有关计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 球的表面积的有关计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 球的表面积的有关计算 02 球的体积 8.3.2　第2课时　球的表面积和体积 学习新知 【思考】 小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗?类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式? 第一步：分割．如图所示将球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”． 学习新知 第二步：近似替代．当n越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体” 的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是 第三步：由近似和求得球体积．由于球的体积是这n个“小锥体”的体积 之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此球的体积： 学习新知 学习新知 【详解】 学习新知 【感悟提升】 求几何体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 圆柱表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 球的表面积的有关计算 学习新知 例4： 如图8.3-6，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 球的体积的有关计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 球的体积的有关计算 学习新知 【变式】 古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（ ） 【详解】 学习新知 【感悟提升】 求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算． 学习新知 本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法．在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 球的体积的有关计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 球的体积的有关计算 03 题型强化训练 8.3.2　第2课时　球的表面积和体积 能力提升 题型一：球的表面积与体积 【练习4】 能力提升 题型一：球的表面积与体积 球的体积与表面积的求法及其注意事项 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了． 能力提升 题型二：与球有关的切接问题 【练习5】 【详解】 能力提升 题型二：与球有关的切接问题 与球有关的切接问题的一般处理方法 （1）正方体的内切球 能力提升 题型二：与球有关的切接问题 与球有关的切接问题的一般处理方法 （2）长方体的外接球 （3）正四面体的外接球 学习新知 球的切接问题处理策略及常用结论 04 小结及随堂练习 8.3.2　第2课时　球的表面积和体积 课堂总结1 1．知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台的表面积． (2)圆柱、圆锥、圆台的体积． (3)球的表面积和体积． 2．方法归纳：公式法． 3．常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚． 课堂总结2 圆柱的体积： 圆锥的体积： 棱柱的体积: 棱锥的体积： 棱台的体积: 圆台的体积: 球 课堂总结3 作业 教材第 119 页第 1,3 题 8.3.2　第2课时　球的表面积和体积 3．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积． 正方体的内切球 内切球的直径等于正方体的棱长 练习（第119页） 4.一个长、宽、高分别是80cm,60cm,55cm的水槽中有水200 000cm3.现放入一个直径为50cm的木球,如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否会从水槽中流出? 练习（第119页） 5.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是a cm,求球的体积. 习题5.2（第119页） 9.如图是一个奖杯的三视图,试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(尺寸如图,单位:cm,π取3.14,精确到1 cm3,可用计算器). 由三视图画出它的直观图如图所示 习题5.2（第119页） 习题5.2（第119页） 习题5.2（第119页） 习题5.2（第119页） 人教A版· 必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 在所有棱长为2的直三棱柱密闭容器内（厚度忽略）放置一个最大的球， 则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】易知所有棱长为2的直三棱柱底面是边长为2的正三角形， 因为边长为2的正三角形的内切圆半径满足, 解得；因为球的直径要同时小于等于直三棱柱的高和底面内切圆的直径， 即且，所以球的最大半径为，则球的表面积为. 故选：B. 已知直三棱柱 的6个顶点都在球 的球面上， 若 ， ，则球 的表面积为 ． 【详解】由，可知，， 故，将直三棱柱补成如图所示， 以为邻边的长方体， 故直三棱柱外接球半径等于长方体体对角线一半， 即半径， 所以球的表面积为， 故答案为：. 3. “圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为 ，表面积之比为 ，则（    ）   A． ， B． C． ， D． 【详解】设球的半径为，则球的体积为， 圆柱的体积为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，，所以． 故选：B. 【变式】万花筒（Kaleidoscope），是由苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特爵士发明的一种光学玩具，将有鲜艳颜色的实物放于圆筒的一端，圆筒中间放置一正三棱镜（正三棱柱），另一端用开孔的玻璃密封，由孔中看去即可观测到对称的美丽图像．如图，已知正三棱镜底面边长为6cm，高为16cm，现将该三校镜放进一个圆柱形容器内，则该圆柱形容器的侧面积至少为（    ）（容器壁的厚度忽略不计，结果保留 ） A． B． C． D． 由题意，圆柱的高为16cm，底面圆即为三棱柱底面的外接圆， 设底面圆半径为 ，由正弦定理，边长6cm等边三角形外接圆半径满足，故 ，于是侧面积为 . 故选：B 4. 古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的 ，且球的表面积也是圆柱表面积的 ．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为 ，则该模型中圆柱的表面积为（   ）   A． B． C． D． 【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于直径，圆柱的高等于，球的体积为， ，， 圆柱的表面积公式为. 故选：D. 5. 体积为 的圆柱的底面直径和高都等于球 的直径，则球 的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设该圆柱的高和底面圆半径分别为，球的半径为R， 则， 所以球的表面积为. 故选：B 正四棱锥 的体积为8， ，若该四棱锥的顶点均在一个球面上， 则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则，又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 7. 某种手持弹力球的半径是 ，则这种手持弹力球的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得手持弹力球的半径是， 故手持弹力球的体积为. 故选：B 已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为 ， 则这个球的体积为 . 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 则，由，所以， 所以球的体积. 故答案为： A． B． C． D． 设球的半径为 ，则圆柱的底面半径为 ， 高为 ，所以 . 故选：B 已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为 ， 则这个球的体积为 . 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 则，由，所以， 所以球的体积. 故答案为： 10.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图， 是圆锥的锥顶， 是圆柱上底面的圆心， 是圆柱下底面的圆心， EMBED Equation.DSMT4 是圆球的圆心， 是圆柱上底面和圆球的交点， ， 设圆锥和圆柱的高为 ，则 ， ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以球的半径为 ，所以球的体积为 . 故选：A. 则内切球的体积 . 故选：B. 已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为 ， 则该圆锥的内切球体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设圆锥的底面半径为 ,因为圆锥的轴截面为等边三角形, 所以圆锥的母线长为 依题意： ,解得 . 设圆锥的内切球半径为 ,又圆锥的轴截面为等边三角形， 所以 ， 已知球的表面积为 ，则它的内接正方体的表面积S的值是（    ） A． B． C． D． ． 设球的内接正方体的棱长为 ， 球的半径为 ， 因为 ，所以 ， 因为正方体内接于球，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以正方体的表面积 故选：B． 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球， 此时球的半径为r1＝ eq \f(a,2) ， 过在一个平面上的四个切点作截面如图(1).　 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝ eq \f(\r(6),2) a.　　 b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径 为r2＝ eq \f(1,2) eq \r(a2＋b2＋c2) ，如图(2).　　 (1)在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等； (2)几个常用结论 ①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径； ②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径； ③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； ④球与棱锥相切，则可利用V棱锥＝eq \f(1,3)S底h＝eq \f(1,3)S表R，求球的半径R.　　　　 $