专题03勾股定理同步专项训练(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题03勾股定理同步专项训练 【题型01 用勾股定理理解三角形】...................................3 【题型02 已知两点坐标求两点距离】.................................4 【题型03 勾股数问题】.............................................4 【题型04 以直角三角形三边为边长的图形面积】.......................5 【题型05 勾股定理与网格问题】.....................................6 【题型06 勾股定理与折叠问题】.....................................7 【题型07 利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】......................8 【题型08 利用勾股定理证明线段平方关系】...........................8 【题型09 勾股定理的证明方法】.....................................9 【题型10 以弦图为背景的计算题】..................................10 【题型11 用勾股定理构造图形解决问题】............................11 【题型12 勾股定理与无理数】......................................12 【解答题5题】....................................................13 ★知识梳理★ ☞知识点01:勾股定理☜ 内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c， 那么：a2+b2=c2 适用条件只适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不成立。 ☞知识点02:勾股定理的逆定理☜（判断直角三角形） 内容 如果三角形的三边长a、b、c满足： a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 几何语言： 在 △ABC 中，若 AC2+BC2=AB2，则 △ABC 为直角三角形，且 ∠C=90∘。 勾股数 满足a2+b2=c2的正整数，常见： 3，4，5 5，12，13 6，8，10 7，24，25 8，15，17 ☞知识点03:勾股定理的基本应用☜ 已知两边求第三边 在 Rt△ABC 中，∵ ∠C = 90°，AC = b，BC = a，AB = c， 求斜边：c= 已知斜边c和一直角边a， 求另一直角边：b= ☞知识点04:易错点提醒☜ 1.必须先确认是直角三角形再用勾股定理。 2.分清直角边和斜边，不要代错公式。 3.勾股数必须是正整数，小数、分数不算勾股数。 【题型1.用勾股定理理解三角形】 【典例】如图，在做小球摆动实验时，淇淇发现当小球（看作一个点）静止时，位于点处，当小球摆动到点时，小球与静止位置时的高度差，与静止位置时的水平距离，则摆线的长度是 ． 【跟踪专练1】如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为．若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点为点的对应点），顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为，则此时电脑顶部边缘上升的高度为 ． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型2.已知两点坐标求两点距离】 【典例】已知点和，则线段的长度为 ． 【跟踪专练1】如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，且．若，则的长为 ． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3.勾股数问题】 【典例】满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 【跟踪专练1】勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8 【跟踪专练2】定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的值为 ． 【跟踪专练3】下列各组3个数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C． D．8，15，17 【题型4.一直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例】如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 ． . 【跟踪专练1】如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 【跟踪专练2】如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【跟踪专练3】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 【题型5.勾股定理与网格问题】 【典例】如图，这是象棋盘的一部分，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走1步后的落点与出发点间的距离为 ． 【跟踪专练1】如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段上的点之间的最小值为 ． 【跟踪专练3】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长不可能是（   ）． A． B． C． D． 【题型6.勾股定理与折叠问题】 【典例】如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是    【跟踪专练1】如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型7.利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】 【典例】若一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为6，10，则第三边长为 ． 【跟踪专练1】在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【跟踪专练2】如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【跟踪专练3】在中，，，，三个内角的平分线交于点，则点到的距离为（　　　） A．1cm B．2cm C．cm D．cm 【题型8.利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例】在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 【跟踪专练2】如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则 ． 【题型9.勾股定理的证明方法】 【典例】如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是 (用字母表示)． 【跟踪专练1】下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个． 【跟踪专练3】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【题型10.以弦图为背景的计算题】 【典例】“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 ． 【跟踪专练1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【跟踪专练2】如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练3】某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（    ） A． B．5 C． D． 【题型11.用勾股定理构造图形解决问题】 【典例】如图，一支铅管放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若铅笔长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的最小值是 ．    【跟踪专练1】明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 【跟踪专练2】明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为 ． 【跟踪专练3】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型12.勾股定理与无理数】 【典例】如图，点A表示的实数是 ． 【跟踪专练1】如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是 ． 【跟踪专练3】．如图，已知，则点在数轴上所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．已知，图、图中每个小正方形的边长均为． (1)图中阴影正方形的边长为________，该边长介于两个相邻整数________和________之间； (2)请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出图中阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数； (3)请在图的的方格内作出边长为的正方形． 2．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连结，，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 4．如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 5．某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： (1)如图，在中，若，，则有； 证明：∵，， ∴（依据： ① ） ∴（依据： ② ） (2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至，两点，使得…… 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03勾股定理同步专项训练 【题型01 用勾股定理理解三角形】...................................3 【题型02 已知两点坐标求两点距离】.................................6 【题型03 勾股数问题】.............................................8 【题型04 以直角三角形三边为边长的图形面积】.......................10 【题型05 勾股定理与网格问题】.....................................13 【题型06 勾股定理与折叠问题】.....................................16 【题型07 利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】......................19 【题型08 利用勾股定理证明线段平方关系】...........................23 【题型09 勾股定理的证明方法】.....................................26 【题型10 以弦图为背景的计算题】...................................29 【题型11 用勾股定理构造图形解决问题】.............................32 【题型12 勾股定理与无理数】.......................................35 【解答题5题】.....................................................37 ★知识梳理★ ☞知识点01:勾股定理☜ 内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c， 那么：a2+b2=c2 适用条件只适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不成立。 ☞知识点02:勾股定理的逆定理☜（判断直角三角形） 内容 如果三角形的三边长a、b、c满足： a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 几何语言： 在 △ABC 中，若 AC2+BC2=AB2，则 △ABC 为直角三角形，且 ∠C=90∘。 勾股数 满足a2+b2=c2的正整数，常见： 3，4，5 5，12，13 6，8，10 7，24，25 8，15，17 ☞知识点03:勾股定理的基本应用☜ 已知两边求第三边 在 Rt△ABC 中，∵ ∠C = 90°，AC = b，BC = a，AB = c， 求斜边：c= 已知斜边c和一直角边a， 求另一直角边：b= ☞知识点04:易错点提醒☜ 1.必须先确认是直角三角形再用勾股定理。 2.分清直角边和斜边，不要代错公式。 3.勾股数必须是正整数，小数、分数不算勾股数。 【题型1.用勾股定理理解三角形】 【典例】如图，在做小球摆动实验时，淇淇发现当小球（看作一个点）静止时，位于点处，当小球摆动到点时，小球与静止位置时的高度差，与静止位置时的水平距离，则摆线的长度是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是设出摆线长度，利用勾股定理建立方程求解． 设摆线的长度为，则；由得；在中，根据勾股定理代入数值列方程，解方程即可得的长度． 【详解】解：设，则，， 在中，， 即， 展开得， 化简得， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，勾股定理． 根据勾股定理求出的长，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为． ∴点D表示的数为． 故选：D． 【跟踪专练2】某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为．若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点为点的对应点），顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为，则此时电脑顶部边缘上升的高度为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用知识点，掌握勾股定理在直角三角形中的计算方法是解题的关键． 先在中用勾股定理求出的长度，再根据，在中用勾股定理求出的长度，最后用减去得到顶部边缘上升的高度． 【详解】解：在中，根据勾股定理，可得： ∵，， ∴ ∴ ∵点为点的对应点，所以笔记本电脑的屏幕长度不变，即 ∴ 在中，根据勾股定理，可得： ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 此时电脑顶部边缘上升的高度为： ∵． 故答案为：13． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角求，是解题的关键． 延长，相交于点，构建直角，通过角所对的直角边是斜边的一半求得，通过勾股定理求出线段的长，根据线段和差关系求得，根据结合勾股定理、角所对的直角边是斜边的一半可求出，，由此即可求出． 【详解】解：如图，延长，相交于点． 在中，． ， ， ， ，． 在中，， ，且， 解得，， ． 故选：B． 【题型2.已知两点坐标求两点距离】 【典例】已知点和，则线段的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】由两点间距离公式，． 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，且．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了两点间的距离公式，正确的运算是解题的关键． 先求（1），再求出（2），再把（1）代入（2）即可求解． 【详解】解：，， （1）. 又， （2） 把（1）代入（2）得： 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及平面直角坐标系中点的坐标特征． 解题的关键在于分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，再结合点在轴上这一条件，确定点的位置． 【详解】解：当时 已知，根据两点间距离公式，可得． 因为点在轴上，设，则． 由，即，解得，此时点的坐标为或，有个点． 当时 设，，根据两点间距离公式，． 因为，且，所以． 两边同时平方可得，即． 开方得． 当时，，此时与原点重合，不符合三角形的定义，舍去． 当时，，此时点的坐标为，有个点． 当时 设，，，． 由，即． 两边同时平方可得． 展开得． 移项化简得，解得，此时点的坐标为，有个点． 综上，符合条件的点有，，，，共个． 故选D． 【题型3.勾股数问题】 【典例】满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可． 【详解】解：∵， ∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一）， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 【跟踪专练1】勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，勾股数是指三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的值为 ． 【答案】 7 41 【分析】本题考查数字规律探索和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据“邻近”勾股数组找到、、的关系，找到规律求出和即可． 【详解】解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组， ， ∵b是正整数， 为奇数， ∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数， ∴当时，（对应数组）； 当时，（对应数组）； 当时，下一个奇数为7， 验证：，， 满足且， ∴， 由规律可知，是第n个符合条件的奇数， ∴， ∴当时，． 故答案为：7；41． 【跟踪专练3】下列各组3个数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C． D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，正确记忆勾股数的定义是解题关键．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，不符合勾股数的定义； B、0.3，0.4，0.5不是整数，不符合勾股数的定义； C、，，，，不符合勾股数的定义； D、，符合勾股数的定义； 故选：D． 【题型4.一直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例】如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 ． . 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出是解决问题的关键．由勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， 在中，由勾股定理得： ， 即正方形A的面积为25； 故答案为：25． 【跟踪专练1】如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的直角边长的平方即为相应的正方形的面积． 由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：， ∵正方形的面积分别为36，64， ∴，， ， ． 故选：A． 【跟踪专练2】如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 则2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：． 【跟踪专练3】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选：B． 【题型5.勾股定理与网格问题】 【典例】如图，这是象棋盘的一部分，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走1步后的落点与出发点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：根据勾股定理，走1步后的落点与出发点间的距离为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，由勾股定理分别计算，，，的长度，即可获得答案． 【详解】解：由勾股定理可得，，，，． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段上的点之间的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用网格求三角形的面积，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理． 作，作于点，于点，根据勾股定理得出，最后根据等面积和垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，作，作于点，于点， 根据勾股定理得， 根据等面积可得， ∴， 根据垂线段最短可得，点A与线段上的点之间的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理网格问题，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：当在正方形的边上时，的长为：，，， 当在格点的对角线上时，如图， ，，， ，，， 综上，只有A符合题意． 故选：A． 【题型6.勾股定理与折叠问题】 【典例】如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是    【答案】 【分析】首先根据勾股定理设，求出AD、CD，再求出AB，相加即可． 【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点、重合， ∴， 设，则，故， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 则 在中， 由勾股定理得 ∴AC=5 ∴周长为AD+CD+AB= ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质，推出，根据三线合一，得到，求出，根据含30度角的直角三角形和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 故选C． 【题型7.利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】 【典例】若一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别为6，10，则第三边长为 ． 【答案】8 【分析】辩清一条直角边，一条斜边，用勾股定理直接求解； 【详解】解：由题可知，斜边是，一条直角边是，根据勾股定理，得； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，在直角三角形中，直角边是，斜边是，则；解题关键是熟记定理． 【跟踪专练1】在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【跟踪专练3】在中，，，，三个内角的平分线交于点，则点到的距离为（　　　） A．1cm B．2cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】由勾股定理解得，根据角平分线的性质，可得，过点，分别作三边的垂线段，继而证明，，，由全等三角形对应边相等的性质得到，，即可证明，最后利用三角形面积公式及等积法解题即可求得的值． 【详解】解：在中，，，， 是中三个内角的平分线的交点， 过点，分别作三边的垂线段，如图， 在与中， 同理得，， 又 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式及等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【题型8.利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例】在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：，，的对边分别是，，，， 为斜边， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【跟踪专练1】定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用， 将绕点B顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的性质得，进而说明，可得，接下来得出，可得答案． 【详解】如图所示．将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 可知， ∴， 即． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则 ． 【答案】12 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 【题型9.勾股定理的证明方法】 【典例】如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是 (用字母表示)． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 【跟踪专练1】下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据图形利用面积关系可得解． 【详解】解：对图①，大正方形的面积为：， 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故图①能证明勾股定理； 对图②，梯形的面积为， 也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图②能证明勾股定理； 对图③，大正方形的面积为：； 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图③能证明勾股定理； 对图④，大正方形的面积为：； 也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：, ，故图④不能证明勾股定理． 综上，图①②③可证明勾股定理，有个， 故答案为：． 【跟踪专练3】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 【题型10.以弦图为背景的计算题】 【典例】“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题利用13减去四个直角三角形的面积等于小正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴小正方形面积为1， ∴小正方形边长为1， 故答案为：1 ． 【跟踪专练1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 【跟踪专练2】如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 【跟踪专练3】某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，整式的混合运算，利用二次根式的性质化简等，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：A． 【题型11.用勾股定理构造图形解决问题】 【典例】如图，一支铅管放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若铅笔长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度． 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：； 故答案为：． 【跟踪专练1】明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设的长为尺， 尺，尺， 尺， 在中，尺，尺，尺，则由勾股定理得， 解得， 秋千绳索或的长度为尺， 故选：B． 【跟踪专练2】明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 设尺，用表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设尺， 尺，尺， 尺，尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得，， 解得：， 答：秋千绳索的长度是尺． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 【题型12.勾股定理与无理数】 【典例】如图，点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，从数轴上获取已知信息是解题的关键． 根据数轴上获取的条件和数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴点A表示的实数是：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，从而求出点坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【跟踪专练3】．如图，已知，则点在数轴上所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点间距离，勾股定理，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．由题意可得，，，点表示的数为，点表示的数为，进而得到，根据勾股定理求出，结合点所表示的数及、间距离可得点所表示的数． 【详解】解：由题意可得，，，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， 点在数轴上所表示的数为， 故选：C． 【解答题】 1．已知，图、图中每个小正方形的边长均为． (1)图中阴影正方形的边长为________，该边长介于两个相邻整数________和________之间； (2)请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出图中阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数； (3)请在图的的方格内作出边长为的正方形． 【答案】(1)，，； (2)图见解析，点所表示的数是，点所表示的数是； (3)见解析 【分析】()用勾股定理来计算阴影正方形的边；根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； ()利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可； ()根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可． 【详解】（1）解：阴影正方形的边长等于直角边为和的直角三角形的斜边， 边长， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由()知：阴影正方形的边长为，它的相反数是， 如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点， ∴，点所表示的数是，点所表示的数是； （3）解：如图，取格点A、B、C、D，再顺次连接， 由()知：四边形为正方形， ∵每个小正方形的边长均为， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键． 2．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连结，，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的定义、勾股定理，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）证明，得到，再利用三角形内角和定理即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵在等腰中，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少千米 (3)24或84 【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据梯形的面积的表示方法计算即可； （2）设千米，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． 4．如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 5．某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： (1)如图，在中，若，，则有； 证明：∵，， ∴（依据： ① ） ∴（依据： ② ） (2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至，两点，使得…… 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整． 【答案】(1)①垂直平分线的性质；②等边对等角 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理． （1）根据，可以得到，然后根据可以证明，从而可以得到结论成立； （2）根据小军的证明过程可知：分别延长至两点，使得，然后作出辅助线，再根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可以证明结论成立； 根据小民的证明方法，根据勾股定理得出，根据平方差公式结合已知，即可到结论成立． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（依据：垂直平分线的性质） ∴（依据：等边对等角） （2）解：小军的证明过程： 分别延长至两点，使得，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 小民的证明方法 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得 ∴ ∴ ∵① ∴② ①+②得，，即 ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $