6.2.1向量的加法运算（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量的加法运算，涵盖三角形法则、平行四边形法则及运算律，通过前情回顾向量概念等旧知，结合唐玄奘取经位移与孙悟空飞行路线的对比导入，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以物理中的位移、力的合成为情境，用数学眼光观察现实世界，通过探究法则区别联系和运算律推导培养数学思维，结合船航行速度合成等实例强化数学语言表达。采用题型训练与课堂小结结合的教学方法，帮助学生直观理解运算本质，教师可高效开展教学。

6.2.1 向量的加法运算 第六章 平面向量及其应用 前情回顾 平面向量 的概念 概念 向量间关系 特殊向量 向量的模 表示 向量与数量 零向量 单位向量 平行（共线）向量 相等向量，相反向量 长度为的向量叫零向量，记为 模长为的的向量叫单位向量 有向线段 方向相同或相反 学 习 目 标 1 2 3 理解向量加法的概念，了解向量加法的几何意义. 掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则及其运算律. 能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算和实际应用. 读教材 阅读课本P7-P10，5分钟后完成下列问题： 1. 向量的加法运算法则有哪些？有什么特点？ 我们一起来探究“向量的加法运算”吧！ 2. 向量的加法运算律有哪些？ 新课引入 唐玄奘当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺（今印度）； 若神话小说《西游记》里面的孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的 位移相同吗？ 今天我们一起来学习平面向量的加法运算. 我们知道，数能进行运算，因为有了运算 而使数的魅力无穷，那么，向量是否也能 像数一样进行运算呢？ 学习过程 01 03 02 目录 1 向量的加法运算 2 向量的加法运算律 3 题型训练 新知探究1 探究(1) 某质点从点经过点到达点，这个质点的位移如何表示？ 根据物理知识可知：这个质点从点 经过点到点 两次位移 的结果，与从点A直接到点C的位移 的结果相同，因此位移 可以看成是位移 与合成的，即位移可以看作是与的和 记作： 因为位移是向量，所以位移的合成可以看做向量的加法. 新知1 已知非零向量 ，在平面内任取一点，作， 则向量 叫做 与 的和，记作 ，即 1.向量加法的三角形法则： 向量的加法运算 向量加法的三角形法则的特点为：“首尾相连接”. 向量加法 平移 向量加法的 三角形法则 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则． 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． 新知探究1 探究(2) 如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与 的作用，你能作出这个物体所受合力吗？ 根据物理知识可知：合力 在以 ， 为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长． 从运算的角度看，可以看作 与 的和， 即 因为力是向量，所以力的合成可以看做向量的加法. • 新知1 2.向量加法的四边形法则： 向量的加法运算 向量加法的四边形法则的特点为：“共起点，不共线”. 如图，以同一点为起点的两个已知向量，，以、为邻边作□，则以为起点的向量（是□的对角线）就是向量与的和。 即 向量加法 向量加法的 平行四边形法则 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 力的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． 概念辨析 思考：向量加法的三角形法则和平行四边形法则有何区别与联系？ (1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”． (2)向量的三角形法则适用于任意两个非零向量求和， 而向量的平行四边形法则仅适用于不共线的两个非零向量求和． (3)当两个非零向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是统一的． 练习巩固 例1：如图，在各小题中，已知非零向量，分别求作. 解：如图所示。 向量共线时，遵循三角形法则. 练习巩固 例2：如图，已知向量，，用两种法则求作向量. 解：作法1：在平面内任取一点(如下图1)， 作，.则. 作法2：在平面内任取一点(如下图2)，作，. 以为邻边作□，连接则 图1 图2 练习巩固 例3：根据图示填空： (1) (2) (3) (4) 解：由向量加法的三角形法则得： (1) (2) (3) (4) A D C B E 学习过程 01 03 02 目录 1 向量的加法运算 2 向量的加法运算律 3 题型训练 新知探究2 探究2 (1)用向量加法的三角形法则探索之间的关系？ 向量 与 时 |＋|＝||＋|| 当非零向量 与 不共线时，据“三角形的任意两边之和大于第三边”可知∴ 故当非零向量 与 不共线时，满足 A A B C B C 向量 与 时 |＋| ||＋|| 新知探究2 探究2 (2)向量 之间的关系？ 解析：当向量 与 中有一个是零向量时，不妨设 ，则 此时满足 一般地，对于任意向量 与 ，都有 成立； 当且仅当 ， 中有一个是零向量或 ， 是方向相同的非零向量时等号成立. 1.向量加法的运算性质： 新知探究2 思考：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 向量加法满足交换律和结合律 新知2 2.向量的加法运算律： 向量的加法运算律 向量加法满足交换律和结合律： 交换律： 结合律： 练习巩固 例1：判断正误. (1). ( ) . ( ) (3). ( ) (4). ( ) (5) ( ) 练习巩固 例2：如图所示，在中，为重心，分别 是的中点，化简下列三式. (1) ； (2). 解：(1) (2)∵分别是的中点， ∴，.∴ ∴ 练习巩固 例3：化简：(1) ； (2). 解： (1) (2) 练习巩固 例4：化简：(1) ； (2) . 解： (1) (2) 学习过程 01 03 02 目录 1 向量的加法运算 2 向量的加法运算律 3 题型训练 向量的加法运算及应用 题型1 题型探究 例1 化简：(1) (2) ； (3)； (4)； (5) 解：(1) (2) =； (3)； (4)； (5) 向量的加法运算及应用 题型1 题型探究 例2 如图所示，四边形为等腰梯形，，，， 为的的中点. 求： (1) (2) (3) 解：由已知，得：四边形、四边形均为平行四边形. (1)(2) (3) 向量的加法运算及应用 题型1 题型探究 例3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图，一艘船从 长江南岸地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为， 同时江水的速度为向东则： (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向. 解：(1)如图所示， 表示船速， 表示江水速度， 以为邻边作平行四边形 ，据平行四边 形法则可知 故表示船实际航行的速度：如图 向量的加法运算及应用 题型1 题型探究 例4 如图，一艘船从长江南岸地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东则： (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向. 解：(2)由(1)知四边形 为矩形∴ ，在 中： ，又 ∵ ， 且∴ 综上：船实际航行的速度的大小为，方向为东偏北60°。 课堂小结 向量的 加法运算 三角形法则 平行四边形法则 运算律 运算性质 首尾相连接 共起点，不共线 交换律： 结合律： 感谢聆听! $