5.3.5利用导数解决实际问题（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

5.3 导数的应用 第五章 导数及其应用 5.3.5 利用导数解决实际问题 学 习 目 标 1 2 3 巩固用导数研究函数的单调性、极值、最大（小）值的方法，体会用导数研究函数的便捷. 能利用导数解决与最值有关的数学实际问题问题. 体会数学的应用价值，发展数学建模素养. 导数与函数的单调性 复习回顾 1 定理 在区间I上，若 f (x)>0，则函数y=f (x)在该区间严格增；若 f (x)<0，则函数y=f (x)在该区间严格减 . 导数与函数的极值 定理 设点x=x0是函数y=f(x)的驻点. (1)若在点x0的左侧附近有f ′(x)>0，而在的右侧附近有f ′(x)<0，则函数 y=f(x)在x0处取得极大值； (2)若在点x0的左侧附近有f ′(x)<0，而在的右侧附近有f ′(x)>0，则函数在处取得极小值. 导数与函数的最值 一般的，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 将驻点处函数值与f(a)，f(b)(端点处) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 复习回顾 1 求函数单调性、极值、最值的步骤 复习回顾 1 1. 求函数f(x)的定义域，x∈ _______； 2. 对函数求导， f (x)=_______； 3. 求函数f(x)的驻点：令f (x)=0，解得x= _______； 4. 列表写出驻点两侧导数f '(x)的正负变化，得出f '(x)符号，及f (x)在定义域内的单调性，先增后减有极大值，先减后增有极小值； 5. 比较f (x1)，f (x2)，f (a)，f (b)，最大的为最大值，最小的为最小值. x f (x) f (x) x1 (x1, x2) x2 0 － 0 极大值f (x1) ↓ 极小值f (x2) (a, x1) (x2, b) + ↑ + ↑ [a, b] x1或x2 2 探究新知 前面已经看到，导数可用来研究函数在某区间上的最大（小）值，从而对解决何时利润最大、何时用料最省等优化问题发挥着重要作用. 接下来我们利用导数来解决一些与最值有关的实际问题. 例11 如图，是一张边长为3的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为x的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒.当裁去的小正方形边长x发生变化时，纸盒的容积V会随之发生变化.当x在什么范围内变化时，容积V随着x的增大而增大？当x在什么范围内变化时，容积V随着x的增大而减小？当x取何值时，容积V最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 3 举例应用 3-2x 3-2x 思考1：纸盒底面边长和高为？ x 3-2x 思考2：纸盒的容积V(x)为？ V(x)=x(3-2x)2 例11 如图，是一张边长为3的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为x的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒.当裁去的小正方形边长x发生变化时，纸盒的容积V会随之发生变化.当x在什么范围内变化时，容积V随着x的增大而增大？当x在什么范围内变化时，容积V随着x的增大而减小？当x取何值时，容积V最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 3 举例应用 3-2x 3-2x 思考3：函数V(x)的定义域为？ x 3-2x 由，得， ∴函数的定义域为. 3 举例应用 解： 由题意，得，V(x)=x(3-2x)2，x∈， ∴V (x)=4x3－12x2+9x，∴V (x)=12x2－24x+9. 令 f (x)=V (x)=12x2－24x+9=0 ， 解得两个驻点x1=，x2= ，而驻点x1 =不在定义域内，舍去. 当x∈时，V (x)> 0，函数 y=V(x) 严格增 ； 当x∈时，V (x)< 0，函数 y=V(x) 严格减 . ∴当x=时，容积V()=2是极大值，也是最大值. x 0 V (x) 例12 已知某商品的成本C与产量q满足函数关系C=C(q), 其中C(q)=100+q2， 并定义平均成本为=(q)，其中(q)=. (1) 比较C'(10)和C'(20)，解释两者的大小代表了怎样的实际意义； (2) 当产量为多少时，平均成本最少？ 3 举例应用 解：(1) ∵C(q)=100+q2，C'(q)=q，(q>0) ∴ C'(10)=5，C'(20)=10， ∴ C'(10)<C'(20) . C'(10)=5代表当产量为q=10时，增加单位产量需付出的成本增加量为5；C'(20)=10代表当产量为q=20时，增加单位产量需付出的成本增加量为10. 例12 已知某商品的成本C与产量q满足函数关系C=C(q), 其中C(q)=100+q2， 并定义平均成本为=(q)，其中(q)=. (2) 当产量为多少时，平均成本最少？ 3 举例应用 解：(2) ∵平均成本(q)==+q，'(q)=+，(q>0) 令'(q)=0 ，解得=400，∵q>0，∴驻点为=20. 当0<q<时，'(q)< 0，函数 =(q)严格减 ； 当q>时，'(q)> 0，函数 =(q) 严格增 . ∴当产量q=20时，平均成本最少. 解：由题意，得h2=d2﹣b2，∴W(b)=b(d2﹣b2)，(0<b<d)， ∴W'(b)= d2﹣b2， 令W'(b)=0 ，解得驻点b=d. 当0<b<d时，W'(b)> 0，函数 y=W(b)严格增 ； 当d<b<d时，W'(b)< 0，函数 y=W(b)严格减 . ∴当产量b=d时，梁的抗弯强度最大， 此时h2=d2﹣b2=d，即h=d. 例13 如图，将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁. 问：矩形的高h和宽b应如何选择，才能使梁的抗弯强度W=bh2最大？ 3 举例应用 d2=b2+h2 在很多情形下（例如11与例13），由实际问题本身的意义，可知函数在区间内部必定存在最大值（或最小值），而区间内部只有一个驻点，由此即可断定：该函数在区间内部的唯一驻点处取得最大值（或最小值）. 4 举例应用 例14 一艘船航行所需的燃料费与船速的平方成正比. 如果船速是10km/h，那么每小时的燃料费是80元. 已知该船航行的其他费用为每小时480元，在100 km的航程中，保持怎样的船速可使航行总费用最少？(结果精确到1km/h)？ 3 举例应用 解：设当船速为x(km/h)时，每小时所需燃料费为kx2元. 根据题意，当x=10时，kx2=100k=80，从而解得k=45. 因此，船在100 km航程中的总费用为 y=f(x) = (x2+480) = 80x+，(x>0). 3 举例应用 解： y=f(x) = (x2+480) = 80x+，(x>0) ∴f '(x)=80﹣， 令f '(x)=0 ，解得唯一驻点x=10. 当0<x<10时，f '(x)< 0，函数 y=W(b)严格减 ； 当x>10时，f '(x)> 0，函数 y=W(b)严格增 . ∴函数 y=f(x) 在x=106≈24(km/h)处取得最小值. ∴在100 km的航程中，保持约24km/h的船速可使航行总费用最少. 利用导数解决求函数的最大（小）值型的实际问题的一般步骤： (1) 列出实际问题的数学模型： 建立变量之间的函数关系，并写出定义域； (2) 求导函数及驻点； (3) 利用导数研究函数的性质，进而解决问题. 4 方法总结 5 巩固练习 某商品的成本C和产量q满足函数关系C=50 000+200q，该商品的销售单价p和产量q满足函数关系p=24 200−q2. 问：要使利润最大，应如何确定产量？ 1 解：设每月生产q吨时的利润为f(q)， ∴f(q)=(p=24200− q2)q−(5000+200q)=− q2+24000q−50000(q≥0)， ∴f '(q)=− q2+24000. 令f '(q)=0.解得q=200或q=−200(舍去), 当0≤q<200时，f '(q)> 0，函数 y=f(q)严格增 ； 当x>200时，f '(q)< 0，函数 y=f(q)严格减 . ∴函数f(q)在q=200处取得极大值即最大值， ∴f(q)max=f(200)=− ×200³+24000×200−50000=3150000(元), ∴每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 5 巩固练习 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的. 问：炸药包埋多深可使爆破体积最大？ 2 解：设炸药包埋的深度为h，圆锥底面半径为r，体积为V， 则V(h) = πr²h = π(R²−h²)h= πR²h−πh3，(0<h<R) ∴V'(h)= πR²−πh2， 令V'(h)=0 ，解得驻点h=R. 当0<h<R时，V'(h)> 0，函数 y=V(h)严格增 ； 当R<b<R时，V'(h)< 0，函数 y=V(h)严格减 . 故当h=R时，爆破体积最大. d2=b2+h2 6 课堂小结 补充强化练 7 C 补充强化练 7 补充强化练 7 补充强化练 7 感谢聆听!