6.2.4向量的数量积（分层作业，9大知识点）高一数学人教A版必修第二册

6.2.4 向量的数量积 知识点一 向量数量积的概念及运算律 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确，④错误，故选：D 2．对于任意向量，下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，当且仅当共线时取等号，A错误； 由向量加法的三角形法则知，， 当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误； 是与共线的向量，是与共线的向量， 因此与不一定相等，C错误； ，因此，D正确.故选：D 3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【解析】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD 4．（24-25高一下·河北唐山·月考）（多选）下面给出的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确； 向量的数量积满足交换律，所以，故正确； 根据数量积定义知，数量积为一实数， 所以为，表示与共线的向量， 而为，表示与共线的向量， 所以不一定成立，故错误； 根据数量积定义知，故正确； 故选：. 知识点二 向量数量积的简单运算 1．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若单位向量，的夹角为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为单位向量，的夹角为，则.故选：C. 2．（24-25高一下·天津·月考）已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为单位向量的夹角为， 所以，故选：B． 3．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【解析】因为向量和的夹角为，且， 则.故选：D. 4．（24-25高一下·河北承德·月考）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】非零向量在向量上的投影向量为，， 则，所以， 故．故选：C. 5．（24-25高一下·江西赣州·月考）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】因为平面向量，是两个单位向量， 故在上的投影向量为,所以, 所以,故选：B. 知识点三 平面几何图形中的数量积计算 1．（2025·湖北·模拟预测）若是边长为的等边三角形，点满足，则（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以， 所以.故选：A. 2．（24-25高一下·广西河池·月考）已知在平行四边形中，，，在直线上有点P满足，，则的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【答案】C 【解析】如图，因是平行四边形，， 则，， 由可得， 化简得：，解得.故选：C. 3．（24-25高一下·北京西城·期中）已知等腰△ABC中，，，点P是边BC上的动点，则（    ） A．为定值10 B．为定值5 C．不为定值，与点P位置有关 D．为定值12 【答案】A 【解析】令的中点，由，得，,， 所以.故选：A 4．（24-25高一下·辽宁·月考）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C．5 D．15 【答案】C 【解析】由得， ， 所以，即， 所以， 又，所以， 所以，故选：C． 5．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）在梯形中，，，，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解析】由题可知，所以， 因， 则故选：C. 知识点一 平面向量的夹角问题 1．（24-25高一下·山西汾阳·月考）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得， 因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量满足，，， 可得，， 所以.故选：D. 3．（24-25高一下·北京·月考）已知单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】化简得， ， ，， ，故选:C. 4．（24-25高一下·河南·月考）已知是夹角为的两个单位向量，则向量与的夹角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】由是夹角为60°的两个单位向量，得， ，， ， 因此，而， 所以.故选：C 5．（24-25高一下·贵州·月考）设向量的起点为坐标原点O，将绕点O逆时针旋转60°得到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知、夹角为，且，则. . . .故选：D. 知识点二 平面向量的垂直问题 1．（24-25高一下·四川雅安·月考）设、是任意两个非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】由，得；反之当，也可推出， 所以“”是“”的充要条件.故选：C 2．（24-25高一下·重庆涪陵·月考）已知单位向量的夹角为与垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为单位向量、的夹角为，所以， 又与垂直，所以，即， 即，解得，故选：C. 3．（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因向量在向量上的投影向量为， 可得，即①， 由可得， 又，故可得：， 因是非零向量，故，解得.故选：A. 4．（24-25高一下·广西河池·月考）已知两个单位向量，的夹角为30°，且满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由单位向量，的夹角为，则， 由，可得， 即，可得，解得，故选：B． 5．（24-25高一下·宁夏银川·月考）已知向量为单位向量，且满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则， 由，得，则， 而为单位向量，所以.故选：C 知识点三 平面向量的模长问题 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知，，且向量在向量上的投影的数量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，得， 所以．故选：A 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知平面向量满足，，若向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】因为， 又，所以， 所以，即， 所以，解得（负值已舍去）.故选：A 3．（24-25高一下·广西柳州·月考）已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，， 解得或（舍）.故选：B 4．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知、为同一平面中两个向量，满足，，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 因为，则， 所以， 所以的范围为.故选：D 5．（24-25高一下·浙江·月考）已知向量满足且，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】解法一：因为. 由不等式，可得， 因为，得且， 解不等式，得或； 解不等式，得， 综上． 所以， 即当，且时，取得最大值3.故选：B． 解法二：令，， 所以，， 所以. 或， 所以当时，.故选：B． 知识点四 平面向量的投影问题 1．（24-25高一下·广东·月考）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】单位向量满足，则， 所以所求的投影向量为．故选：B 2．（24-25高一下·福建宁德·月考）已知 ，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则，即， ，即， 所以在方向上的投影向量为.故选：B. 3．（24-25高一下·江西·月考）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 即，所以， 又，所以， 所以向量在向量上的投影向量为.故选：B 4．（24-25高一下·四川广安·月考）已知向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，则， 得， 则在方向上的投影向量为.故选：D 5．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 向量在向量上的投影向量为，故选：A. 知识点五 利用向量数量积判断平面图形形状 1．（24-25高一下·北京·月考）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形.故选：C. 2．（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，满足，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】取的中点，则，所以． 又，故，即为等腰三角形.故选：C． 3．（24-25高一下·天津静海·月考）若在中，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】在中，，且，， 则，即，即AB⊥BC，， 则的形状是等腰直角三角形．故选：D 4．（24-25高一下·山东滨州·期末）已知非零向量与满足，且，则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】，分别为向量与方向上的单位向量， 因为，所以的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形，且， 由，，所以，所以， 所以是等腰三角形.故选：A. 5．（24-25高一下·四川绵阳·月考）若不共线非零向量满足=0，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．底边和腰不等的等腰三角形 【答案】C 【解析】由，则，所以， 由， 则 ， 所以，所以为等边三角形；故选：C. 知识点一 向量数量积的最值问题 1．（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为，所以. 因为，所以. 则， 因为， . 所以. 令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为. 故选：D. 2．（25-26高一上·山东潍坊·月考）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值.故选：C. 3．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知是边长为的正三角形，EF为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】如图，EF为外接圆的直径，为EF的中点，则外接圆半径为， 则， 当为正边的中点时，，所以的最大值为3.故选：C 4．（24-25高一下·福建莆田·月考）在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在等腰梯形中，已知，且， 所以，， 因为，， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：A. 5．（242-5高一下·云南普洱·月考）在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为.故选：D. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.2.4向量的数量积 知识点一向量数量积的概念及运算律 基础达标题 知识点二向量数量积的简单运算 知识点三平面几何图形中的数量积计算 知识点一平面向量的夹角问题 知识点二平面向量的垂直问题 向量的数量积 能力提升题 知识点三平面向量的模长问题 知识点四平面向量的投影问题 知识点五利用向量数量积判断平面图形形状 拓展培优题 知识点一向量数量积的最值问题 基础达标题 知识点一向量数量积的概念及运算律 1.(24-25高一下·陕西榆林·月考)下面给出的关系式中，正确的个数是( ①0a=i:②a6=i-a:③a=l:④a-bjc=a6-d A.0 B.1 C.2 D.3 2.对于任意向经4.6 ,下列命题中正确的是( ) A.la-BHallb B.la+6Hal+181 C.(a.B)c=a(B.c) D.lava 3.(2425高-下江苏徐州月考)（多选）关于平面向量“，6，， ,下列说法不正确的是( A.(a-a+=a-62 B.a+B).c-a.c+b.c 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若a.b=ac,且a≠0，则b=c D.(aBc=a-B.c) 4.(24-25高一下·河北唐山月考)（多选）下面给出的关系式中，正确的是( A.0a=0 B.a-b=B.a c.(a-b)c=aB.a) D.a-ap 知识点二向量数量积的简单运算 1.(24-25高一下陕西咸阳·期中)若单位向量a,6的夹角为6，则a6=( A 2 B.Z D.1 2.(2425高一下天津月考)已知单位向量9,6的夹角为60，则2g-86=（ A.-2 B.0 C.1 D.2 3。(24-25高一下云南昭通月考)已知向量a和5的夹角为120，且同=2，=5，则2a-6列ā= A.12 B.8+V3 C.4 D.13 4.(2425高一下河北承德月考)已知非零向量后在向量6上的投影狗量为，风-16，则。-利-五= ( ) A.-64 B.-32 C.-128 D.-256 24-25高一下江西赣州月考)已知平面向量，万是两个单位向量，在5上的投影向量为)书 a+2-a-b=() 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.-1 B.-2 C.0 D.1 知识点三平面几何图形中的数量积计算 1.(2025湖北模拟预测)若△MBC是边长为5的等边三角形，点D满足BC=5CD,则D-AC= 11 9 A.2 B.5 C. D.4 2.(24-25高一下·广西河池月考)已知在平行四边形ABCD中，AB=8,AD=5,在直线CD上有点P满 足CP=3PD,MPBP=4,则MB:D 的值为( A.9 B.-18 C.18 D.-9 3.(2425高-下北京西城期中)已知等腰△ABC中，M-4C-3,BC=4,点P是边BC上的动点， 则P-(MB+M@( ) A.为定值10 B.为定值5 C.不为定值，与点P位置有关 D.为定值12 4.(2425高一下辽宁月考)如图.在A1BC中，丽+D=丽-而，C-8D,0=5,则 AC.AD=( ) A.55 3 C.5 D.15 3/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(24-25高一下·江苏宿迁·月考)在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=4,AD=2,CD=1, ∠DAB=60° AC·AB= ,则 A.4 B.6 C.8 D.12 B 能力提升题 知识点一平面向量的夹角问题 1。(2425高-下-山西汾阳月考》设°，万是两个非零向量，则。a-6<0。是0与6的夹角为纯角” b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2。(2425高-下-安微合E期中)已知向量a,5满足回=5，=6，a5-6,则os(a,a-列 ) A对 17 B.35 19 C.35 D. 19 3.（2425高一下-北京月考)已知单位向量ā，万满足2+-b-6,则a与5的夹角为( A. B.2 c.号 D. 4.(24-25高一下河南月考)已知9,6是夹角为60°的两个单位向量，则向量9+28与28-38的夹角 是() A.30° B.60° C.120° D.150° 5.(24-25高一下贵州月考)设向量a=(3,4的起点为坐标原点0，将a绕点0逆时针旋转60°得到b, 4/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则cos(a,3a-6=( 37 2W7 v 57 A.8 B.7 C.3 D.14 知识点二平面向量的垂直问题 1.(2425高一下四川雅安月考)设、不是任意两个非零向量，则“ā6=0，是：ā1B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(24-25高一下重庆涪陵月考)已知单位向量a,6的夹角为459ā-6与“垂直，则=( A. B. 2 C.② D.1 2 3.(24-25高一下-江苏扬州月考)设向量ā，5是非零向量，且同=2，向量a在向量6上的投影向量 为-26，若2a+列1ā-列，则实数元的值为( ) 1 A B.3 2 c.3 D.2 4.（2425高一下广西河池月考)已知两个单位向量9，名的夹角为30°，且满足91(28，-5©)，则 入的值为( ) A.1 B.2 C.5 D.V 5.（24-25高-下宁夏银川-月考)已知向量a,5为单位向量，且满足a+6Hā-61，若a-1a+四， 则() 5/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 入+4=1 入+4=-1 2u=1 2u=-1 A. B. C. D. 知识点三平面向量的模长问题 1.(24-25高一下辽宁制阳月考)已知非5,1b非3，且向量°在向量5上的投影的数量为2，则 la+b上( A.22 B.3V3 C.26 D.V46 m,i、。|i=3m,n=0 2.(24-25高一下·河南南阳·期中)已知平面向量满足 0,若向量m+示与的夹角为 60°，则m=( ) A.36 B.25 C.2 D.1 3.(2425高一下广西柳州月考)已知同=1+=5，向量后与石的夹角为牙，则=( A.1 B.V② C.5 D.2V2 4.(2425高一下北京朝用月考)已知。、6为同一平面中两个向量，满足同-3，月=8，则日+的范 围为( ) A.38 B.I58 c.311 D.I5,1 5.(2425高一-下浙江月考)已知向量后，6满足后--1且a-6-号，则2a+的最大值是( A.2 B.3 C.4 D.5 知识点四平面向量的投影问题 6/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1.(2425高一下广东·月考)已知单位向量a,6满足ab= 3,则a-b在a上的投影向量为( 2 A.3a B. C.ga 2.（2425高-下福建宁德月考》已知a+=1,则向量ā在6方向上的投影向量为 A.-25 B. c. D.2b 3.（2425高一下江西·月考)已知非零向量ā，万满足同-同-6-A,则向量ā-26在向量6上的投影向 量为( 3r A.-2b B.-2 C. D.-B 4.(24-25高-下-四川广安月考)已知向量a,6满足=3，月=2且(a-26ā+6=5，则a在万方 向上的投影向量为( A.6 B.-2 C.6 D.B 5.(2425高一下-江苏镇江月考)已知向量a和5满足l=2,同=1，(2a+6州a+6=6,则向量a-方 在向量”上的投影向量为( A 5- B.4 D 知识点五利用向量数量积判断平面图形形状 1.（24-25高-下北京月考)已知在△HC中，.1C<0,则△M6C 的形状为( A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 7/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25高-下云南昭通期中)在△4BC中，满足C丽：孤+4C)=0,则△ABC的形状为 ( ) A.等边三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 3.（24-25高-下天津静海月考》若在△A8C中，MB=a,BC=6,且aHb1,a+b非5，则 △ABC的形状是( A.正三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 AB AC BC=0 ABAC_√2 4.(24-25高一下·山东滨州：期末)已知非零向量8与4C满足 AC ,且ABAC2, 则△ABC为( ) A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.(2425高一下四川绵阳月考)若不共线非零向量ABAC满足HC丽+A团4C,BC-0,且 2AB.AC=ABAC,则△ABC为( A.三边均不等的三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.底边和腰不等的等腰三角形 拓展培优题 知识点一向量数量积的最值问题 1,2425商-下河南月专)在△18C中，B=21C=42B1C=60,P是4C上一动点，则P历 中， 的最小值为( A. 1 c.4 1 B.-2 D.-4 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2526高一-上山东洋坊月考)》如图，正六边形的边长为25，半径为'的圆°的圆心为正六边形的中 心，若点M在正六边形的边上运动，动点A、B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MAMB的最大值为 ) A A.9 B.10 C.11 D.12 3.(2425高-下广东惠州期中)已知△18C是边长为25的正三角形，F为AM8C的外接圆°的一条 直径，M为△ABC的边上的动点，则ME·FM的最大值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4.(24-25高一下·福建莆田月考)在等腰梯形18CD生 中，已知 AB//DC AB=2 BC=1 ZABC=60 动点E和F分别在线段BC和DC上，且店=AC,DF-员DC,则E,F的数小值为( ) A. 29 2-3 B C.29 5.(242.5高-下-云南普洱月考)在△4BC中，∠BMC=90,4C=1,P是△ABC所在平面内 AC 点，AP=0+34d，则PB.P元的最天值为 A.5+25 B.10+2V5 c.5-25 D.10-2V5 9/9