6.2.3向量的数乘运算（分层作业，8大知识点）高一数学人教A版必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 知识点一 向量的线性运算 1．（24-25高一下·江西上饶·月考）“”是“实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为或， ， 所以“”是“实数”的必要不充分条件.故选：B 2．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选：B 3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考） . 【答案】 【解析】. 4．（24-25高一下·四川遂宁·月考）化简 ． 【答案】 【解析】， 5．（24-25高一下·新疆喀什·月考）化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）； （2）. 知识点二 用已知向量表示相关向量 1．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为中点，为中点， 所以.故选：B. 2．（24-25高一下·四川眉山·月考）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知有. 故.故选：A. 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，可知 =，选B. 4．（24-25高一上·河北·月考）（多选）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，则，所以， 易知，所以， 由点F是上靠近点D的四等分点，则， .故选：AC. 5．（24-25高一下·湖北·期中）已知点P，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量 . 【答案】 【解析】如图，取的中点E，连接，， 由题意，得，， 则. 知识点一 向量共线判断与求参 1．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意知，即，解得，故选：B. 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知向量，不共线，且，则实数（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，不共线，， 所以存在使得， 则，解得.故选：D. 3．（24-25高一下·新疆和田·月考）（多选）已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】AB 【解析】因为，则存在实数，使得， 即，即，所以， 又因为向量，不共线，所以，解得， 所以实数，的值互为倒数．故选：AB． 4．（24-25高一下·山西晋中·月考）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解析】因为与共线，所以，解得或. 若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去； 若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求.故选：B 5．（24-25高一下·江西九江·月考）设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 【答案】 【解析】因为向量与的方向相反， 所以，其中， 所以：， 联立可得：，解得： 知识点二 三点共线的判断与求参 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（    ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解析】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得， 则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解， 所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解， 所以三点不共线，故D错误.故选：A. 2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【解析】由题设， ，，，与有公共端点，所以三点共线，A对； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，B错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，C错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，D错；故选：A 3．（24-25高一下·福建莆田·月考）已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由向量，，， 可得，， 因为三点共线，则存在实数，满足， 即，可得，解得.故选：A. 4．（24-25高一下·广东佛山·月考）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若与共线，则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件，故选：C 5．（24-25高一下·内蒙古·月考）设 ， ， 在一条直线上， 在该直线外，已知 ，则 等于 . 【答案】 【解析】由，，三点共线，且， 得，所以. 知识点三 线性运算判断三角形的形状 1．（23-24高一下·贵州毕节·月考）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解析】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形.故选：C 2．24-25高一下·湖南衡阳·月考）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】， ，所以是等边三角形.故选：A. 3．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解析】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形.故选：C. 4．（24-25高一下·河南·期中）在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，所以，即， 所以的形状是直角三角形．故选：C． 5．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知点M是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由，得，即， 两边平方并化简得，则，即，所以是直角三角形.故选：A 知识点四 线性运算求三角形的面积比值 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 取的中点，连接，则，于是， 因此， 所以与的面积的比值为.故选：A 2．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长到，使得，以，为邻边作平行四边形，如图， 则，由，得，则， 由，得，因此， 所以与的面积比为.故选：B 3．（24-25高一下·河北承德·月考）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】在上取点，使得，在上取点，使得， 在上取点，使得，在上取点，使得， 连接、，则、，因为， 所以与交于点， 又，， 所以， 所以.故选：B 4．（25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，得到， 如图，且， 则到的距离等于到的距离相等， 又，所以，故选：D. 5．（25-26高三上·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【解析】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即，故选：B 知识点一 向量共线定理推论的应用 1．（24-25高一下·天津·月考）在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 2．（24-25高一下·四川南充·期中）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（    ）    A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【解析】因为，三点共线，则，， 则， 当且仅当，结合，即，时等号成立.故选：C. 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值.故选：C 4．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知为的外接圆的圆心，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，则，如图， 则，由，得， 又，因此三点共线， 由为的外接圆的圆心，得，即， 所以.故选：B. 5．（24-25高一下·北京·月考）在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，的最小值为.故选：B. 知识点二 三角形“四心”的向量式 1．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，作图如下， 所以，则， 所以， 则.故选：D. 2．设是的外心，点满足，则是的（    ） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【解析】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心．故选：C. 3．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【解析】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心．故选：A． 4．已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【解析】设的中点为，则， ∵， ∴， 而，∴三点共线， 所以点的轨迹一定经过的重心，故选：C. 5．A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3 向量的数乘运算 知识点一 向量的线性运算 1．（24-25高一下·江西上饶·月考）“”是“实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考） . 4．（24-25高一下·四川遂宁·月考）化简 ． 5．（24-25高一下·新疆喀什·月考）化简：（1）； （2）. 知识点二 用已知向量表示相关向量 1．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川眉山·月考）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北·月考）（多选）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北·期中）已知点P，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量 . 知识点一 向量共线判断与求参 1．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知向量，不共线，且，则实数（    ） A．3 B． C． D． 3．（24-25高一下·新疆和田·月考）（多选）已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 4．（24-25高一下·山西晋中·月考）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 5．（24-25高一下·江西九江·月考）设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 知识点二 三点共线的判断与求参 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（    ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．（24-25高一下·福建莆田·月考）已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 4．（24-25高一下·广东佛山·月考）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·内蒙古·月考）设 ， ， 在一条直线上， 在该直线外，已知 ，则 等于 . 知识点三 线性运算判断三角形的形状 1．（23-24高一下·贵州毕节·月考）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 2．24-25高一下·湖南衡阳·月考）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 4．（24-25高一下·河南·期中）在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知点M是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 知识点四 线性运算求三角形的面积比值 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北承德·月考）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 4．（25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（25-26高三上·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 知识点一 向量共线定理推论的应用 1．（24-25高一下·天津·月考）在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为 . 2．（24-25高一下·四川南充·期中）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 3．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 4．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知为的外接圆的圆心，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京·月考）在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 知识点二 三角形“四心”的向量式 1．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（    ） A． B． C． D． 2．设是的外心，点满足，则是的（    ） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 3．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 4．已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 5．A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $