专题03 一元二次方程根的判别式的综合应用（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03一元二次方程根的判别式的综合应用 目录 典例详解 类型一、利用判别式判断根的情况 类型二、已知根的情况求参数的取值范围 类型三、判别式与几何图形、实际问题的综合 压轴专练 典例详解 类型一、利用判别式判断根的情况 1.判别式与根的关系 ①当△>0时，方程有两个不相等的实数根： ②当△=0时，方程有两个相等的实数根： ③当△<0时，方程没有实数根（无解）。 2.判断方法 ①将方程化为一般形式r+br+c=0(a≠0)， ②计算判别式△=b2-4ac； ③根据△的符号直接判断根的情况。 【重要性质】 ①求分式有意义时，令分母≠0，解出的范围不能取等号； ②若分式化简后与约分前取值范围不同，要特别注意隐含条件： ③分式值为0：必须同时满足分子=0且分母卡0；解出分子=0的根后，要逐一代入分母检验，舍去使分 母为0的根。 例1.(2425九年级上安徽宿州期末)有一题目：“若Vk-少=1-k,判断关于x的方程 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-（2k-2)x+k2-1=0 的根的情况.” 嘉嘉答：“有两个不相等的实数根.” 淇淇答：“有两个相等的实数根.” 则正确的是() A.只有嘉嘉答的对 B.只有淇淇答的对 C.嘉嘉和淇淇的答案合在一起才完整D.嘉嘉和淇淇的答案合在一起也不完整 变式1-1.(2021·安徽毫州模拟预测)若实数a(a0)满足a-b=3,a+b+1<0,则方程ax2+bx+1=0根 的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有两个实数根 变式12.②526八年级下全铜误后作业)U知0,60,6>0，则关于‘伯方程“+6+=0 根的情况是() A.无实数根 B.只有一个实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有无数个实数根 今类型二、己知根的情况求参数的取值范围 1.常见题型 ①方程有两个不相等的实数根→△>0： ②方程有两个相等的实数根一→△=0： ③方程有实数根→△≥0（注意包含相等根情况）； ④方程无实数根→△<0。 2.解题步骤 ①化方程为一般形式，确定二次项系数aa是否含参数； ②根据题意列出关于判别式的不等式（或方程）： ③解不等式（或方程）求出参数范围； ④结合二次项系数α≠0的条件，综合确定参数的取值范围。 【重要性质】 当二次项系数含参数时，必须同时满足α≠0和判别式条件。 k-1)x2-2kx+k-3=0 例2.(20-21九年级上·湖南永州期末)若关于x的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围为( ) A.3 4 B.3 且k1 C.k≥0 D.k≥0且k1 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （k-1x2+x+2=0 变式2-1.(25-26九年级上山东青岛·期中)若关于x的一元二次方程 有两个实数根， 则k可取最大整数为() A.-1 B.0 C.1 D.2 变式22.(22-23九年级下·安徽宣城·自主招生)已知a、b是两个不相等的实数，且满足： a+ab+b=8,a-ab+b=2k k ，则的取值范围是() A.-1<k<2 B.k<-1或k>2 C.0<k<12 D.k<-12或k>0 变式2-3.(24-25九年级上·安徽合肥期末)(1)一元二次方程x2-x-6=0在-2≤x≤2范围内有_个 根： (2)关于x的一元二次方程x2-mx-3m-3=0在-2≤x≤2范围内有且只有一个根，则m的取值范围为 类型三、判别式与几何图形、实际问题的综合 1.常见综合形式 ①与三角形结合：已知三角形三边满足某方程，利用判别式判断三角形形状： ②与最值问题结合：通过判别式法求代数式的最值： ③与存在性问题结合：判断是否存在实数使方程有特定根的情况。 2.解题思路 ①根据几何或实际问题列出含参数的方程： ②将问题转化为关于参数的方程根的存在性问题： ③利用判别式建立不等式，求解参数范围： ④结合几何性质或实际意义检验解的合理性。 例3.(16-17九年级下湖南株洲月考)已知关于x的一元二次方程-(3+1x+2+2k=0 ()求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根： (2)若等腰△ABC的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长. 变式3-1。(25-26九年级上全国单元测试)是否存在k的值，使方程《-r-(任+2x+4=0 两个相等 的正整数实根？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. x+y+z=5 变式3-2.(25-26八年级上·上海徐汇期中)已知： y+z+xz=3,求z的最大值 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b c 变式3-3.(25-26九年级上湖北武汉·月考)已知三整数a,b,c之和为13，且。6，求a的最大值和最 小值，并求出此时相应的b与c的值. 压轴专练 一、单选题 1.（2526九年级上河北沧州期中)小明在解关于的一元二次方程2-m+2=0m40时，把一次 项的符号抄成“+”，得到其中一个根是=-2，则方程 2mx-x+2=0(m≠0) 根的情况，下列判断不正 确的是() A.无实数根 B。m=时，有两个相等的实数根 C.有两个实数根 D.有一个根是x=2 2.(25-26九年级上·河南周口期末)将4个数a,b,c,d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 a b a b -12 ad-bc -2 cd,定义ed ,则方程3xx2的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个相等的实数根 3。（25-26九年级上河南洛阳期未)关于的一元二次方程+2(m-1x+m=0 的根的情况是() A.无法确定 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无实数根 4.15-16九年级上江西吉安期中)关于的方程+3x-1=0 实数根，则的取值范围是() A,s-9 4 B.k≥-9。 -4且k≠0 C.k2-4 9 9 D.k>-4且k+0 5.(23-24九年级上·安徽阜阳·月考)已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-2(m+1)x+m2+5=0 的两个根，则m的值是() A.2 B.4 C.2或10 D.4或10 a,b,c 6.(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)己知 分别是直角三角形的三边长，‘为斜边，则关于'的方程 (a-b)x2+2cx+(a-b)=0(a#b) 的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.可能有且只有一个实数根 D.没有实数根 二、填空题 7.(25-26九年级上·福建漳州期末)定义： cx2+bx+a= 是一元二次方程r+br+c=0 的倒方程.则下 列四个结论： ①如果x=2是r+2x+e=0的倒方程的解，则c=-3 4； ②如果aC<0,那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程r-2x+c=0 无解，则它的倒方程也无解： ④如果一元二次方程ar+hr+c=0 有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.其 中正确的有（填正确的序号）. 8.(2025河南郑州三模)嘉阳准备解一元二次方程4x2+7x+■=0，发现常数项“■”印刷不清楚，嘉 阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的.”则印刷不清楚的常数项“■”可能是一 9,(25-26八年级上上海月考)若关于的方程2-2x+30-4=0 有实数根，化简 Va2-8a+16-|2-a= (m-1)x2+6.x-3=0 10.(25-26九年级上·重庆万州期末)若关于x的一元二次方程 有两个实数根，且m 满足等式V4-mm+3)=V4-m×Vm+3成立，则所有满足条件的整数m的值之和是一 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)已知关于x的一元二次方程 a+dr-2x+a=C,其中a,6c为 △ABC的三条边的长度，如果方程有两个相等的实数根，则∠A的度数为- 12.(2025·安徽模拟预测)等腰△ABC的三边长分别为a、b、3,已知a、b是方程x2-4x-1+m=0的 两根，则m的值为一 13.(24-25九年级下陕西西安月考)若a,,c均为非零实数，且a+6+c=ac=d,则b+c+6 “的 最小值为一· 14.(25-26八年级上·上海黄浦·期中)阅读下列材料： 、当为实数时，求3十25的最大值，设少=一 3x2+2x 2+x+0.25,将其化为关于的一元二次方程，得 (y-3列r+(y-2)x+4y=0.因为x为实数，就是这个方程有实数根，所以 6-4c=0-2驴-40-3×字=y+40,得y54即05的放大位为4则，为实数时， 3x2+2x 41 3x2+x+2 x2+2x+1 的最小值是一· 三、解答题 2-(2m+1x+m2+m=0 15.(22-23八年级下·江苏扬州期末)已知关于x的一元二次方程 (I)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根： 5+3 2)如果方程的两个实数根为x,x(x>,),且： 为整数，求整数m所有可能的值. 16.(20-21九年级上河南平顶山期末)已知关于x的一元二次方程k-刂r+4+1=0 两个不相等的 实数根. (1)求k的取值范围. (2)当k取满足条件的最大整数时，求方程的根. 17。(25-26九年级上·安徽芜湖期中)已知关于x的方程-(n+2x+3n-刂=0 (1)求证：无论n取何值，该方程总有实数根： (2)若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长. 6/7 ©函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(23-24八年级下安徽阜用期中)已知关于‘的一元二次方程6+dr-2ar+(6-d=0,其中0，b, C分别为△ABC三边的长. (1)若该△ABC是等边三角形，求该方程的根： (2)若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由. 7/7 专题03 一元二次方程根的判别式的综合应用 目录 典例详解 类型一、利用判别式判断根的情况 类型二、已知根的情况求参数的取值范围 类型三、判别式与几何图形、实际问题的综合 压轴专练 类型一、利用判别式判断根的情况 1．判别式与根的关系 ① 当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根； ② 当 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根； ③ 当 Δ<0 时，方程没有实数根（无解）。 2．判断方法 ① 将方程化为一般形式； ② 计算判别式； ③ 根据 Δ 的符号直接判断根的情况。 【重要性质】 ① 求分式有意义时，令分母≠0，解出的范围不能取等号； ② 若分式化简后与约分前取值范围不同，要特别注意隐含条件； ③ 分式值为0：必须同时满足分子=0且分母≠0；解出分子=0的根后，要逐一代入分母检验，舍去使分母为0的根。 例1．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）有一题目：“若，判断关于x的方程的根的情况．” 嘉嘉答：“有两个不相等的实数根．” 淇淇答：“有两个相等的实数根．” 则正确的是（  ） A．只有嘉嘉答的对 B．只有淇淇答的对 C．嘉嘉和淇淇的答案合在一起才完整 D．嘉嘉和淇淇的答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简及根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据题意，先求出k的取值范围，再利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x的方程为， 则， 又∵， ∴， 则此方程有两个实数根， 显然只有C选项符合题意． 故选：C 变式1-1．（2021·安徽亳州·模拟预测）若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有两个实数根 【答案】B 【分析】先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项． 【详解】解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a， ∵a﹣b＝3， ∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得， b＜﹣2，b2﹣4（3+b）= b2﹣4b﹣12= (b+2)(b﹣6) ∵b+2＜0， b-6＜0， ∴(b+2)(b-6) ＞0， 所以，原方程有有两个不相等的实数根； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负． 变式1-2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，，则关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有无数个实数根 【答案】C 【分析】根据一元二次方程判别式的符号来判断根的情况，由于已知条件，，，可推导出判别式大于零，从而有两个不相等的实数根． 【详解】解：二次方程的判别式为， 又，，， ，， ， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式． 类型二、已知根的情况求参数的取值范围 1．常见题型 ① 方程有两个不相等的实数根 → Δ>0； ② 方程有两个相等的实数根 → Δ=0； ③ 方程有实数根 → Δ≥0（注意包含相等根情况）； ④ 方程无实数根 → Δ<0。 2．解题步骤 ① 化方程为一般形式，确定二次项系数 aa 是否含参数； ② 根据题意列出关于判别式的不等式（或方程）； ③ 解不等式（或方程）求出参数范围； ④ 结合二次项系数 a ≠ 0的条件，综合确定参数的取值范围。 【重要性质】 当二次项系数含参数时，必须同时满足a ≠ 0和判别式条件。 例2．（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 变式2-1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则可取最大整数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两个实数根，方程有两不等的实数根，方程有两相等的实数根，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式即可得到 k 的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：， 根据题意知且， 解得且， 故可取的最大整数是． 故选：B． 变式2-2．（22-23九年级下·安徽宣城·自主招生）已知、是两个不相等的实数，且满足：，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，两式相加可得，两式相减可得，故可为方程的两个解，再根据根的判别式即可解答，正确得到，是解题的关键． 【详解】解： 两式相加可得，两式相减可得， 则可为方程的两个解， 、是两个不相等的实数， ， 即， ， 故可得或， 解得或， 故选：D． 变式2-3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）（1）一元二次方程在范围内有 个根； （2）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键． （1）先解一元二次方程，然后通过根判断在范围内的个数即可； （2）分两种情况进行讨论，当方程只有一个解时，当方程有2个不相同的解时，分别列出判别式以及不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）， ， ∴， 在范围内有1个根， 故答案为：1； （2）当方程只一个解且在范围时， ，即， 解得， ∵此时， ∴， ∴， 当方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ， 解得或， ∵方程在的范围内有实数根， ∴，不等式组无解， 或 ，解得， ∴m取值范围或． 故答案为：或． 类型三、判别式与几何图形、实际问题的综合 1．常见综合形式 ① 与三角形结合：已知三角形三边满足某方程，利用判别式判断三角形形状； ② 与最值问题结合：通过判别式法求代数式的最值； ③ 与存在性问题结合：判断是否存在实数使方程有特定根的情况。 2．解题思路 ① 根据几何或实际问题列出含参数的方程； ② 将问题转化为关于参数的方程根的存在性问题； ③ 利用判别式建立不等式，求解参数范围； ④ 结合几何性质或实际意义检验解的合理性。 例3．（16-17九年级下·湖南株洲·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． （1）计算方程的根的判别式，若，则证明方程总有实数根； （2）设，另两边长为能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【详解】（1）证明：， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）设 ，另两边长为、， ①若为底边，则，为腰长，则则， 解得：， 此时原方程化为 ，即， 此时三边为，，不能构成三角形，故舍去； ②若为腰， 则，中一边为腰，不妨设， 代入方程：，解得或， 则原方程化为或 解得或， 即 或 ， 此时三边为， ， 或，， 能构成三角形， 周长为或． 变式3-1．（25-26九年级上·全国·单元测试）是否存在k的值，使方程有两个相等的正整数实根？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，k的值为2 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据题意可知，解得，然后将其代入原方程判断即可． 【详解】解：存在．根据题意，得． 化简，得， 解得． 当时，原方程为，解得； 当时，原方程为，解得（不合题意，舍去）． 综上所述，k的值为2． 变式3-2．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知：，求z的最大值 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，因式分解法解一元二次方程，由条件可得，，可得是方程的两根，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是方程的两根， ∴， ∴当时， 解得：或， ∴， ∴的最大值为． 变式3-3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知三整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值． 【答案】，，或，，；，，或，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．这里要构建一元二次方程；同时也考查了整除的性质和一元二次方程的解的方法． 设，用a分别表示b、c，然后代入，得到关于x的一元二次方程①，并且此方程有有理根，即；所以有，则a为整数，△为有理数的平方，所以，一一试数得到a的最小值为1，最大值为16，分别解方程求x的值，得到对应的b、c． 【详解】解：设，则，，由得． ∵， ∴① 又因为a，b，c为整数，则方程①的解必为有理数． 即， 解得，且为有理数． ∴， 经检验，满足条件的a的值为1，9，13，16； 因此a的最小值为1，最大值为16． 当时，方程①化为． 解得，，， 故，，或，，． 当时，方程①化为． 解得，． 故，，或，，． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）小明在解关于x的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“”，得到其中一个根是，则方程根的情况，下列判断不正确的是（　　） A．无实数根 B．时，有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根， 通过错误方程求出，再计算原方程的判别式，故总有实数根，从而判断选项． 【详解】解：∵小明抄错一次项符号，得方程，且为其根， ∴代入得，即， ∴． 对于原方程，即， 判别式 ∴原方程总有实数根，故A错误； 当时，，有两个相等实数根，故B正确； ，总有实数根，故C正确； 将代入，，故恒为根，D正确． 故选：A． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据新定义将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：由题意知， ∴， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．无法确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，判断一元二次方程根的情况需计算根的判别式，本题中的符号随的取值变化而变化，因此无法确定根的情况． 【详解】∵关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项 ∴ ∵的符号随的取值变化而变化，当时，当时，当时 ∴方程的根的情况无法确定， 故选：A 4．（15-16九年级上·江西吉安·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：当时，方程化为，解得； 当时，则，解得且， 综上所述，的取值范围为． 故选：C． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 6．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知分别是直角三角形的三边长，为斜边，则关于的方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：， ， 分别是直角三角形的三边长， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 二、填空题 7．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有 （填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 8．（2025·河南郑州·三模）嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，设常数项“”为，根据方程的系数，结合根的判别式，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论．牢记“当方程有实数根”是解题的关键． 【详解】解：设常数项“”为，则， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴常数项“”可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（25-26八年级上·上海·月考）若关于的方程有实数根，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，绝对值的化简，利用二次根式的性质化简，完全平方公式，解题关键是利用判别式确定的范围，然后根据范围化简绝对值．根据方程有实数根的条件，利用判别式求出的取值范围，再根据的范围结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：关于的方程有实数根， ∴ ， ， ， ，， 原式． 故答案为：2． 10．（25-26九年级上·重庆万州·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足等式成立，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的乘法运算，二次根式有意义的条件，由一元二次方程有两个实数根可得判别式非负且二次项系数不为零，由等式成立可得被开方数非负，综合可得整数 的取值范围，并求所有整数值之和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式，即，且二次项系数，即， ∵ ， ∴且，即且， ∴的取值范围为且， ∴整数为：， 验证判别式： 当，； 当，； 当，； 当，； 当，； 当，； ∴所有整数均满足条件，其和为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知关于的一元二次方程，其中为的三条边的长度，如果方程有两个相等的实数根，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了一元二次方程，勾股定理逆定理判定定理的运用，理解一元二次方程有两个相等的实数根的含义是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，结合勾股定理逆定理得到，由此得到是直角三角形，是斜边，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程化为一般式得，， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵为的三条边的长度， ∴， ∴，即， ∴是直角三角形，是斜边， ∴， 故答案为： ． 12．（2025·安徽·模拟预测）等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式，根据等腰三角形的两腰相等，可分两种情况求解，当等腰三角形的腰是时，则方程有一根是，把代入方程，可得关于的方程，解方程即可求出的值；当是等腰三角形的底边长时，则有，所以方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式可得：，解方程即可求出的值． 【详解】解：等腰的三边长分别为、、， 当等腰的腰长是时， 则方程有一个根是， 可得：， 解得：； 当等腰的底边长是时， 则有， 则方程有两个相等的根， ， 解得：； 当时，三边长为1、3、3，满足，可以构成三角形； 当时，三边长为2、2、3，满足，可以构成三角形． 综上所述，的值是或． 13．（24-25九年级下·陕西西安·月考）若a，b，c均为非零实数，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查因式分解和一元二次方程的判别式．解题的关键是将待求代数式，用一个字母进行表示，构造出一元二次方程． 根据，得到，，将转化为用表示的式子，构造一个以为两个根的一元二次方程，再转化为含字母的一元二次方程，根据方程有两个根，得到，求出的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵a，b，c均为非零实数，且， ∴，， ∴， ∵b，c是方程的两根， 方程有两个实数根， 则，即 ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 即的最小值为9， 故答案为：9． 14．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读下列材料： 当为实数时，求的最大值．设，将其化为关于的一元二次方程，得．因为为实数，就是这个方程有实数根，所以，得，即的最大值为，则为实数时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，将函数化为关于的一元二次方程，利用根的判别式求函数的最值是本题的关键．设，将化为关于的一元二次方程，若此方程有实数解，则根的判别式，从而得到关于的不等式，解此不等式即可求得原函数的最小值． 【详解】解：设， 将化为关于的一元二次方程． 关于的一元二次方程有实数解， ， 解得， ，的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 15．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 16．（20-21九年级上·河南平顶山·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根． 【答案】（1）且  （2）， 【分析】（1）根据一元二次方程二次项系数不为0和＞0，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴的取值范围是且； （2）∵的取值范围是且， ∴的最大整数值为4，当时，原方程可化为： ， ， 或， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题关键是依据根的判别式列出不等式，注意一元二次方程二次项系数不为0这一隐含条件；熟练的解方程． 17．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解题的关键． （1）根据完全平方公式的非负性判别即可得到证明； （2）解一元二次方程，再根据周长公式求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意，得， ∴无论取何值，该方程总有实数根． （2）解：∵等腰三角形的底边长为5， ∴另两边的长为等腰三角形的腰长， 即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， ∴这个等腰三角形的三边长分别为3，3，5， ∴这个等腰三角形的周长为． 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若该是等边三角形，求该方程的根； (2)若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，因式分解法解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再进行求解即可； （2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：当是等边三角形时，， 原方程可化为：，即 ， ， ， （2）解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ，即， 是直角三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $