6.3.2平面向量正交分解及坐标表示（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

6.3.2 平面向量正交分解 及坐标表示 第六章 平面向量及其应用 学 习 目 标 1 2 3 理解平面向量正交分解的含义,掌握平面向量的坐标表示，理解向量坐标与点的坐标的联系与区别. 能根据图形写出向量的坐标，或根据坐标作出向量. 在建立向量与有序实数对的对应过程中，感受数形结合思想，发展几何直观与代数运算相结合的能力. 新课引入 在前面的课程中，我们已经学习了平面向量基本定理，你还记得定理内容吗？根据平面向量基本定理，平面内任意向量的分解形式是什么？其中、的取值有什么特点？ 分解形式：（、不共线，、唯一） 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、 使. 这个定理告诉我们，不共线的两个向量可以作为基底表示任意向量 那如果基底满足更特殊的条件，比如互相垂直，这种分解会有什么特点？ 新课引入 如图，在该物理模型中，重力被分解为两个互相垂直的分力，这种分解方式在生活和数学中非常常见，我们给它一个专门的名称： 正交分解 这就是我们接下来要研究的主题. 结合这个实例，你能尝试说说什么是向量的正交分解吗？ 新知探究 探究一：平面向量的正交分解 观察与总结 结合重力分解实例和平面向量基本定理，可得正交分解的定义： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 分解类型 基底要求 分向量关系 联系 一般分解 不共线 无垂直要求 正交分解是一般分解的特殊情形 正交分解 互相垂直 分向量互相垂直 均符合平面向量基本定理 正交分解与平面向量的一般分解有什么联系和区别？ 新知探究 探究二：平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，选取哪两个向量作为正交基底，能让向量的分解和表示更简便？ ①取与x轴方向相同的单位向量 ②与y轴方向相同的单位向量 把叫做平面直角坐标系中的单位正交基底 在平面直角坐标系中 以为基底，对于平面内的任意向量，根据平面向量基本定理，你能得出什么结论？ 新知探究 探究二：平面向量的坐标表示 即： 观察与总结 对于平面内的任意向量，根据平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得 向量坐标定义 把有序数对（）叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标 根据向量坐标的定义，我们还能得出单位向量、和零向量0的坐标： , 即时训练 1.下列说法正确的是（ ） A. 正交分解的基底必须是单位向量 正交分解只要求基底两个向量互相垂直，不要求是单位向量. B. 任意平面向量都可以唯一进行正交分解 在给定的正交基底（如直角坐标系的、）下，任意平面向量都可以唯一地表示为这两个基底向量的线性组合 C. 正交分解的两个分向量方向相同 正交分解的两个分向量分别沿正交基底的方向，是互相垂直的 D. 只有非零向量才能进行正交分解 零向量也可以进行正交分解，其两个分向量都是零向量。 B 知识小结 平面向量的坐标表示 （3）向量的坐标表示： (有序数对) （1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量 （2）单位正交基底： ①: (x轴同向单位向量)、 (y轴同向单位向量) ②, , 探究三：向量坐标与点的坐标的联系 新知探究 如图，向量的坐标是 ()，那么终点 A 的坐标是什么？ ②反之，若终点 A 的坐标为 ()，以原点 O 为起点作向量，则，即的坐标为 (). 以原点 O 为起点的向量，其坐标与终点的坐标一一对应，即： 且 A () ①若，则的坐标为 ()，此时终点 A 的坐标就是 ()； 即时训练 2.已知单位正交基底,向量,则的坐标为( ) A. (0,-3) B. (-3,0) C. (3,0) D. (0,3) 【分析】在平面向量的坐标表示中，当我们给定单位正交基底 时，任意一个向量 都可以唯一地表示为： 解：已知向量 ，根据上述规则： 的系数是 ，所以横坐标为 的系数是 ，所以纵坐标为 因此，向量 的坐标为 A 知识小结 向量坐标与点的坐标的联系 联系：以原点 O 为起点的向量，其坐标与终点的坐标一一对应，即： 且 A () 注：前提必须是以原点O为起点 典例分析 例1 如图，分别用基底 表示向量 ，并求出它们的坐标。 【分析】将分解为的形式，系数由图中投影长度和方向确定，向量的坐标就是，直接写出结果。 解：由图可知， 所以 。 同理， 一看象限定正负 二分解为 三直接写坐标 (x,y) 即时训练 3.已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】平面向量有关概念的坐标表示、用坐标表示平面向量,代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. A 题型1 平面向量的正交分解及坐标表示 1.如图所示，（    ）   A． B． C． D． 【分析】结合图形，由平面向量正交分解和向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，，， 故. 故选：A． A 题型2 用坐标表示平面向量 2.如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）   A． B． C． D． 【分析】由向量的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，． 故选：A． A 题型3 平面向量有关概念的坐标表示 3.若为正交基底，设（其中x∈R），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用配方法求出的横纵坐标的正负情况即可作答. 【详解】，， 因此对应的坐标满足，， 所以向量对应的坐标位于第四象限. 故选：D D 题型3 平面向量有关概念的坐标表示 4.设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 因此向量在基下的坐标为. D 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 平面向量的 正交分解 人教A版 必修二 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 知识点回顾 1. 平面向量基本定理 如果 e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1, λ2，使 a = λ1e1 + λ2e2 我们把不共线的向量 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 2. 正交分解与坐标表示 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 定义： 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底。 对于任一向量 a，有且只有一对实数 x, y，使得： a = xi + yj 此时，(x, y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a = (x, y)。 x y a xi yj 易错点警示 基底的选择条件 错误认为任意两个向量都能作为基底。 正解：基底向量 e1, e2 必须不共线。若要进行正交分解，基底还必须互相垂直且为单位向量。 向量坐标 vs 点的坐标 容易混淆向量的坐标和点的坐标。 辨析： 点 A(x, y) 的坐标是固定的位置。 向量 a = (x, y) 表示的是位移，与起点位置无关。 只有当向量起点在原点 O 时，终点 A 的坐标才等于向量 OA 的坐标。 坐标运算顺序 求向量 AB 坐标时，容易用起点减终点。 口诀：终点减起点。即 AB = (x_B - x_A, y_B - y_A)。 解题技巧 📐 数形结合（建系法） 当题目涉及正方形、矩形、直角三角形等具有垂直关系的图形时，优先考虑建立平面直角坐标系。 步骤： 以垂直线交点为原点建系 写出各顶点的坐标 将几何问题（如垂直、平行、长度）转化为向量坐标运算 🎯 基底转化法 对于不便建系的图形（如一般三角形、平行四边形），选取两个已知模长和夹角的向量作为基底。 核心思想： 将未知向量用基底 e1, e2 线性表示，再利用基底的数量积性质求解。 ⚡ 坐标运算模型 熟练掌握以下坐标公式，是解决向量问题的基础： 加减运算 a ± b = (x1±x2, y1±y2) 数乘运算 λa = (λx, λy) 平行条件 x1y2 - x2y1 = 0 $