6.3.1平面向量基本定理（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理，通过复习共线向量表示，结合力的分解类比，引导学生探究平面内任一向量能否用两个不共线向量表示，搭建起从一维到二维向量表示的学习支架。 其亮点在于以探究活动为主线，通过作图分析和逻辑推理（数学思维）推导定理，结合即时训练和典例（如用基底表示向量、证明直角三角形）培养数学语言表达能力，帮助学生提升抽象概括与转化运算能力，也为教师提供系统的教学资源和清晰的教学思路。

6.3.1 平面向量基本定理 第六章 平面向量及其应用 学 习 目 标 1 2 3 理解平面向量基本定理的内容，掌握基底的定义及核心选取条件. 能熟练根据定理将平面内任一向量用给定基底线性表示，解决基础的向量分解与表示问题。 在定理生成和应用过程中，提升抽象概括能力、逻辑推理能力和几何与代数的转化运算能力. 新课引入 前面的课程中我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.那么平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 在力的合成与分解，一个力可以根据实际需要，通过作平行四边形分解为两个分力. 平行四边形法则 一个合外力可以分解为两个不同方向的分力之和. 类比力的分解，由同一平面内的两个非共线向量来统一表示任意向量，就是我们本节课要研究的核心问题 —— 平面向量基本定理 设，是同一平面内两个不共线的向量，是该平面内与，都不共线的任意向量。 ① 作有向线段，； ② 作有向线段 ③过点作直线，交直线于点； 过点作直线，交直线于点 新知探究 探究一：非共线向量的分解 新知探究 ①经过以上过程做出的四边形是什么图形？可以如何表示？ 四边形是平行四边形， ②与，与有什么位置关系？结合向量共线定理，能得到什么结论？ 与共线，与共线 根据向量共线定理，存在唯一实数，使得； 存在唯一实数，使得 将以上结论代入，可得 新知探究 探究二：表示形式的唯一性 既然平面内任意向量都能表示成的形式，那这样的实数对是唯一的吗？ 假设存在两组不同的实数对和，都能表示向量 即： , 且. 将两个式子联立，得. 移项整理，把同类向量合并： . 已知, 是不共线的向量，因此先或 新知探究 则可变形为，根据向量共线定理 与共线，与已知条件矛盾； ② 若 同理可得 与共线，与已知条件矛盾。 ① 若 上述假设不成立，因此只能有且， 即， 故表示向量的实数对有且只有一对 通过假设，推导出与已知“表示不唯一”条件“基底向量不共线”相矛盾的结论，从而证明“表示唯一”必然成立 知识小结 平面向量基本定理 ①平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， 使 ②基底的定义 若，不共线，我们把有序向量对叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 即时训练 1.判断下列说法的正误，对的打“√“,错的打”。 (1)平面内任意两个向量都可以作为一组基底。 （ ） (2)平面向量基本定理中，实数 可以都为 0。（ ） (3)若向量能表示为,则一定是平面内的一组基底。（ ） (4)平面内的基底有无数组，只要满足两个向量不共线即可。（ ） × × √ √ 作为基底的两个向量必须满足不共线的条件 当且时，，这表示零向量 即使可以表示为和的线性组合，也不能保证是一组基底 根据基底的定义，只要是同一平面内的两个不共线的非零向量，都可以作为该平面内所有向量的一组基 底 典例分析 例1 如图，， 不共线，且 （），用 ， 表示 . 【分析】根据三角形法则，；关键是将转化为和的线性组合，已知，而。 解：因为 ， 所以 即时训练 2.在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D： CD 典例分析 例2 如图，CD 是 △ABC 的中线，CD = AB，用向量方法证明 △ABC 是直角三角形。 【分析】由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示。 ①取， 为基底②用， 表示 ， ③证明 ，可得 ④最后课证得 △ABC 是直角三角形。 证明：如图 ，设 ，，则 ，， 于是 。 。 因为 CD = AB， 所以 CD = DA， 因为 ，， 所以 ， 因此 ， 于是 △ABC 是直角三角形。 典例分析 用向量证明几何垂直问题的步骤： ①选取合适基底； ②将待证垂直的向量用基底表示； ③计算向量数量积，若为 0 则两向量垂直。 即时训练 3.如图，在平行四边形中，是的中点，． (1)用表示； (2)若，证明：． 【分析】核心是向量的线性运算和数量积判定垂直. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，是的中点， 所以 ． 即时训练 （2）证明：由（1）可知 因为，所以 则，即 从而 题型1 平面向量基本定理的应用 1.已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. B 题型2 基底的概念及辨析、平面向量共线定理的推论 2.在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. C 题型3 平面向量的混合运算、用基底表示向量 D 3.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 【分析】以为基底，根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】如图 则 故选：D 题型4 平面向量的混合运算、用基底表示向量 4.在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． C 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 平面向量 基本定理 高中数学 · 必修二 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 提示： 点击右侧蓝色色块 查看隐藏的关键内容 核心知识梳理 1 定理内容 如果 e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1, λ2，使 a = λ1e1 + λ2e2 2 关键概念解析 📐 基底 (Basis) 把不共线的向量 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 易错点警示 🚫 基底的选择陷阱 错误认知：任意两个向量都可以作为基底。 正解： 基底中的两个向量必须不共线。特别注意，零向量与任意向量共线，因此零向量绝对不能作为基底。 🔢 系数的唯一性 易忽略：在基底确定的情况下，分解系数 λ1, λ2 是唯一的吗？ 正解： 是的，系数是唯一确定的。如果出现两组不同的系数，说明基底选择有误（可能共线）或计算错误。 🔄 夹角范围误区 错误认知：两个向量的夹角可以是任意角度。 正解： 两个非零向量的夹角 θ 的范围是 [0, π]。注意区分“向量夹角”与“直线夹角”的区别。 解题技巧与模型 🎯 优选基底策略 在处理几何图形（如三角形、平行四边形）问题时，优先选择： 模长已知的向量 互相垂直的向量（便于计算数量积） 从同一点出发的向量 🌉 “三点共线”模型 若 A, B, C 三点共线，且 O 为直线外一点，则存在实数 t 使得： OC = tOA + (1-t)OB 技巧：系数之和为 1。常用于解决向量共线或点的位置问题。 🧠 数形结合思想 向量是数与形的桥梁。解题时应时刻保持“双向思维”： 以形助数 画图分析向量关系，利用平行四边形/三角形法则简化运算。 以数解形 建立坐标系或选取基底，将几何问题转化为代数计算。 $