精品解析：吉林省白山市靖宇县第三中学等校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

九年级期末质量检测数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 3. 若点都在二次函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A B. C. 且 D. 且 5. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 6. 如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知是方程的一个实数根，则的值为________． 8. 如图为二次函数的部分图象，当时，函致y的取值范围为______． 9. 如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为________． 10. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点F，若，则与的周长之和为________ 11. 如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆O与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 14. 《浪浪山小妖怪》自上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，已成为中国影史二维动画电影票房冠军电影，其出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里小猪妖、蛤蟆精、黄鼠狼精和猩猩怪的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．将小猪妖和蛤蟆精的组合或黄鼠狼精和猩猩怪的组合称为“一套”，小曲和小星依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 15. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到．点C对应点为点D，恰好落在上，平分，求的度数． 16. 如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道长的墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．求花园的长和宽． 17. 如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． （1）求抛物线的解析式； （2）点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形 ； （2）画出将绕点E顺时针旋转 得到的； （3）若由绕着点M旋转得到的，则点M的坐标为 19. 如图，是的外接圆， 且 （1）求证：是的切线； （2）若 ，求的半径长． 20. 如图，和都等边三角形，直线，交于点F． （1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为________，线段与的数量关系为________． （2）如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明． （3）若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 21. 如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B运动，点Q以的速度沿向终点A运动．过的中点D作交于点E．将绕着的中点顺时针旋转得到，点P的对应点为M，设四边形的面积为，点P的运动时间为． （1）_________，_________； （2）当点M落在边上时，求t值； （3）求S与t之间的函数关系式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点，且对称轴为直线，点M在此抛物线上，点M的横坐标为m，点M不与点A重合，抛物线上点M与点A之间的部分（包括端点）记为图象G． （1）求此抛物线所对应的函数解析式； （2）连接，当轴时，求点M坐标； （3）当图象G的最大值与最小值的差为1时，求m的取值范围； （4）连接，以为对角线构造矩形，轴，轴，矩形的边与抛物线的交点为点D（异于点A、M），点D关于的对称点是点E，当时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末质量检测数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念即可判断 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 3. 若点都在二次函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 5. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 6. 如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是正五边形可得，，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出，从而得解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入方程，得， 移项，得， 将代入． 8. 如图为二次函数的部分图象，当时，函致y的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用图象法进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，当时，，当时，，且时，随着的增大而增大， ∴当时，函致y的取值范围为； 故答案为： 9. 如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，根据垂径定理得出，设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解；如图，连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 10. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点F，若，则与的周长之和为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定和性质． 根据将绕点顺时针旋转得到，可得，从而得到为等边三角形，得到，所以与的周长之和，即可解答． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， 为等边三角形， ， 与的周长之和． 故答案为：． 11. 如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆O与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可证出，然后依次求出、扇形、的面积，由组合图形的面积公式求出答案． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∵为直径的半圆O， ∴， ∴， ∴， ∴，扇形的面积， ∴可得阴影部分的面积． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得． 13. 如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的半径相等的性质、平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线的角的关系结合等腰三角形的等角转化，推导圆心角相等． 由得同位角、内错角相等，结合得等腰三角形的角相等，进而转化得到 【详解】证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14. 《浪浪山小妖怪》自上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，已成为中国影史二维动画电影票房冠军电影，其出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里小猪妖、蛤蟆精、黄鼠狼精和猩猩怪的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．将小猪妖和蛤蟆精的组合或黄鼠狼精和猩猩怪的组合称为“一套”，小曲和小星依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率的计算，掌握好列表法和树状图法是关键，要做到不重复不遗漏． 两人依次抽取，所以树状图要画两层，共有12种等可能性的结果，其中满足要求的有4种，相除得到所求的概率． 【详解】画树状图如下： 共有12种等可能性结果，其中满足题意要求的有：，，和共4种， ∴他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为：． 15. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到．点C的对应点为点D，恰好落在上，平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形旋转的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据旋转的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理推出的度数，即可得出结果． 【详解】解：将绕着点B逆时针旋转得到， ，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道长的墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．求花园的长和宽． 【答案】花园的长，宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴当时， （舍去）或当时，． 答：花园的长，宽为． 17. 如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． （1）求抛物线的解析式； （2）点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】（1） （2）点E的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E的坐标为，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； 【小问2详解】 解： ∵，，是以为底的等腰三角形， ∴点E的坐标为， 当时，， 整理得， 解得， ∴点E的坐标为或． 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形 ； （2）画出将绕点E顺时针旋转 得到的； （3）若由绕着点M旋转得到的，则点M的坐标为 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）作点A，B，C关于原点对称的点 ，再依次连接即可； （2）将点D，F绕点E顺时针旋转 得到点 ，再依次连接； （3）如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等；旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点，确定坐标即可． 小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示， 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的垂直平分线上，即为图中点；由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 19. 如图，是的外接圆， 且 （1）求证：是的切线； （2）若 ，求的半径长． 【答案】（1）详见解析 （2）的半径为2 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理、切线的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键． （1）连接．利用圆周角定理得到，再求出，即可得到结论； （2）连接．求出． 证明．则．进一步得到．即可得到答案． 【小问1详解】 证明∶ 连接． ∵ ∵ ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解∶ 连接． 由(1)证可得，． ∵为直径， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ 即的半径为2． 20. 如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． （1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为________，线段与的数量关系为________． （2）如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明． （3）若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，且， ； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：（1）中结论仍成立，理由如下： 如图， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； 【小问3详解】 解：是等边三角形， ， 当B、C、D三点共线，且D在的延长线上时，最大，此时， 当B、C、D三点共线，且D在线段上时，最小，此时； ∴． 21. 如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B运动，点Q以的速度沿向终点A运动．过的中点D作交于点E．将绕着的中点顺时针旋转得到，点P的对应点为M，设四边形的面积为，点P的运动时间为． （1）_________，_________； （2）当点M落在边上时，求t的值； （3）求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1）；． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．属于中考压轴题． （1）根据在直角三角形的性质得到，再根据勾股定理求出； （2）作于，交于．先由直角三角形的性质得到， ，再结合图形得到，，，，最后证明，得到，代入列方程即可； （3）由（2）可得四边形是平行四边形，， 当时，与相遇，当时，点P到达终点B，点Q到达终点A，即可分，，三种情况分别画出图形，根据求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图1中，作于，交于．则四边形为矩形， ∵将绕着的中点顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，，， 由题意， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∴， ∴， 解得． 小问3详解】 解：由（2）可得四边形是平行四边形，， ∴； 当与相遇时，，即，解得； ∵点P以速度沿向终点B运动，点Q以的速度沿向终点A运动 ∴当时，点P到达终点终点B，点Q到达终点A， ①当时，与相遇之前，如图， 此时由（2）可得，， ． ②当时，与相遇之后，到达终点之前，如图， 由题意，， ∴， ∴， ∴． ③如图3中，当时，点达到终点， 由题意， ∴， 综上所述，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点，且对称轴为直线，点M在此抛物线上，点M的横坐标为m，点M不与点A重合，抛物线上点M与点A之间的部分（包括端点）记为图象G． （1）求此抛物线所对应的函数解析式； （2）连接，当轴时，求点M的坐标； （3）当图象G的最大值与最小值的差为1时，求m的取值范围； （4）连接，以为对角线构造矩形，轴，轴，矩形的边与抛物线的交点为点D（异于点A、M），点D关于的对称点是点E，当时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）m的值为6或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据轴时，点的纵坐标为，代入解析式计算即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可； （4）分且点在点上方，且点在点下方，和0，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（、为常数）经过点，且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵轴，， ∴点的纵坐标为， 令， 解得（与点A重合，舍去）或， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，取得最小值；当时，随值的增大而减小， ①时， 当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：， ∴，解得：（舍去）； ②时， 当时，函数有最小值：，当时，函数有最大值：， ∴，解得：； ③时， 当时，函数有最小值：，由题意，得：函数的最大值为， ∵， ∴点关于对称轴的对称点为：； ∴时，满足图象的最大值与最小值差为1； 综上所述：或； 【小问4详解】 ①当且点在点上方时，如图所示， ∵，轴，轴，矩形的边与抛物线的交点为点， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∵，即：， 解得：或（不合题意，舍去）； ②当且点在点下方时，如图所示， ∵，轴，轴， ∴， 由图可知：关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∵，即：， 解得：或（不合题意，舍去）； ③当时，点在点上方，如图所示， 矩形的边与抛物线没有除之外的交点，不符合题意； 综上所述：符合条件的的值为6或． 【点睛】注意分类讨论，不要遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $