7.1～7.2 开普勒及万有引力-2025-2026学年高一物理同步讲义（人教版必修二）

7.1~7.2开普勒及万有引力（解析版） 题型1 天体运动的探索历程 1 题型2 开普勒三大定律 3 题型3 万有引力定律的内容、推导及适用范围 8 题型4 万有引力常量的测量 11 题型5 万有引力的计算 15 题型6 空壳内及地表下的万有引力 19 一、开普勒行星运动定律 1．内容 (1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是_椭圆__，太阳处在椭圆的一个_焦点__上。 (2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的_面积__。 (3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的_半长轴__的三次方跟它的_公转周期__的二次方的比值都相等，即 ＝k　。 2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。 1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 二、万有引力定律及应用 1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与_两物体质量的乘积__成正比，与_两物体间距离的二次方__成反比。 2．公式：F＝ G　，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的_距离__。 3．适用条件：适用于两个_质点__或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。 1．万有引力与重力的关系 (1)地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力。 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (2)万有引力与重力的定量关系： ①在赤道上： G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg0。 ③在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)，有mg＝G，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝。所以＝。 (1)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 (2)在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 题型1 天体运动的探索历程 1．在人类对物质运动规律的认识过程中，许多物理学家大胆猜想、勇于质疑，取得了辉煌的成就。下列有关科学家及他们的贡献描述中，正确的是（    ） A．开普勒潜心研究第谷的天文观测数据，提出行星绕太阳做匀速圆周运动 B．卡文迪许进行了“月—地检验”实验，并测出了万有引力常量G C．牛顿在开普勒揭示的行星运动规律的基础上，发现了万有引力定律，并将其推广到自然界中任何两个物体之间 D．冥王星是运用万有引力定律在“笔尖”上发现的行星 2．关于“日心说”和“地心说”，下列说法正确的是（　　） A．日心说代表人物是托勒密，地心说代表人物是哥白尼 B．“太阳从东边升起，在西边落下”，这说明太阳绕地球转动，地球是不动的 C．如果认为地球是不动的（以地球为参考系），行星运动的描述变得简单 D．如果认为太阳是不动的（以太阳为参考系），则行星运动的描述变得简单 3．许多科学家在物理学的发展过程中做出了重要贡献，下列叙述错误的是（    ） A．开普勒首先指出了行星绕太阳运动的轨道不是圆，而是椭圆 B．伽利略首创了将实验和逻辑推理结合起来的物理学研究方法 C．卡文迪什第一次在实验室里测出了万有引力常量G，被称为“第一个称出地球质量的人” D．开普勒总结出了行星运动的规律，并发现了万有引力定律 发现未知天体、预言哈雷慧星回归 4．海王星的发现：英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文学家 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星—— 。 5．其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了 、阋神星等几个较大的天体。 6．哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为 年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在 年左右。 题型2 开普勒三大定律 7．关于开普勒行星运动定律，下列说法不正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．表达式，代表行星与太阳之间的最近距离 C．表达式，与中心天体有关 D．表达式，代表行星运动的公转周期 8．开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 D．离太阳越近的行星的运动周期越长 9．如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨迹为椭圆，、 分别为椭圆的长轴和短轴。哈雷彗星的运行周期为76年。只考虑太阳对哈雷彗星的作用力，则哈雷彗星（　　） A．从 点运动到 点的时间为38年 B．从 点运动到 点的过程中速率增大 C．在 点的加速度大于 点的加速度 D．在 点的机械能大于 点的机械能 10．如图所示，某一行星围绕太阳运动，从1→2、从3→4行星与太阳的连线扫过面积相等，运动时间分别是和；运动到1和3处绕太阳的角速度分别是和。下面物理量的比较正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 11．如图所示，地球的公转轨道接近圆，彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆。若地球公转轨道半径为、周期为，哈雷彗星的近日点和远日点与太阳中心的距离分别为和，则哈雷彗星（　　） A．在近日点和远日点的速度之比为 B．在近日点和远日点的速度之比为 C．在近日点和远日点的加速度之比为 D．周期为 12．2025年7月15日5时34分，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，8时52分，天舟九号与在轨运行的空间站组合体进行交会对接。若天舟九号先在近地圆轨道1运动，在P点加速进入椭圆转移轨道2，第一次运动到远地点Q时恰好与圆轨道3上的空间站组合体相遇并完成对接。如图所示，轨道3的半径为a，轨道1的半径近似等于地球半径R，O为地心，P、Q分别为轨道2与轨道1、3的切点，天舟九号在轨道1上沿顺时针方向转动，空间站组合体也沿顺时针方向转动。已知天舟九号在P点加速进入轨道2时，空间站组合体位于图中M点，则OP与OM的夹角θ为（　　） A． B． C． D． 13．我国计划2030年前实现载人登月科学探索。如图所示，某阶段着陆器a和飞船b在同一平面内绕月球做同向匀速圆周运动，相邻两次相距最近的时间间隔为t。已知b的轨道半径是a的2倍，不考虑a、b间的引力，则a的运行周期为（　　） A． B． C． D． 题型3 万有引力定律的内容、推导及适用范围 14．已知自由落体加速度为g，月球与地球中心的距离为r，月球的公转周期为T，不考虑地球自转的影响，要完成“月一地检验”还需要已知（　　） A．引力常量G B．地球的半径R C．地球的质量M D．月球的质量m 15．在万有引力定律得出的过程中，物理学家进行了著名的“月—地”检测。已知月心到地心的距离r、月球的公转周期T，地球的半径R、质量M，地球表面的重力加速度g，地面上物体所受重力，地球吸引月球的力。下列关于“月—地”检测的说法中正确的是（　　） A．“月—地”检测的目的是验证、是同一性质的力 B．“月—地”检测的目的是测定万有引力常量G C．用r、R、M和g正确推导就能完成“月—地”检测 D．用r、R、T和g正确推导就能完成“月—地”检测 16．为了验证地球对月球的引力与地球对地球表面物体的引力遵循相同的规律，牛顿进行了著名的“月—地检验”。月球绕地球运动的向心加速度为a，地表重力加速度为，月球轨道半径为r，地球半径为R，忽略地球自转影响。关于“月地检验”，下列说法中正确的是（　　） A．计算a需要测量引力常量G B．“月—地检验”需要测量、的大小 C．若计算得，则验证了、遵循相同的规律 D．a的大小理论上也可以通过月球表面的自由落体实验测量得出 17．按照题目中的提示文字，补充完整牛顿推导万有引力定律的过程： 为简化推导，牛顿首先设定行星运动轨迹为圆，其轨道半径为r，周期为T，质量为m。根据开普勒第三定律，有 =k（k为定值）。太阳对行星的引力充当行星作匀速圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律，向心力F= 。代入开普勒第三定律的简化形式，消掉T2，得到，即F与行星质量m成正比，与轨道半径为r的平方成 比，由牛顿第三定律，力的作用是相互的，太阳与行星对引力的地位相当，推断出行星对太阳的引力也应该与太阳的质量M成 比。由此，他得出引力，并且通过著名的 进行了验证，推广至自然界任何两个物体都相互吸引，引力，其中比例系数G最先由 通过扭秤实验测得。万有引力定律表明天上与地上的物体遵循相同的自然法则。 题型4 万有引力常量的测量 18．卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G。 (1)为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是_____。 A．利用平面镜对光线的反射 B．增大T形架横梁的长度 C．增大刻度尺与平面镜的距离 D．减小石英丝的直径 (2)若实验中不慎将两对大铅球与小铅球之间的中心距离增大为原来的2倍，但实验者未察觉，测得的G值将_____。 A．变为原来的四分之一 B．变为原来的二分之一 C．保持不变 D．变为原来的四倍 19．在物理学中，常常用等效替代法、类比法、微小量放大法等来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了引力常量的数值。由的数值及其他已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为“第一个称量地球的人”。如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。 (1)若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为、，且球心相距为的两个小球之间引力的大小为，则引力常量 ；计算的引力常量 （填写国际单位）。 (2)为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是________ A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架横梁的长度 20．1798年，卡文迪什在《伦敦皇家学会哲学学报》论文中发表了“扭秤”的思想，如图1所示。    阅读完整个实验内容完成下列问题 (1)（单选）卡文迪什扭秤实验中测量时采用的主要研究方法是_____。 A．控制变量法 B．累积法 C．转换研究对象法 D．放大法 (2)（多选）关于卡文迪什扭秤实验下列说法正确的是_____。 A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，万有引力定律不适用 B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰 C．卡文迪什利用扭秤测定了引力常量的数值，被称为第一个测量地球质量的人 D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，重力对该实验的测量有影响 (3)卡文迪什扭秤的某种现代简化模型如图2所示，两个质量为的小球固定在一根总长度为的轻杆两端，用一根石英悬丝将轻杆水平的悬挂起来，距离小球处放置两个质量为的大球。根据万有引力定律，固定小球的轻杆会受到一个力矩而转动，从而使石英悬丝扭转，最终引力力矩与悬丝的弹性恢复力矩大小相等时装置静止不动。已知引力力矩大小可以表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离，弹性恢复力矩可以表示为常数乘以悬丝旋转角。激光水平入射到固定于悬丝上的平面镜上，弧形标尺到平面镜的距离为。从静止释放轻杆到最终平衡的过程中，弧形标尺上反射光点移动的距离为，则引力常量的表达式为 。（用题干中已知的物理量表示） 21．英国物理学家卡文迪什通过实验测量了几个铅球之间的引力，并由实验结果推算出了引力常量G的值，卡文迪什把他自己的这一实验称为“称量地球的重量”。若用国际单位制的基本单位表示，G的单位应为（　　） A． B． C． D． 题型5 万有引力的计算 22．2024年5月，嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场成功发射，并准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。已知地球质量大约是月球质量的81倍，在嫦娥六号探测器经过地月之间某一位置时，月球对它的引力大小是地球对它的引力大小的9倍，则该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（　　） A．1∶3 B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 23．某卫星在地球表面时受到地球的万有引力大小为，地球半径为，该卫星绕地球做圆周运动时，轨道离地球表面的高度为，周期为。 (1)求该卫星在运行轨道上受到的地球的万有引力大小； (2)已知开普勒行星运动定律也适用于卫星绕地球的运动，某地球同步轨道卫星绕地球运行的轨道半径为，求该地球同步轨道卫星的周期。 24．如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为，质量为，在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为，图中O₁、O₂、O₃共线，下列说法正确的是（　　） A．剩余部分对小球O₃的引力大小为 B．剩余部分对小球O₃的引力大小为 C．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 D．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 25．两个小球的间距为r时，它们之间的万有引力为F。下列说法正确的是（    ） A．仅将其中一个小球的质量变为2倍，它们之间的万有引力变为F B．仅将间距变为2倍时，它们之间的万有引力变为 C．将两个小球的质量都变为2倍，间距也变为2倍，它们之间的万有引力仍为F D．将两个小球质量变为2倍，间距变为倍，它们之间的万有引力变为8F 26．中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承，被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置，分别对应我国2024年的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为、，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球由春分运行到秋分的时间等于年 D．地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐增大 题型6 空壳内及地表下的万有引力 27．有一质量为2m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m1的质点。现从2m的大球体中挖去半径为的小球体，如图所示，则剩余部分对质点m1的万有引力为（　　） A． B． C． D． 28．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 29．在凡尔纳的科幻小说《地心游记》中，作者将严谨的科学推测与天马行空的幻想结合，创造了一个既符合地质学逻辑又超越现实认知的地下世界。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图所示，若该地下世界地面距地球表面的深度为，地球可认为质量分布均匀，且半径为，质量为，万有引力常量为，则该地下世界地面的重力加速度为（   ） A． B． C． D． 30．如图所示，两个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环的圆心。环的质量分布均匀，且其粗细忽略不计。若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图中环对球的万有引力大小为（　　） A．F B． C． D． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1~7.2开普勒及万有引力（解析版） 题型1 天体运动的探索历程 1 题型2 开普勒三大定律 3 题型3 万有引力定律的内容、推导及适用范围 8 题型4 万有引力常量的测量 11 题型5 万有引力的计算 15 题型6 空壳内及地表下的万有引力 19 一、开普勒行星运动定律 1．内容 (1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是_椭圆__，太阳处在椭圆的一个_焦点__上。 (2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的_面积__。 (3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的_半长轴__的三次方跟它的_公转周期__的二次方的比值都相等，即 ＝k　。 2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。 1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 二、万有引力定律及应用 1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与_两物体质量的乘积__成正比，与_两物体间距离的二次方__成反比。 2．公式：F＝ G　，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的_距离__。 3．适用条件：适用于两个_质点__或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。 1．万有引力与重力的关系 (1)地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力。 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (2)万有引力与重力的定量关系： ①在赤道上： G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg0。 ③在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)，有mg＝G，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝。所以＝。 (1)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 (2)在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 题型1 天体运动的探索历程 1．在人类对物质运动规律的认识过程中，许多物理学家大胆猜想、勇于质疑，取得了辉煌的成就。下列有关科学家及他们的贡献描述中，正确的是（    ） A．开普勒潜心研究第谷的天文观测数据，提出行星绕太阳做匀速圆周运动 B．卡文迪许进行了“月—地检验”实验，并测出了万有引力常量G C．牛顿在开普勒揭示的行星运动规律的基础上，发现了万有引力定律，并将其推广到自然界中任何两个物体之间 D．冥王星是运用万有引力定律在“笔尖”上发现的行星 【答案】C 【知识点】天体运动的探索历程 【详解】A．开普勒研究第谷数据后提出行星运动三定律，指出轨道为椭圆而非匀速圆周，故A错误； B．“月—地检验”由牛顿完成，卡文迪许测定了引力常量G，故B错误； C．牛顿基于开普勒定律，发现万有引力定律并推广至任何两物体之间，故C正确； D．海王星是理论预测发现的，冥王星为观测发现，故D错误。 故选C。 2．关于“日心说”和“地心说”，下列说法正确的是（　　） A．日心说代表人物是托勒密，地心说代表人物是哥白尼 B．“太阳从东边升起，在西边落下”，这说明太阳绕地球转动，地球是不动的 C．如果认为地球是不动的（以地球为参考系），行星运动的描述变得简单 D．如果认为太阳是不动的（以太阳为参考系），则行星运动的描述变得简单 【答案】D 【知识点】天体运动的探索历程 【详解】A．日心说的代表人物是哥白尼，地心说的代表人物是托勒密，故A错误； B．太阳东升西落是地球自转的观测结果，不能说明太阳绕地球转动，地球是不动的，故B错误； C．地心说以地球为参考系时，需引入复杂的本轮和均轮模型来描述行星运动，故C错误； D．日心说以太阳为参考系，行星的轨道可简化为以太阳为中心的简单轨道，描述更简洁，故D正确。 故选D。 3．许多科学家在物理学的发展过程中做出了重要贡献，下列叙述错误的是（    ） A．开普勒首先指出了行星绕太阳运动的轨道不是圆，而是椭圆 B．伽利略首创了将实验和逻辑推理结合起来的物理学研究方法 C．卡文迪什第一次在实验室里测出了万有引力常量G，被称为“第一个称出地球质量的人” D．开普勒总结出了行星运动的规律，并发现了万有引力定律 【答案】D 【知识点】天体运动的探索历程、物理学史 【详解】A．开普勒通过分析第谷的观测数据，提出了行星运动的三大定律，明确指出行星绕太阳的轨道是椭圆而非圆，故A正确，不满足题意要求； B．伽利略通过实验和逻辑推理相结合的方法（如斜面实验），为物理学研究奠定了基础，故B正确，不满足题意要求； C．卡文迪什利用扭秤实验首次测定了万有引力常量，并由此计算出地球质量，被称为“第一个称出地球质量的人”，故C正确，不满足题意要求； D．开普勒总结出行星运动规律，但万有引力定律由牛顿发现，故D错误，满足题意要求。 故选D。 发现未知天体、预言哈雷慧星回归 4．海王星的发现：英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文学家 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星—— 。 5．其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了 、阋神星等几个较大的天体。 6．哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为 年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在 年左右。 【答案】4． 亚当斯 勒维耶 伽勒 海王星 5．冥王星 6． 76 2061 【知识点】天体运动的探索历程 【解析】4．[1][2][3][4] 海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 5．其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 6．[1][2]英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右。 题型2 开普勒三大定律 7．关于开普勒行星运动定律，下列说法不正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．表达式，代表行星与太阳之间的最近距离 C．表达式，与中心天体有关 D．表达式，代表行星运动的公转周期 【答案】B 【知识点】开普勒第一定律、开普勒第三定律 【详解】A．开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A正确； B．在开普勒第三定律表达式中，代表行星运行轨道的半长轴，而非行星与太阳之间的最近距离，故B错误； C．在开普勒第三定律表达式中，是与中心天体质量相关的常数，故C正确； D．在开普勒第三定律表达式中，代表行星运动的公转周期，故D正确。 题目要求选择不正确的，故选B。 8．开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 D．离太阳越近的行星的运动周期越长 【答案】C 【知识点】开普勒第三定律、开普勒第一定律 【详解】AB．根据开普勒第一定律，行星轨道是椭圆，太阳处在焦点上，故AB错误； C．根据开普勒第三定律，所有行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，即，其中k只与中心天体有关，同一个中心天体k相等，故C正确； D．根据开普勒第三定律，离太阳越近，半长轴a越小，周期T越短，故D错误。 故选C。 9．如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨迹为椭圆，、 分别为椭圆的长轴和短轴。哈雷彗星的运行周期为76年。只考虑太阳对哈雷彗星的作用力，则哈雷彗星（　　） A．从 点运动到 点的时间为38年 B．从 点运动到 点的过程中速率增大 C．在 点的加速度大于 点的加速度 D．在 点的机械能大于 点的机械能 【答案】C 【知识点】开普勒第二定律、判断系统机械能是否守恒 【详解】AB．哈雷彗星在近日点附近运动快，在远日点附近运动慢，因此从d点运动到c点的时间小于38年，从a点运动到b点的过程中速率减小，故A、B错误； C．由，得哈雷彗星在近日点的加速度大，故C正确； D．哈雷彗星运动过程中只有太阳对它的万有引力做功，机械能不变，故D错误。 故选C。 10．如图所示，某一行星围绕太阳运动，从1→2、从3→4行星与太阳的连线扫过面积相等，运动时间分别是和；运动到1和3处绕太阳的角速度分别是和。下面物理量的比较正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】开普勒第二定律 【详解】根据开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。 从1→2、从3→4行星与太阳的连线扫过面积相等，所以 单位时间扫过的面积相同（面积定律）要求 由于，因此 故选D。 11．如图所示，地球的公转轨道接近圆，彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆。若地球公转轨道半径为、周期为，哈雷彗星的近日点和远日点与太阳中心的距离分别为和，则哈雷彗星（　　） A．在近日点和远日点的速度之比为 B．在近日点和远日点的速度之比为 C．在近日点和远日点的加速度之比为 D．周期为 【答案】A 【知识点】开普勒第三定律、开普勒第二定律 【详解】AB．根据开普勒第二定律，取时间微元，结合扇形面积公式可得 解得在近日点和远日点的速度之比为，故A正确，B错误； C．由牛顿第二定律 可得 所以在近日点和远日点的加速度之比为，故C错误； D．由开普勒第三定律 解得哈雷彗星周期，故D错误。 故选A。 12．2025年7月15日5时34分，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，8时52分，天舟九号与在轨运行的空间站组合体进行交会对接。若天舟九号先在近地圆轨道1运动，在P点加速进入椭圆转移轨道2，第一次运动到远地点Q时恰好与圆轨道3上的空间站组合体相遇并完成对接。如图所示，轨道3的半径为a，轨道1的半径近似等于地球半径R，O为地心，P、Q分别为轨道2与轨道1、3的切点，天舟九号在轨道1上沿顺时针方向转动，空间站组合体也沿顺时针方向转动。已知天舟九号在P点加速进入轨道2时，空间站组合体位于图中M点，则OP与OM的夹角θ为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】开普勒第三定律 【详解】根据开普勒第三定律可知，天舟九号沿椭圆轨道2与空间站沿圆轨道3运动的周期之比为 由题意可知 解得 故选C。 13．我国计划2030年前实现载人登月科学探索。如图所示，某阶段着陆器a和飞船b在同一平面内绕月球做同向匀速圆周运动，相邻两次相距最近的时间间隔为t。已知b的轨道半径是a的2倍，不考虑a、b间的引力，则a的运行周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】开普勒第三定律 【详解】设着陆器的运行周期为，轨道半径为，飞船的运行周期为，轨道半径为，根据开普勒第三定律有 又有相邻两次相距最近的时间间隔为，则有 解得。 故选D。 题型3 万有引力定律的内容、推导及适用范围 14．已知自由落体加速度为g，月球与地球中心的距离为r，月球的公转周期为T，不考虑地球自转的影响，要完成“月一地检验”还需要已知（　　） A．引力常量G B．地球的半径R C．地球的质量M D．月球的质量m 【答案】B 【知识点】万有引力定律的内容、推导及适用范围 【详解】月—地检验的核心是验证地球对月球的引力与地球表面重力遵循相同的平方反比规律。已知条件为：地表重力加速度、地月距离、月球公转周期。需验证月球公转向心加速度是否等于按平方反比推算的加速度，其中为地球半径。 A．月—地检验通过比例关系验证，无需具体计算地球质量或引力常量，故A不符合题意。 B．计算时需已知以确定地表重力与月球轨道处的比例关系，故B符合题意。 C．可通过和间接推导，地球的质量是非必要已知量，故C不符合题意。 D．月球的质量在向心力公式中消去，无需已知，故D不符合题意。 结论：需已知地球半径以完成比例验证。 故选B。 15．在万有引力定律得出的过程中，物理学家进行了著名的“月—地”检测。已知月心到地心的距离r、月球的公转周期T，地球的半径R、质量M，地球表面的重力加速度g，地面上物体所受重力，地球吸引月球的力。下列关于“月—地”检测的说法中正确的是（　　） A．“月—地”检测的目的是验证、是同一性质的力 B．“月—地”检测的目的是测定万有引力常量G C．用r、R、M和g正确推导就能完成“月—地”检测 D．用r、R、T和g正确推导就能完成“月—地”检测 【答案】AD 【知识点】万有引力定律的内容、推导及适用范围 【详解】AB．“月—地”检测的目的是验证地球对月球的引力与地球对地面物体的引力是否为‌同一种性质的力‌，并验证这种力是否遵循‌平方反比规律‌。故A正确，B错误； CD．对月球 对地面上的物体 若计算得到就可以完成“月—地”检测。因此需要用到的物理量是r、R、T和g。故C错误，D正确。 故选AD。 16．为了验证地球对月球的引力与地球对地球表面物体的引力遵循相同的规律，牛顿进行了著名的“月—地检验”。月球绕地球运动的向心加速度为a，地表重力加速度为，月球轨道半径为r，地球半径为R，忽略地球自转影响。关于“月地检验”，下列说法中正确的是（　　） A．计算a需要测量引力常量G B．“月—地检验”需要测量、的大小 C．若计算得，则验证了、遵循相同的规律 D．a的大小理论上也可以通过月球表面的自由落体实验测量得出 【答案】C 【知识点】万有引力定律的内容、推导及适用范围 【详解】A．计算a是根据 其中是月球绕地球的公转周期，不需要测量引力常量，A错误； BC．因在地球表面的物体受到的引力 月球绕地球有 若计算得 则验证了、遵循相同的规律，不需要测量、的大小，B错误，C正确； D．月球绕地球的向心加速度a由地球引力产生，而月球表面的自由落体加速度是月球自身引力产生的，与a无关，D错误。 故选C。 17．按照题目中的提示文字，补充完整牛顿推导万有引力定律的过程： 为简化推导，牛顿首先设定行星运动轨迹为圆，其轨道半径为r，周期为T，质量为m。根据开普勒第三定律，有 =k（k为定值）。太阳对行星的引力充当行星作匀速圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律，向心力F= 。代入开普勒第三定律的简化形式，消掉T2，得到，即F与行星质量m成正比，与轨道半径为r的平方成 比，由牛顿第三定律，力的作用是相互的，太阳与行星对引力的地位相当，推断出行星对太阳的引力也应该与太阳的质量M成 比。由此，他得出引力，并且通过著名的 进行了验证，推广至自然界任何两个物体都相互吸引，引力，其中比例系数G最先由 通过扭秤实验测得。万有引力定律表明天上与地上的物体遵循相同的自然法则。 【答案】 反 正 月地检验 卡文迪许 【知识点】万有引力定律的内容、推导及适用范围、万有引力常量 【详解】[1]根据开普勒第三定律有； [2]向心力 [3]根据 可F与行星质量m成正比，与轨道半径为r的平方成反比； [4]由牛顿第三定律，力的作用是相互的，太阳与行星对引力的地位相当，推断出行星对太阳的引力也应该与太阳的质量M成正比； [5]通过著名的月地检验进行了验证； [6]系数G最先由卡文迪许通过扭秤实验测得。 题型4 万有引力常量的测量 18．卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G。 (1)为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是_____。 A．利用平面镜对光线的反射 B．增大T形架横梁的长度 C．增大刻度尺与平面镜的距离 D．减小石英丝的直径 (2)若实验中不慎将两对大铅球与小铅球之间的中心距离增大为原来的2倍，但实验者未察觉，测得的G值将_____。 A．变为原来的四分之一 B．变为原来的二分之一 C．保持不变 D．变为原来的四倍 【答案】(1)AC (2)A 【知识点】万有引力常量 【详解】（1）B．增大T形架横梁的长度，对测量石英丝极微小的扭转角没有作用，故B错误； AC．为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”。利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的。当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故AC正确； D．当减小石英丝的直径时，会导致石英丝更容易转动，对测量石英丝极微小的扭转角却没有作用，故D错误。 故选AC。 （2）根据万有引力定律 解得 若实验中不慎将两对大铅球与小铅球之间的中心距离增大为原来的2倍，但实验者未察觉，r的测量值为实际值，G的测量值是实际值的。 故选A。 19．在物理学中，常常用等效替代法、类比法、微小量放大法等来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了引力常量的数值。由的数值及其他已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为“第一个称量地球的人”。如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。 (1)若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为、，且球心相距为的两个小球之间引力的大小为，则引力常量 ；计算的引力常量 （填写国际单位）。 (2)为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是________ A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架横梁的长度 【答案】(1) / (2)BC 【知识点】导出单位、万有引力常量 【详解】（1）[1][2]根据万有引力定律有 解得 由上式可知引力常量的单位为。 （2）A．当增大石英丝的直径时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故A错误； BC．为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采用使“微小量放大”。利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的，或当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故BC正确； D．当减小型架横梁的长度时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故D错误。 故选BC。 20．1798年，卡文迪什在《伦敦皇家学会哲学学报》论文中发表了“扭秤”的思想，如图1所示。    阅读完整个实验内容完成下列问题 (1)（单选）卡文迪什扭秤实验中测量时采用的主要研究方法是_____。 A．控制变量法 B．累积法 C．转换研究对象法 D．放大法 (2)（多选）关于卡文迪什扭秤实验下列说法正确的是_____。 A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，万有引力定律不适用 B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰 C．卡文迪什利用扭秤测定了引力常量的数值，被称为第一个测量地球质量的人 D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，重力对该实验的测量有影响 (3)卡文迪什扭秤的某种现代简化模型如图2所示，两个质量为的小球固定在一根总长度为的轻杆两端，用一根石英悬丝将轻杆水平的悬挂起来，距离小球处放置两个质量为的大球。根据万有引力定律，固定小球的轻杆会受到一个力矩而转动，从而使石英悬丝扭转，最终引力力矩与悬丝的弹性恢复力矩大小相等时装置静止不动。已知引力力矩大小可以表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离，弹性恢复力矩可以表示为常数乘以悬丝旋转角。激光水平入射到固定于悬丝上的平面镜上，弧形标尺到平面镜的距离为。从静止释放轻杆到最终平衡的过程中，弧形标尺上反射光点移动的距离为，则引力常量的表达式为 。（用题干中已知的物理量表示） 【答案】(1)D (2)BC (3) 【知识点】万有引力常量 【详解】（1）卡文迪什扭秤实验中测量时采用的主要研究方法是放大法。 故选D。 （2）A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，但是可认为球的质量都集中在球心位置，万有引力定律仍适用，故A错误； B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰，故B正确； C．卡文迪什利用扭秤测定了引力常量的数值，被称为第一个测量地球质量的人，故C正确； D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，但是重力在竖直方向，对水平方向的引力无影响，所以重力对该实验的测量无影响，故D错误。 故选BC。 （3）平面镜转过的角度为 平衡时满足 由万有引力定律可得 联立解得 21．英国物理学家卡文迪什通过实验测量了几个铅球之间的引力，并由实验结果推算出了引力常量G的值，卡文迪什把他自己的这一实验称为“称量地球的重量”。若用国际单位制的基本单位表示，G的单位应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】万有引力常量 【详解】根据万有引力定律 可得 所以G的单位为 故选C。 题型5 万有引力的计算 22．2024年5月，嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场成功发射，并准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。已知地球质量大约是月球质量的81倍，在嫦娥六号探测器经过地月之间某一位置时，月球对它的引力大小是地球对它的引力大小的9倍，则该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（　　） A．1∶3 B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 【答案】C 【知识点】万有引力的计算 【详解】设嫦娥六号探测器质量为m，月球质量为m月，地球质量为m地，该位置到月球中心和地球中心的距离分别为r1、r2，由万有引力定律可得，月球对探月卫星的引力，地球对探月卫星的引力 由以上两式可得 故选C。 23．某卫星在地球表面时受到地球的万有引力大小为，地球半径为，该卫星绕地球做圆周运动时，轨道离地球表面的高度为，周期为。 (1)求该卫星在运行轨道上受到的地球的万有引力大小； (2)已知开普勒行星运动定律也适用于卫星绕地球的运动，某地球同步轨道卫星绕地球运行的轨道半径为，求该地球同步轨道卫星的周期。 【答案】(1) (2)或 【知识点】万有引力的计算、开普勒第三定律 【详解】（1）设地球的质量为，该卫星的质量为，引力常量为 该卫星在地球表面时有 该卫星在运行轨道上时有 解得 （2）设该地球同步轨道卫星的周期为，根据开普勒第三定律有 解得（或） 24．如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为，质量为，在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为，图中O₁、O₂、O₃共线，下列说法正确的是（　　） A．剩余部分对小球O₃的引力大小为 B．剩余部分对小球O₃的引力大小为 C．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 D．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 【答案】AC 【知识点】万有引力的计算 【详解】AB．设挖去部分小球的质量为，则由 得 解得 假设将球形空腔填满恢复均匀球形，大球对小球O₃的引力大小为，则 填补的小球对小球O₃的引力大小为 所以剩余部分对小球O₃的引力大小为，故A正确，B错误； CD．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则填充部分的质量为 所以新填补的小球对小球O₃的引力大小为 则新球体对小球O₃的引力大小为，故C正确，D错误。 故选AC。 25．两个小球的间距为r时，它们之间的万有引力为F。下列说法正确的是（    ） A．仅将其中一个小球的质量变为2倍，它们之间的万有引力变为F B．仅将间距变为2倍时，它们之间的万有引力变为 C．将两个小球的质量都变为2倍，间距也变为2倍，它们之间的万有引力仍为F D．将两个小球质量变为2倍，间距变为倍，它们之间的万有引力变为8F 【答案】C 【知识点】万有引力的计算 【详解】A．根据万有引力公式，仅将其中一个小球质量变为2倍时，引力为 ，故A错误； B．根据万有引力公式，间距变为2倍时，引力为 ，故B错误； C．根据万有引力公式，两球质量均变为2倍且间距变为2倍时，引力为 ，故C正确； D．根据万有引力公式，两球质量变为2倍且间距变为倍时，引力为 ，故D错误。 故选C。 26．中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承，被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置，分别对应我国2024年的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为、，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球由春分运行到秋分的时间等于年 D．地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐增大 【答案】B 【知识点】开普勒第二定律、万有引力的计算 【详解】A．开普勒第二定律（面积定律）指出，行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等。因此，地球在近日点（冬至）的速度最大，在远日点（夏至）的速度最小，故A错误； B．根据开普勒第二定律，地球从轨道的冬至位置经过足够短的时间t，与太阳连线扫过的面积可看作很小的扇形其面积 同理，在夏至位置经过足够短的时间t， 由于 故B正确； C．由开普勒第二定律可知，远地点附近速度慢，时间长，所以时间大于公转周期的，故C错误； D．由万有引力公式 解得 地球由春分运行到夏至的过程中r变大，故该过程加速度减小，故D错误。 故选B。 题型6 空壳内及地表下的万有引力 27．有一质量为2m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m1的质点。现从2m的大球体中挖去半径为的小球体，如图所示，则剩余部分对质点m1的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空壳内及地表下的万有引力 【详解】利用“割补法”可知，剩余部分对m1的万有引力为， 联立可得，故选C。 28．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空壳内及地表下的万有引力 【详解】质量均匀的球壳对壳内万有引力的合力为零，故作如下图所示下等效。 由可知，密度一样，球的质量和半径的三次方成正比。设距离为b，距离为a，大球（红色虚线）对Q点物体的引力为 小球（绿色虚线）对Q点的引力为 故Q点物体受力为 由 联立得 故选D。 29．在凡尔纳的科幻小说《地心游记》中，作者将严谨的科学推测与天马行空的幻想结合，创造了一个既符合地质学逻辑又超越现实认知的地下世界。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图所示，若该地下世界地面距地球表面的深度为，地球可认为质量分布均匀，且半径为，质量为，万有引力常量为，则该地下世界地面的重力加速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空壳内及地表下的万有引力 【详解】由于质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以该地下世界地面的重力加速度大小为半径为R-d的球体表面的重力加速度，设半径为R-d的球体的质量为，则 由牛顿第二定律得 联立解得该地下世界地面的重力加速度为，故选B。 30．如图所示，两个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环的圆心。环的质量分布均匀，且其粗细忽略不计。若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图中环对球的万有引力大小为（　　） A．F B． C． D． 【答案】B 【知识点】空壳内及地表下的万有引力 【详解】利用分割法将甲环分成三个圆环，则关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力必为0，根据题意得剩余圆环对球的万有引力大小为F。再利用分割法将乙环分成两个圆环，则每个圆环对球的万有引力大小均为F，由数学知识易得二者的合力为，故A、C、D错误，B正确； 故选B。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $