1.2.1 等差数列及通项公式教学设计-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 1.2.1 等差数列及其通项公式 教学目标 1.理解等差数列、等差中项的概念； 2.了解等差数列通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式，并会根据条件求等差数列的通项或某一项，或已知等差数列的任意两项求首项和公差； 3.通过对等差数列的研究，培养学生探究解决问题的能力，让学生体验数学知识的形成过程，进而培养他们细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。 教学重难点 教学重点： 等差数列的概念及通项公式、等差中项的概念。 教学难点： 1.等差数列通项公式的含义； 2.等差数列通项公式的推导过程及应用。 教学过程 整个教学过程是由4个问题组成的问题链驱动的，共分为5个环节：创设情境,启迪思维深入探究,获得新知典例剖析-提炼方法课堂实练,巩固提高归纳小结,反思升华。 （一）创设情境-启迪思维 观察生活实例中几个特殊的数列： (1)全国统一鞋号中,成年女鞋的各种尺码(单位:cm)由大至小可组成数列 25, 24.5, 24, 23.5, 23, 22.5, 22, 21.5, 21 ① (2)某住宅小区2013至2017年的绿化建设有如下数据: 年份 2013 2014 2015 2016 2017 绿化覆盖率/% 15.8 17.8 19.8 21.8 23.8 2013至2017年各年的绿化覆盖率组成数列: 15.8%, 17.8%, 19.8%, 21.8%, 23.8% ② (3)黄白两种颜色的正六边形按如图的规律拼成一系列图案,图案中白色正六边形的个数依次构成数列: 6, 10, 14, ... ③ 问题1：这些数列有什么共同特点? 【设计意图】引导学生概括这些数列的共同特点：从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数，从而引出等差数列的定义，在此过程中，培养学生观察思考、归纳总结的能力。 等差数列广泛存在于现实生活中，从生活实例引入等差数列，有助于培养学生用数学眼光观察世界的能力。 （二）深入探究-获得新知 问题2：我们如何定义这样的数列？ 1.等差数列的定义 一般地, 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数, 那么这个数列称为等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 通常用表示。 【设计意图】老师引导学生在理解等差数列项之间关系的基础上，让学生阐述等差数列的定义，通过不断修改用词得到等差数列定义的标准表达，并强调“从第2项起”“每一项与前一项的差”“同一个常数”等要点，发展学生的数学抽象素养。 练习1 下列哪些数列是等差数列，如果是，求公差. （1）7, 13, 19, 25, 31; （2）1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111,…； （3）5, 5, 5, 5, 5； （4）-1,-3,-5,-7. 问题3：由等差数列的递推公式能否得到其通项公式？ 2.等差数列的通项公式 一般地, 如果数列的首项为,公差为, 根据等差数列的定义, 累加法 归纳法 ..., 相加得 由此得到 ..., （1）等差数列的通项公式： 注：1.数列的通项公式决定了数列的每一项，也就决定了数列的全部性质。因此通项公式是研究数列的重要依据； 2.从通项公式可以看出，和是等差数列的基本量，已知基本量可求数列的任一项。 【设计意图】这一环节首先让学生自主思考，然后小组合作探究，得出等差数列的通项公式，并比较两种方法的优劣，让学生经历探索等差数列通项公式的全过程，老师进行点拨，培养学生观察、思考、探究能力，切实发展学生的数学抽象及逻辑推理等数学核心素养。 练习2 已知数列等差数列 . （1）如果求公差d和； （2）如果求公差d和 解: 由等差数列的定义可知， (1)公差 (2)公差则=26. （三）典例剖析-提炼方法 例1 已知数列是等差数列. (1) 已知求； (2) 已知,求n； (3) 已知求. 解: (1)由题知, 解得 所以 (2)由题知即 解得n=120. (3)方法一：由题意， 解得所以 问题4：已知等差数列的任意两项，能否不用列方程组得到其公差？ 已知等差数列中任意两项和，则 联立后得到 则有 方法二：设数列的公差为d，则 【设计意图】这四个量中，由可以“知三求一”。已知等差数列的任意两项，运用方程思想可求公差和通项公式，也可用直接求公差。 例2 证明：a, b, c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c。 证明：若a, b, c三数成等差数列,则b-a=c-b,即2b=a+c。 反过来, 若2b=a+c,则c-b=b-a,由等差数列的定义知, a, b, c成等差数列。 所以, a, b, c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c。 【设计意图】以例题的形式给出了等差数列的一个重要性质：等差中项，灵活把握这条性质有助于数列的证明。 3.等差中项 在两个数a, b之间插入数M，使a, M, b成等差数列，则M称为a与b的等差中项. 注：该结论可判断所给数列是否是等差数列。 例3已知等差数列 8,5,2,... (1)求该数列的第20项; (2)试问121是不是该等差数列的项?如果是是第几项,如不是,请说明理由; (3)该数列共有多少项位于区间[200,0]内? 解: (1)由则 (2)若-121是这个数列的项,则方程应该有正整数解, 解得n=44, 则-121是该等差数列的第44项. (3)解不等式 因此，该数列位于[-200,0]内的项从第4项起直至第70项,共有67项。 【设计意图】本题是对等差数列通项公式的综合应用。第一问需观察出首项及公差，并求出通项公式；第二问可通过判断一个数是否满足通项公式来判断该数是否是数列中的项；第三问需用等差数列的“基本量”建立不等式进行求解。 (四)课堂实练-巩固提高 1.已知数列是等差数列，且求数列的通项公式. 解：设数列的公差为,则即 解得所以 2. 设是等差数列项，且,求证：. 【设计意图】设置练习1进一步帮助学生对等差数列“基本量”的认识，设置练习2进一步让学生深化对等差数列通项公式的理解，其证明的结果是等差数列的一个重要性质。 （五）归纳小结-反思升华 1.等差数列的定义： 2.等差数列的通项公式 （1）通项公式：（知三求一） （2）公式变形：(已知等差数列的任意两项，可利用立方程组的方法求出，再求任一项；也可用这两个公式求出和任一项） 3.数学思想方法：函数与方程思想 课后作业 1. 将课本P21 习题1.2 1、2、3、4做在作业本上； 2. 完成练习册《创新设计》1.2.1等差数列及其通项公式的所有题目 板书设计 1.等差数列的定义 2.等差数列的通项公式 （1）通项公式 方法一：累加法 方法二：归纳法 （2）公式变形 例1、例2、例3 作业：习题1.2 1、2、3、4 学科网（北京）股份有限公司 $