专题01二次根式同步专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题01二次根式及其性质与乘除 【题型01 二次根式的识别】........................................3 【题型02 求二次根式的值】........................................3 【题型03 求二次根式中的参数】....................................3 【题型04 二次根式有意义的条件】..................................4 【题型05 利用二次根式的性质化简】................................4 【题型06 二次根式的乘法】........................................5 【题型07 二次根式的除法】........................................5 【题型08 二次根式的乘除混合运算】................................5 【题型09 最简二次根式的判断】....................................6 【题型10 化为最简二次根式】......................................6 【题型11 已知最简二次根式求参数】................................6 【解答题5题】....................................................7 ★知识梳理★ 知识点01:二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，其中 “​” 称为二次根号，被开方数为a。 核心条件：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数（a≥0）；若二次根式在分母上，还需满足=0（即a>0） 知识点02:二次根式的两个基本性质 性质 1：()2=a(a≥0) 含义：非负数的算术平方根的平方，等于它本身； 应用：用于化简平方后带根号的非负数，如()2=7，()2=2x(x≥0)。 性质 2：=∣a∣=​ 核心：先将被开方数化成平方形式，再根据底数的正负去绝对值； 易错点：忽略a为负数的情况，如=∣−3∣=3，而非−3。 知识点03:最简二次根式初步判定 满足两个条件： 1.被开方数中不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 知识点04:二次根式的乘法与除法 一、二次根式的乘法法则及逆用 1. 乘法法则 =（a≥0，b≥0） 条件：两个二次根式的被开方数均为非负数； 含义：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘； 推广：=(a≥0,b≥0,c≥0)。 2. 逆用法则（化简核心） =（a≥0，b≥0） 应用：将被开方数拆成 “能开得尽方的因数 / 因式 × 最简因数 / 因式”，再拆分根式化简； 二、二次根式的除法法则及逆用 1. 除法法则  （a≥0，b>0） 关键条件：分母的被开方数大于 0（保证分母不为 0）； 含义：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除。 2. 逆用法则（分母有理化基础） =（a≥0，b>0） 应用 1：化简被开方数为分数的二次根式 应用 2：分母有理化—— 把分母中的根号化去，核心方法是给分子、分母同乘分母的二次根式，使分母变成整数 / 整式； 三、二次根式乘除运算的最终要求 运算结果必须化为最简二次根式，需同时满足： 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中所有因数 / 因式的指数都小于 2（即无开得尽方的部分）； 3.分母中不含根号。 四、核心运算步骤 1.乘法化简：拆被开方数→拆分根式→开方→整理； 2.除法 / 分母有理化：（分数型）逆用除法法则→分母有理化→化简；（根式相除）直接用法则→分母有理化→整理。 【题型1.二次根式的识别】 【典例】在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【跟踪专练1】小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【跟踪专练2】下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【题型2.求二次根式的值】 【典例】当时，二次根式的值为 ． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【跟踪专练3】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【题型3.求二次根式中的参数】 【典例】若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【跟踪专练1】已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【跟踪专练2】若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 ． 【跟踪专练3】下列式子中是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型4.二次根式有意义的条件】 【典例】已知，则的值为 ． 【跟踪专练1】已知是整数，则满足条件的最大整数为（   ） A． B． C． D．0 【跟踪专练2】已知，则 ． 【跟踪专练3】实数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（   ）． A． B． C． D． 【题型5.利用二次根式的性质化简】 【典例】若，则化简 ． 【跟踪专练1】已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，则的值为 ． 【跟踪专练3】“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【题型6.二次根式的乘法】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 【跟踪专练3】对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型7.二次根式的除法】 【典例】化简：（1） （2） 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 【跟踪专练3】已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型8.二次根式的乘除混合运算】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则化简 ． 【跟踪专练3】已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【题型9.最简二次根式的判断】 【典例】任意写出一个最简二次根式 ． 【跟踪专练1】下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【跟踪专练3】下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型10.化为最简二次根式】 【典例】化简： （1） ； （2） ； （3） ． 【跟踪专练1】若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 【跟踪专练2】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【跟踪专练3】把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型11.已知最简二次根式求参数】 【典例】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【跟踪专练1】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【跟踪专练3】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【解答题】 1．已知实数满足，求的值． 2．已知有理数、满足等式． (1)求的平方根； (2)计算：． 3．计算： (1)； (2)． 4．请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 5．形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是有理化因式，并说明理由； (2)请直接写出的有理化因式； (3)请比较与的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式及其性质与乘除 【题型01 二次根式的识别】........................................3 【题型02 求二次根式的值】........................................4 【题型03 求二次根式中的参数】....................................6 【题型04 二次根式有意义的条件】..................................8 【题型05 利用二次根式的性质化简】...............................10 【题型06 二次根式的乘法】.......................................11 【题型07 二次根式的除法】.......................................13 【题型08 二次根式的乘除混合运算】...............................15 【题型09 最简二次根式的判断】...................................17 【题型10 化为最简二次根式】.....................................19 【题型11 已知最简二次根式求参数】................................21 【解答题5题】...................................................22 ★知识梳理★ 知识点01:二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，其中 “​” 称为二次根号，被开方数为a。 核心条件：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数（a≥0）；若二次根式在分母上，还需满足=0（即a>0） 知识点02:二次根式的两个基本性质 性质 1：()2=a(a≥0) 含义：非负数的算术平方根的平方，等于它本身； 应用：用于化简平方后带根号的非负数，如()2=7，()2=2x(x≥0)。 性质 2：=∣a∣=​ 核心：先将被开方数化成平方形式，再根据底数的正负去绝对值； 易错点：忽略a为负数的情况，如=∣−3∣=3，而非−3。 知识点03:最简二次根式初步判定 满足两个条件： 1.被开方数中不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 知识点04:二次根式的乘法与除法 一、二次根式的乘法法则及逆用 1. 乘法法则 =（a≥0，b≥0） 条件：两个二次根式的被开方数均为非负数； 含义：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘； 推广：=(a≥0,b≥0,c≥0)。 2. 逆用法则（化简核心） =（a≥0，b≥0） 应用：将被开方数拆成 “能开得尽方的因数 / 因式 × 最简因数 / 因式”，再拆分根式化简； 二、二次根式的除法法则及逆用 1. 除法法则  （a≥0，b>0） 关键条件：分母的被开方数大于 0（保证分母不为 0）； 含义：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除。 2. 逆用法则（分母有理化基础） =（a≥0，b>0） 应用 1：化简被开方数为分数的二次根式 应用 2：分母有理化—— 把分母中的根号化去，核心方法是给分子、分母同乘分母的二次根式，使分母变成整数 / 整式； 三、二次根式乘除运算的最终要求 运算结果必须化为最简二次根式，需同时满足： 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中所有因数 / 因式的指数都小于 2（即无开得尽方的部分）； 3.分母中不含根号。 四、核心运算步骤 1.乘法化简：拆被开方数→拆分根式→开方→整理； 2.除法 / 分母有理化：（分数型）逆用除法法则→分母有理化→化简；（根式相除）直接用法则→分母有理化→整理。 【题型1.二次根式的识别】 【典例】在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的定义， 需根据“形如的式子是二次根式”这一概念判断各选项． 【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子， ∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式； B选项是整数，不符合二次根式的形式； C选项是无理数，不符合二次根式的形式； D选项满足的形式，是二次根式． 故选：D． 【跟踪专练1】小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【跟踪专练2】下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】A． 当时，即是二次根式； B． ，，即是二次根式； C． ，即是二次根式； D． 当时，即不一定是二次根式； 故选：D． 【跟踪专练3】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 【题型2.求二次根式的值】 【典例】当时，二次根式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简、二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故答案为：3． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 【跟踪专练3】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 【题型3.求二次根式中的参数】 【典例】若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【答案】6 【分析】先将化简为最简二次根式，再取的最小正整数值，使被开方数开得尽． 【详解】解：， 当，6，时，都可以开方， 是最小正整数， 时，被开方数开得尽，结果为整数，故． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握． 【跟踪专练1】已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 【跟踪专练2】若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 【跟踪专练3】下列式子中是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的定义进行解答即可． 【详解】A、中，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、中当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、，恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意； D、中被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如()的式子叫做二次根式． 【题型4.二次根式有意义的条件】 【典例】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的被开方数大于等于0，确定的值，然后代入求，最后计算． 【详解】解：由二次根式的定义可得：， 解得：， 将代入可得：， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知是整数，则满足条件的最大整数为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质，先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再化简二次根式，结合结果为整数的要求，分析为完全平方数，进而找出最大的整数m． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ， ∵是整数， ∴为整数，即是完全平方数（含0）， 要使m为最大整数，且，当时，，此时是整数，满足条件，且0是满足条件的整数中最大的， ∴ 满足条件的最大整数m为0． 故选：D． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是根据被开方数非负列出不等式组求解的值，再代入求及． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：，即， ∴． 将代入，得：， 则． 故答案为：． 【跟踪专练3】实数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由数轴可得，即得，进而根据二次根式有意义即被开方数要为非负数即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ， 有意义， 故选：． 【题型5.利用二次根式的性质化简】 【典例】若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，核心知识点是二次根式的性质，以及绝对值的化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】已知，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次根式的性质． 根据二次根式的性质求出a、b的值，进而求的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且，解答即可． 本题考查了正方形的面积，算术平方根的应用，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 故选：A． 【题型6.二次根式的乘法】 【典例】计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，掌握相关知识是解决问题的关键．应用二次根式的乘法法则进行计算 【详解】解：根据二次根式的乘法运算法则，， ． 故答案为 4． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的算术平方根，先计算被开方数的值，再根据算术平方根的性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：和在实数范围内无意义，原运算错误，不符合题意； 选项B：，原运算错误，不符合题意， 选项C：，原运算正确，符合题意； 选项D：，原运算错误，不符合题意， 故选：C． 【跟踪专练2】设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【跟踪专练3】对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 【题型7.二次根式的除法】 【典例】化简：（1） （2） 【答案】 4 2 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，正确运用二次根式乘法法则是解题关键． （1）根据算术平方根的定义直接计算； （2）根据二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法后再开方． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）4 （2）2 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的除法公式是，其中，，解决本题的关键是根据二次根式的除法公式计算出正确结果，再根据计算结果判断正误． 【详解】解：A选项：根据二次根式的除法法则，可得：，故A选项计算错误； B选项：根据二次根式的除法法则，可得：，故B选项计算错误； C选项：根据二次根式的除法法则，可得：，故C选项计算正确； D选项：，故D选项计算错误． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 根据长方形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个长方形的宽为：． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到a、b的值是解题的关键． 先根据，得出，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， A．∵，∴，此时算式无意义，故不正确； B．∵，∴，，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，∴无意义，故不正确； 故选：C． 【题型8.二次根式的乘除混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】12 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 【跟踪专练2】若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 【题型9.最简二次根式的判断】 【典例】任意写出一个最简二次根式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键； 最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行解答即可． 【详解】解：一个最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，需依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：A、的被开方数无法分解出能开得尽方的因式，且不含分母，符合最简二次根式的定义，符合题意． B、，被开方数16是能开得尽方的数，不符合最简二次根式定义，不符合题意． C、，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． D、的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【跟踪专练3】下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项. 【详解】解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，含平方因数，不是最简二次根式； ④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式． ∴ 最简二次根式有①和⑤，共个. 故选：B． 【题型10.化为最简二次根式】 【典例】化简： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，二次根式的化简； （1）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可； （2）直接根据乘法法则计算即可； （3）把化为，再进一步化简即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：，， 【跟踪专练1】若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，根据正方形面积公式，面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根，计算并化简即可． 【详解】解：设边长为a， ∴，而， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 【题型11.已知最简二次根式求参数】 【典例】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴不能开方，不含分母， ∴的值可以为2，此时； 故答案为：10（答案不唯一）． 【跟踪专练1】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．所以根据题意得解出a的值即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 故选B． 【点睛】此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，属于基础题． 【跟踪专练2】若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 【跟踪专练3】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 【解答题】 1．已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得到，即，化简，整理后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴， 可化为， 整理得， ， 解得． 2．已知有理数、满足等式． (1)求的平方根； (2)计算：． 【答案】(1)的平方根是； (2) 【分析】（1）利用二次根式有意义的条件求得，继而求得，代入计算即可求解； （2）代入，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：代入，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式的定义进行求解． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 5．形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是有理化因式，并说明理由； (2)请直接写出的有理化因式； (3)请比较与的大小． 【答案】(1)是有理化因式 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式比较大小，正确理解题意是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）可计算出，，据此可得答案； （3）可证明，由，可得． 【详解】（1）解：与是有理化因式，理由如下： ∵， ∴与是有理化因式； （2）解：∵， ∴的有理化因式为， ∵， ∴的有理化因式为； （3）解：， ， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $