统计与概率：二项分布复习讲义-2026届高三数学二轮复习

统计与概率：二项分布复习讲义 统计与概率：二项分布复习讲义 考点目录 利用二项分布求分布列 二项分布的概率最大问题 建立二项分布模型解决实际问题 知识点解析 1.独立重复实验 在相同条件下，重复进行 n 次、各次相互独立的随机试验，且每次试验只有两种互斥结果（成功 / 失败、发生 / 不发生），称为 n 次独立重复试验（也叫 n 重伯努利试验）。  两结果性（对立性）：每次试验只有两种可能结果，记为 “成功”（A）或 “失败”（A），二者必居其一。  重复性：试验在完全相同的条件下进行，保证每次试验中事件 A 发生的概率 p 恒定不变。  独立性：各次试验的结果互不影响，即第 i 次试验的结果不改变第 j 次试验的概率。 2.二项分布 二项分布是n 重伯努利试验（独立重复试验） 对应的概率分布，专门描述n 次独立重复试验中，成功次数的概率规律，记为 。其中每次试验 “成功” 的概率为，“失败” 的概率为，随机变量表示 “成功” 发生的次数。 则事件 A恰好发生 k 次的概率为：，. 3.二项分布的数字特征 已知 （1）二项分布的数学期望（均值）：. （2）二项分布的方差：. 4.二项分布的最可能成功次数：，使得最大，称为最可能值. （1）若为整数，则和均为最可能值. （2）若为非整数，则（取整数部分）为最可能值. 考点一 利用二项分布求分布列与数字特征 【例题分析】 例1．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 例2．（25-26高三上·四川成都·月考）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 例3．（25-26高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，因为，所以， 又由，可得其对称轴为， 所以在单调递增，所以当，取得最大值，最大值为. 故选：B. 例4．（2026·陕西西安·三模）设随机变量服从二项分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机变量服从二项分布，故，得. 故选：C 例5．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）若随机变量，且，则 ． 【答案】3或6 【详解】由随机变量，且，得，解得或， 所以或. 故答案为：3或6 例6．（25-26高三上·甘肃白银·月考）某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率 . 【答案】 【详解】设X表示三次射击命中10环的次数，则X服从二项分布， 所求概率为 . 故答案为： 例7．（25-26高三上·福建厦门·月考）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则 ． 【答案】 【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品（试验）取得次品（成功）的概率为， 从中取3次（做3次试验），为取得次品（成功）的次数，则， ． 故答案为： 例8．（25-26高三上·广西桂林·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 例9．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河南漯河·期末）将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现2次正面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，，若出现“恰有2次正面朝上”的频率记为，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】一枚质地均匀的硬币连掷三次,正面朝上的次数的二项分布， 所以，恰出现2次正面朝上的概率， 20组随机数中，出现“恰有2次正面朝上”的有：011、101、101、011、011、101，共6组，故频率， 所以. 故选：B 变式2．（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由未来连续3天每天下雨的概率均为，可知这3天中只有1天下雨的概率为：， 故选：A. 变式3．（2025·四川眉山·模拟预测）已知随机变量服从二项分布，则（   ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】因为，所以， 则. 故选：B 变式4．（25-26高三上·四川成都·期末）若随机变量，且，则 . 【答案】或 【详解】，， ，，，或， 当时，， 当时，， 综上可知，或. 故答案为：或. 变式5．（2025·河北·模拟预测）若随机变量，则 ． 【答案】 【详解】由于随机变量，故， 因此． 故答案为： 变式6．（25-26高二上·山东德州·期末）抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，则 ， ． 【答案】 【详解】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能发生1次，； 抛掷n次后事件A发生次，次，次，， 抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为， 当为偶数时，， 构造二项式， 当为偶数时， 令，， 令，， 两式作差得， 可得， 因为，所以. 故答案为：；. 变式7．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则 . 【答案】 【详解】由题意可知，，则. 故答案为： 变式8．（25-26高二上·山东日照·月考）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)设甲击中目标的次数为，求的分布列； (2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，且 ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 变式9．（25-26高三上·山西运城·月考）小明和小华进行一场投篮比赛．小明每次投篮命中的概率是0.6，小华每次投篮命中的概率是0.5．他们约定每人各投2次，每次命中得1分，不中得0分． (1)求小明总得分X的概率分布列． (2)求小华总得分Y的概率分布列． (3)定义随机变量，表示两人总得分的绝对差值．求Z的概率分布列． (4)求小明总得分不超过1分的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 (3)分布列见解析 (4) 【详解】（1）小明每次投篮可以看作一次两点分布试验．他投2次，总得分X服从二项分布．X的可能取值为．计算其分布列： ， ， ． 所以，X的概率分布列为： x 0 1 2 0.16 0.48 0.36 （2）同理，小华的总得分Y服从二项分布．Y的可能取值也为．计算其分布列：， ， ． 所以，Y的概率分布列为： y 0 1 2 0.25 0.50 0.25 （3）随机变量的可能取值取决于X和Y的所有组合．Z的可能取值为．由于小明和小华的投篮是相互独立的，所以．我们通过列举所有可能的情况来求Z的分布列：． 所以，Z的概率分布列为： z 0 1 2 0.37 0.50 0.13 （4）小明总得分不超过1分的概率是X取值为0或1的概率之和． ． 这也可以看作是X的累积分布函数在处的值． 考点二 二项分布的概率最大问题 【例题分析】 例1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上（    ）所对应的位置. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设质点向右移动次，则向左移动次，最终落在， 质点向右移动服从二项分布， 令，其中 即， 即， 整理得，解得， 所以当时，， 当时，， 则最大， 即质点最有可能向右移动次，最终落在， 所以秒后质点最有可能落在数轴上所对应的位置. 故选：B. 例2．（25-26高三上·重庆·月考）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故选：B. 例3．（25-26高三上·福建福州·月考）罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可得到1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分． 【答案】4 【详解】设该名运动员通过罚球命中的次数为，则， 则， 再设最有可能得分，其中， 则，即， 解得，所以则，所以该名运动员通过罚球最有可能得分． 故答案为：. 例4．（2025·重庆渝中·模拟预测）已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标 次. 【答案】8或9 【详解】设击中目标的次数为，由题可知，击中目标的次数， 则， 令，即， 化简得，解得，又， 所以最有可能击中目标8或9次. 故答案为：8或9. 例5．（2025·浙江杭州·模拟预测）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． (1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，； (2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)第次或第次 【详解】（1）记“此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”， “此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”， “第次摸出红球，并且答题正确”，， “第次摸出黑球，并且答题正确”，， “第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，， 所以，， 因为，， ，， 所以， 又因为， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 因为，， 所以， 所以. （2）设该游戏在第次停止的概率为， 则前次答题正确恰好为次，答题错误次，且第次摸出最后一球时答题正确， 所以， 所以， 令，解得，令，解得， 所以， 所以的最大值是，即该游戏在第次或第次停止的概率最大，最大值为. 例6．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？ (3)若，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，（），则m为何值时，概率. 【答案】(1)，，事件与相互不独立 (2)当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小 (3)或14时，概率的值最大 【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球， 则，，， 所以， 则，所以事件与相互不独立． （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率，, 设， 当时，， ， 当时，， 当时，， 因此， 而， 则，， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小． （3）若，盒中有9个白球，11个黑球，则每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·山东青岛·期中）某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（   ） A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小 【答案】D 【详解】A：在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A错误； B：，当时，取得最大值，故B错误； C、D：， ， ， ， 当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故C错误； 当时，为正项且单调递减的数列，所以随着的增大而减小，故D正确； 故选：D. 变式2．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）某人在19次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则（    ） A．14或15 B．15 C．15或16 D．16 【答案】C 【详解】因为在19次射击中击中目标的次数为X，， 所以，且. 若最大，则. ，即 解得：， 因为且，所以当或时，最大. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·四川宜宾·月考）小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做则得零分．他的目标是至少得7分，7分及格．小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率均为，则小张应该做 道题，及格的概率最大． 【答案】7或9 【详解】小张再做一道题及格的概率为；再做两道题及格的概率为； 再做三道题及格的概率为； 再做四道题及格的概率为， 所以小张应该做7或9道题，及格的概率最大． 故答案为：7或9 变式4．（25-26高三上·上海·月考）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得 分的概率最大． 【答案】 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 则， 依题意，，解得 又因为，所以，易知时，最大， 故甲得分为的概率最大． 故答案为：120. 变式5．（25-26高三上·湖南岳阳·月考）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率， 则壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为. （3）用表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则， 则， 假设投中壶2的次数为时最大，则 ，即， 解得，因，则， 故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为时，概率最大. 变式6．（24-25高二下·山东烟台·期中）分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． (1)若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； (2)若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； (3)若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 【答案】(1) (2) (3)方案A更优 【详解】（1）设3个节点中处理任务成功的节点个数为，则， 所以．即恰好有2个节点成功处理任务的概率为． （2）由（1）知，60个节点中处理任务成功的节点个数， 若每次处理任务成功的节点数为时概率最大，则， 解得，因为，所以． （3）若采用方案A，则每个任务至少有一个节点处理成功的概率， 所以处理任务成功数， 则处理任务成功的节点数的期望． 所以利润的期望． 若采用方案B：则处理任务成功数，则处理任务成功的节点数的期望， 所以利润的期望． 因为，所以方案A更优． 考点三 建立二项分布模型解决实际问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”， 由题意知分离出1个轻水分子的概率为， 分离出1个非轻水分子的概率为， 所以， 故至少分离出2个轻水分子的概率为． 故选：D. 例2．（25-26高三上·江苏南京·月考·多选）已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（    ） A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为 【答案】ABD 【详解】对于A，恰有1个白球的概率，故A正确； 对于B，每次任取1个球，取到红球的次数， 则方差为，故B正确； 对于C，设为事件“第一次取到红球”，为事件“第二次取到红球”， 则，，所以，故C错误； 对于D，每次取到红球的概率， 所以有放回地取球3次，每次任取1个球，取到两次红球的概率为，故D正确， 故选：ABD． 例3．（25-26高三上·辽宁大连·月考·多选）甲、乙两人进行局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为，规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则（    ） A． B． C． D．单调递增 【答案】CD 【详解】由题意，设甲获胜的局数为，则，， 故甲赢得比赛的概率为： ， 又因，， 所以， 故，故C正确； ，故A错误；，故B错误； 因为，所以， 又因为， 所以，所以，即单调递增，故D正确. 故选：CD 例4．（25-26高三上·陕西西安·月考）一个质点在数轴上随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次.移动后，事件“质点位于原点0”的概率为 ，事件“质点位于的位置”的概率为 . 【答案】 【详解】设质点向左移动的次数为，又质点每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度， 共移动8次，每次移动相互独立，则. 移动8次后，若质点位于原点0，则， 所以移动8次后，事件“质点位于原点0”的概率为. 移动8次后，质点位于的位置，则. 故答案为： 例5．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 【答案】 【详解】依题意，记机器人向右跳动的次数为，则易知，所以机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 故答案为：． 例6．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知某种疾病患者的痊愈率为，为试验一种新药是否有效，一个医生把它给10个志愿者病人服用，且规定：若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效．试求： (1)虽然新药有效，且把痊愈率提高到，但通过试验被否定的概率； (2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率． 记“一个病人服用该药痊愈”为事件，且其概率为，10个病人服用该药相当于10次独立重复试验． 【答案】(1)0.5138 (2)0.2242 【详解】（1）若新药有效且， 故由次独立重复试验中事件发生次的概率公式知，试验被否定（即新药无效）的概率为 , 故虽然新药有效，但通过试验被否定的概率约为0.5138． （2）因新药完全无效，故，试验被认为有效的概率为 ， 故新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率约为0.2242． 例7．（24-25高二下·广东韶关·期末）甲乙两名选手参加某球类比赛，比赛采用积分制：赛满奇数局，赢1局得2分，输者不得分，积分多者胜．已知甲选手每局比赛获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立． (1)若两人共进行了3局比赛，且，求甲最终获胜的概率及甲得分的方差； (2)若两人共进行了局比赛，甲最终获胜的概率为，证明：，并说明其统计意义． 【答案】(1)甲最终获胜的概率为，得分的方差为 (2)证明见详解 【详解】（1）根据题意3局比赛中，甲获胜的局数服从二项分布， 甲最终获胜，则甲至少要赢2局，， ，所以甲最终获胜的概率， ， 又甲得分，， 故甲最终获胜的概率为，甲得分的方差为. （2）证明：由题可知， 若比赛进行局，则在局时甲至少获胜的局， 若比赛到局时甲胜利局，则甲后2局必须胜出， 若比赛到局时甲胜利局，则甲后2局至少要胜一局， 若比赛到局时甲胜利至少局，则甲后2局可以任意， 所以 ，又， 所以， 故，随着比赛局数越多，甲获胜的概率越大. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广西玉林·月考）技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为， 设每组不发芽的坑数为X，则，所以每组没有发芽的坑数的平均数为， 解得，所以每个种子的发芽率为. 故选：C. 变式2．（2025·河南鹤壁·模拟预测）32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】A 【详解】 设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y； 设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n． X所有可能的取值为0，1，2，，n，则，； Y所有可能的取值为0，1，2，，32-n，则，， 所以获胜的业余棋手总人数的期望，解得． 故选：A． 变式3．（25-26高三上·云南曲靖·月考·多选）下列例子中随机变量X服从二项分布的有（    ） A．X表示重复拋掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标所需次数 C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 【答案】AC 【详解】对于A，设事件E为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”， 则，则在n重伯努利试验中事件E恰好发生了次的概率， 符合二项分布的定义，即有.故A正确； 对于B，X的取值是1，2，3，…，n，， 显然不符合二项分布的定义，因此X不服从二项分布.故B错误； 选项C与D的区别是：C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的， 因此X不服从二项分布，对于C，X显然服从二项分布，且.故C正确，D错误. 故选：AC. 变式4．（2025·湖北荆州·模拟预测·多选）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，由对称性可知， ，， ，， 所以A，B正确, ， ，故C正确，D错误. 故选：ABC. 变式5．（2025·四川遂宁·模拟预测）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数） 【答案】410 【详解】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况， 其概率为， 即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为，且被评为“阳光小组”的盆数服从二项分布， 所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有. 故答案为：410 变式6．（25-26高三上·吉林·月考）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有 ． 【答案】 【详解】解：设 “向右下落”，则 “向左下落”，且， 设，小球下落过程中共碰撞次，， ，，1，2，3，4，， ， 故投入粒小球，则落入号格的小球大约有粒． 故答案为：． 变式7．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）已知甲盒子中有大小和形状完全相同的若干个红球和白球，乙盒子中有大小和形状完全相同的3个红球2个白球． (1)记甲盒子中取到红球的概率为，若有放回地从甲盒子中取球5次，当p为何值时，能使得3次取到红球的概率最大； (2)从乙盒子不放回地取球，若将白球取完则停止取球，记停止取球时取球次数为X，求X的概率分布和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【详解】（1）因为每次取球后放回再第二次取球，所以每次取球的概率相同， 故5次取球取到红球的次数， 所以， 令，则可得， 令，则， 所以，因为，解得， 当时，，当时，， 所以时，取最大值， 所以时，能使得3次取到红球的概率最大； （2）停止取球时取球次数为X，则， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 . 变式8．（25-26高三上·江苏南通·月考）养鱼户在某个池塘中养殖鳜鱼、鲢鱼和草鱼，为统计池塘中鱼的数量，采用标记重捕法：先从鱼塘中捞出条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，再从鱼塘中捞出条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数.已知养鱼户第一次捕捞了1000条鱼，做好标记放回一段时间后，再次捕捞了2000条鱼，具体情况如下表： 种类 鳜鱼 鲢鱼 草鱼 第一次捕捞鱼（条） 100 600 300 第二次捕捞鱼（条） 197 1211 592 第二次捕捞标记鱼（条） 5 30 15 (1)请根据两次捕捞和标记情况，利用标记重捕法估计池塘中鱼的总数； (2)已知鱼苗经养殖一年后，鳜鱼的市场价为40元/条，鲢鱼和草鱼都是12元/条，以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计总体，用频率估计概率，假设一网捕捞40条鱼，鱼的总市场价为随机变量. （i）求的均值； （ii）是否有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元（即一网鱼总价超过500元的概率不小于0.9）？ 参考数据：. 【答案】(1)40000条 (2)（i）592；（ii）有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元 【详解】（1）根据题意得，，， 所以（条）. （2）（i）由题意可知以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计整体， 一网鱼中某条鱼为鳜鱼的概率为， 所以一网鱼中鳜鱼的数量， 则总价，， 故（元）； （ii）当一网鱼没有鳜鱼时，总价为元， 有一条鳜鱼时，总价为元， 一网鱼总价超过500元即一网鱼中至少有一条鳜鱼， 由（i）得，， 因为， 所以，， 所以有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：二项分布复习讲义 统计与概率：二项分布复习讲义 考点目录 利用二项分布求分布列 二项分布的概率最大问题 建立二项分布模型解决实际问题 知识点解析 1.独立重复实验 在相同条件下，重复进行 n 次、各次相互独立的随机试验，且每次试验只有两种互斥结果（成功 / 失败、发生 / 不发生），称为 n 次独立重复试验（也叫 n 重伯努利试验）。  两结果性（对立性）：每次试验只有两种可能结果，记为 “成功”（A）或 “失败”（A），二者必居其一。  重复性：试验在完全相同的条件下进行，保证每次试验中事件 A 发生的概率 p 恒定不变。  独立性：各次试验的结果互不影响，即第 i 次试验的结果不改变第 j 次试验的概率。 2.二项分布 二项分布是n 重伯努利试验（独立重复试验） 对应的概率分布，专门描述n 次独立重复试验中，成功次数的概率规律，记为 。其中每次试验 “成功” 的概率为，“失败” 的概率为，随机变量表示 “成功” 发生的次数。 则事件 A恰好发生 k 次的概率为：，. 3.二项分布的数字特征 已知 （1）二项分布的数学期望（均值）：. （2）二项分布的方差：. 4.二项分布的最可能成功次数：，使得最大，称为最可能值. （1）若为整数，则和均为最可能值. （2）若为非整数，则（取整数部分）为最可能值. 考点一 利用二项分布求分布列与数字特征 【例题分析】 例1．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·四川成都·月考）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例4．（2026·陕西西安·三模）设随机变量服从二项分布，若，则（   ） A． B． C． D． 例5．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）若随机变量，且，则 ． 例6．（25-26高三上·甘肃白银·月考）某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率 . 例7．（25-26高三上·福建厦门·月考）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则 ． 例8．（25-26高三上·广西桂林·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列. 例9．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河南漯河·期末）将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现2次正面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，，若出现“恰有2次正面朝上”的频率记为，则（    ） A． B． C． D．0 变式2．（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·四川眉山·模拟预测）已知随机变量服从二项分布，则（   ） A．5 B．8 C．10 D．13 变式4．（25-26高三上·四川成都·期末）若随机变量，且，则 . 变式5．（2025·河北·模拟预测）若随机变量，则 ． 变式6．（25-26高二上·山东德州·期末）抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，则 ， ． 变式7．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则 . 变式8．（25-26高二上·山东日照·月考）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)设甲击中目标的次数为，求的分布列； (2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 变式9．（25-26高三上·山西运城·月考）小明和小华进行一场投篮比赛．小明每次投篮命中的概率是0.6，小华每次投篮命中的概率是0.5．他们约定每人各投2次，每次命中得1分，不中得0分． (1)求小明总得分X的概率分布列． (2)求小华总得分Y的概率分布列． (3)定义随机变量，表示两人总得分的绝对差值．求Z的概率分布列． (4)求小明总得分不超过1分的概率． 考点二 二项分布的概率最大问题 【例题分析】 例1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上（    ）所对应的位置. A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·重庆·月考）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 例3．（25-26高三上·福建福州·月考）罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可得到1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分． 例4．（2025·重庆渝中·模拟预测）已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标 次. 例5．（2025·浙江杭州·模拟预测）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． (1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，； (2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由． 例6．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？ (3)若，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，（），则m为何值时，概率. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·山东青岛·期中）某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（   ） A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小 变式2．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）某人在19次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则（    ） A．14或15 B．15 C．15或16 D．16 变式3．（25-26高三上·四川宜宾·月考）小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做则得零分．他的目标是至少得7分，7分及格．小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率均为，则小张应该做 道题，及格的概率最大． 变式4．（25-26高三上·上海·月考）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得 分的概率最大． 变式5．（25-26高三上·湖南岳阳·月考）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 变式6．（24-25高二下·山东烟台·期中）分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． (1)若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； (2)若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； (3)若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 考点三 建立二项分布模型解决实际问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·江苏南京·月考·多选）已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（    ） A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为 例3．（25-26高三上·辽宁大连·月考·多选）甲、乙两人进行局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为，规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则（    ） A． B． C． D．单调递增 例4．（25-26高三上·陕西西安·月考）一个质点在数轴上随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次.移动后，事件“质点位于原点0”的概率为 ，事件“质点位于的位置”的概率为 . 例5．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 例6．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知某种疾病患者的痊愈率为，为试验一种新药是否有效，一个医生把它给10个志愿者病人服用，且规定：若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效．试求： (1)虽然新药有效，且把痊愈率提高到，但通过试验被否定的概率； (2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率． 记“一个病人服用该药痊愈”为事件，且其概率为，10个病人服用该药相当于10次独立重复试验． 例7．（24-25高二下·广东韶关·期末）甲乙两名选手参加某球类比赛，比赛采用积分制：赛满奇数局，赢1局得2分，输者不得分，积分多者胜．已知甲选手每局比赛获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立． (1)若两人共进行了3局比赛，且，求甲最终获胜的概率及甲得分的方差； (2)若两人共进行了局比赛，甲最终获胜的概率为，证明：，并说明其统计意义． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广西玉林·月考）技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·河南鹤壁·模拟预测）32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 变式3．（25-26高三上·云南曲靖·月考·多选）下列例子中随机变量X服从二项分布的有（    ） A．X表示重复拋掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标所需次数 C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 变式4．（2025·湖北荆州·模拟预测·多选）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 变式5．（2025·四川遂宁·模拟预测）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数） 变式6．（25-26高三上·吉林·月考）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有 ． 变式7．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）已知甲盒子中有大小和形状完全相同的若干个红球和白球，乙盒子中有大小和形状完全相同的3个红球2个白球． (1)记甲盒子中取到红球的概率为，若有放回地从甲盒子中取球5次，当p为何值时，能使得3次取到红球的概率最大； (2)从乙盒子不放回地取球，若将白球取完则停止取球，记停止取球时取球次数为X，求X的概率分布和期望． 变式8．（25-26高三上·江苏南通·月考）养鱼户在某个池塘中养殖鳜鱼、鲢鱼和草鱼，为统计池塘中鱼的数量，采用标记重捕法：先从鱼塘中捞出条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，再从鱼塘中捞出条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数.已知养鱼户第一次捕捞了1000条鱼，做好标记放回一段时间后，再次捕捞了2000条鱼，具体情况如下表： 种类 鳜鱼 鲢鱼 草鱼 第一次捕捞鱼（条） 100 600 300 第二次捕捞鱼（条） 197 1211 592 第二次捕捞标记鱼（条） 5 30 15 (1)请根据两次捕捞和标记情况，利用标记重捕法估计池塘中鱼的总数； (2)已知鱼苗经养殖一年后，鳜鱼的市场价为40元/条，鲢鱼和草鱼都是12元/条，以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计总体，用频率估计概率，假设一网捕捞40条鱼，鱼的总市场价为随机变量. （i）求的均值； （ii）是否有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元（即一网鱼总价超过500元的概率不小于0.9）？ 参考数据：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $