利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 考点目录 利用导数求函数的单调区间（不含参） 利用导数讨论含参函数的单调性 己知函数的单调性求参数 已知函数的单调区间求参数 函数单调性与导数图像的关系 考点一 利用导数求函数的单调区间（不含参） 例1.(2425高二下·福建泉州月考)已知函数f()=C (I)求f(x)在点A(L,e)处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间. 例2.(25-26高二上浙江台州·期末)己知函数f(x=x2-6x+41nx,xe(0,+o）. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)求函数f(x)在区间[1，e]上的取值范围. 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 例3.(25-26高二上陕西西安期末)己知函数f(x=lnx+x2+ax+2在点(2，f(2)处的切线与直线2x+3y=0垂直 (1)求实数a的值； (2)求∫(x)的单调区间： (3)求f(x)的极值 变式1.(25-26高二上山西吕梁期末)已知函数fx)=x2-3x+lnx. (1)求∫'(x的最小值： (2)求f(x)的极值及在 上的值域 变式2.（2526商二上：江苏准安期未)已知函数f0-6:-,当x=3时，y有极小值33h3. (1)若直线y=4x+m为f(x)的切线，求m的值： (2)求∫(x)的单调区间. 2 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 考点二 利用导数讨论含参函数的单调性 例1.(24-25高二下广东深圳月考)已知fx)=x+ax.Inx(a∈R), (I)当a=2时，求f(x)在点(e,f(e)处的切线方程； (2)讨论f(x的单调性， 例2.(2526高三上~天津红桥-开学考试)已知函数f到=2ar2-20-lnx,g(=↓。，其中aeR,为自然 x er 对数的底数. (1)若a=1,求函数f(x在点1，f(1)处的切线方程； (2)讨论函数fx)的单调性； (3)证明：当x>1时，gx>0. 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 例3.(2425商三下北京开学考试)已知函数八到=ln(-+2+号aeR。 ()考fd在x=处取得极值，求a的值： (2)求∫(x)的单调区间. 例4.(24-25高二下.湖北孝感月考)已知函数gx)=ax2-(a+2)x(a∈R),h(x=nx,令函数 f(x)=8(x)+h(x). (I)当a为正数时，讨论函数f(x)的单调性； ②若不等式八x)-f>-2对-切0<<5都成立，求a的取值范围。 X1-X2 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 变式1.24,25商二下-重庆沙坪现期未)已知函数f川=心-a行r+, (1)若曲线y=∫(x与x轴相切，求实数a的取值； (②)讨论函数∫(x的单调区间. 变式2.(24-25高二下·湖北武汉·期末)已知函数f(x)=m(x2+2x)-ln(xe)(m∈R). (1)当m=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程： (2)讨论函数f(x)单调性 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 变式3.(24-25高二下·天津滨海·月考)己知函数f(x)=ax2e(a∈R,e为自然对数的底数) (I)若函数∫(x)在点1，f1)处的切线的斜率为6e,求实数a的值； (2)当a≠0时，讨论函数∫x)的单调性； 变式4.(24-25高二下·河北期中)已知函数f(x)=x2-(6+ax+3alnx,其导函数为f'(x). (1)设f'(2)=-1. ①求a的值； ②求f(x)在(0,2)上的最大值. (2)讨论f(x的单调性. 6 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 考点三 已知函数的单调性求参数 例1.(2526商三上：福建福州月考)若函数八四=e-i血x在0引内不单闻，则实数4的取值范围为《) A.（-1,0 B.(0,1) c(（ D. 例2.2425高东惠州月考)设函数9)=29r在区间a-.a+单调减，则实数a的取值范围 是() A.1,2] B.[4,+00) C.(-0,2] D.(0,3] 例3.(25-26高三下·湖北随州·开学考试)己知函数∫(x=x3-ax在区间0,1上单调递减，则实数a的取值范围 是」 例4.(25-26高二上·浙江温州期末)若函数∫(x)=e-mx+2)在[-1,1上单调递增，则m的最大值是 变式1.Q526高二上：福建莆田期未)已知函数f八--anx+x在L,+网)上单调递增，则实数a的取值范围 是() A.（-o0,1 B.(-0,1 C.-0,2 D.（-0,2] 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 变式2.(25-26高三上·安徽·月考)设函数f(x)=(x+a)x2在区间(1,2)上单调递减，则a的最大值是() A.-3 B.-2 D.3 变式3.(2526高二上-湖南长沙期未)函数)=之2+c-1血x在区同[3]上存在单词递塔区间，则实数长的 取值范围是 变式4.(2526高二上上海期末)若f)=+分-b-小x存在单调递诚区间，则实复b的取值蔻围 是 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 考点四 已知函数的单调区间求参数 例1.(25-26高三上·甘肃白银·期末)若函数∫(x=x-ax的单调递减区间为[-1，，则a的值为() A.6 B.3 C.-3 D.-6 例2.(2025吉林松原·模拟预测)若函数∫(x=x3-ax的减区间为[-1,1，则a的值为() A.3 B.1 C.1 D.-3 例3.(25-26高三上·甘肃天水月考)已知函数f(x)=(x-3)e*-a(x-4)x是R上的增函数，则a的值为一 例4.(2026湖北孝感一模)函数f(x)=x3-3x2-9x+11的单调递增区间为(-0，a],[b,+0）,单调递减区间为 [a,b],则a+b= 变式1.(24-25高二下·四川南充期中)己知函数f(x=ae-x的单调递增区间为0，+o),则a的值为() A.3 B.2 C.1 D.2 1 ax+2cosx,x≤0， 变式2.(2425高二下-潮南郴州月考)已知函数f=x-2a4x>0在R上单调递减，则实数4的取值范 围是() A.[-3,-2 B.(-3,-2] C.[-3,-2 D.（-3,-2 0 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 变式3.(2425高二下江苏无锡期中)若函数f)=x-++4的单调递减区间恰为-1,4，则实数a的值 32 为一 变式4.(24-25高二下·北京海淀·期中)如果定义在R上的函数fx)=+bx+x的单调增区间为-1,1)，那么实 数a+b的值为 o利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 利用导数研究函数的单调性5种高频考点专项训练 考点目录 利用导数求函数的单调区间（不含参） 利用导数讨论含参函数的单调性 已知函数的单调性求参数 已知函数的单调区间求参数 函数单调性与导数图像的关系 考点一 利用导数求函数的单调区间（不含参） 例1．（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1)； (2)单调递减区间为，单调递增区间为. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）知， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 例2．（25-26高二上·浙江台州·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 (2) 【详解】（1）， 所以在和时，在时， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以可知函数在区间上的最小值为， 函数在区间上的最大值在中取到， ，则， 因此函数在区间上的最大值为， 综上，函数在区间上的取值范围为． 例3．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 【答案】(1)； (2)的递增区间为和，递减区间为； (3)极大值为，极小值为. 【详解】（1）， 则， 由题意可得，解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为和，的递减区间为. （3）由可知，在处取得极大值； 在处取得极小值. 变式1．（25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)求的极值及在上的值域． 【答案】(1)． (2)极大值为，极小值为； 【详解】（1）由题意得的定义域为，求导得，由基本不等式，可知，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为. （2）由（1）知． 令，得，或，令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以的极大值为，极小值为， 又，， 显然，，所以在上的值域为． 变式2．（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知函数，当时，有极小值． (1)若直线为的切线，求的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)在单调递减，在单调递增 【详解】（1）由题意得：的定义域为， 所以，所以①， 又， 所以，即②，由①②解得， 所以， 设切点为， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以， 所以，解得， 所以； （2）由（1）有，， 所以， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 考点二 利用导数讨论含参函数的单调性 例1．（24-25高二下·广东深圳·月考）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 例2．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知函数，，其中，为自然对数的底数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 则函数在点处的切线方程为， 即； （2）， 若，则在上恒成立，故在上单调递减； 若，令，则（负值舍去）， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3）当时，要证，即证，即证， 即证，即证， 令，，则， 所以在上单调递增，又， 故，即，即得证. 例3．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为在处取得极值， 所以，解得. 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，符合题意，故. （2）因为，， 所以当时，，则在上恒成立， 所以在单调递减； 当时，令，解得，（舍去）， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 综上：当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调减区间为，单调增区间为. 例4．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知函数，，令函数． (1)当a为正数时，讨论函数的单调性； (2)若不等式对一切都成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为，， 则， 当时，在，上为正，上为负， 所以的单调增区间为，，单调减区间为. 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，在，上为正，上为负， 所以的单调增区间为，，单调减区间为， 综上：当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由，，变形为， 令，则在上单调递增， 其中，， 则， 若，此时在上恒成立，即在上单调递增，满足要求. 若，此时要满足在上恒成立， 令，对称轴为， 故要满足，解得， 综上：，即的取值范围是． 变式1．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 变式2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 变式3．（24-25高二下·天津滨海·月考）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【详解】（1）由于，， ， 因为函数在点处的切线的斜率为， 所以，解得：； （2）依题意知，， 令，解得：或0， 当时，令得或，令得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时，令，得，令得或， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 变式4．（24-25高二下·河北·期中）已知函数，其导函数为． (1)设． ①求的值； ②求在上的最大值． (2)讨论的单调性． 【答案】(1)①；②-7 (2)答案见解析 【详解】（1）①由题意得， 则，解得． ②由①得，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也就是最大值，最大值为． （2）由题意有的定义域为，． 当时，，由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． 考点三 已知函数的单调性求参数 例1．（25-26高三上·福建福州·月考）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 例2．（24-25高二下·广东惠州·月考）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 例3．（25-26高三下·湖北随州·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间 上恒成立，而，所以. 故答案为： 例4．（25-26高二上·浙江温州·期末）若函数在上单调递增，则的最大值是 . 【答案】/ 【详解】因为，所以. 由函数在上单调递增，得对恒成立，即，所以. 设，，则， 易知当时，恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以，即的最大值为. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 变式2．（25-26高三上·安徽·月考）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 变式3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数定义域为，求导得， 函数在区间上存在单调递增区间， 在区间上有解，即在区间上有解， 即在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等号， ，故实数的取值范围是． 故答案为：． 变式4．（25-26高二上·上海·期末）若存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， ，因为存在单调递减区间， 所以在有解，即在有解， 令，则， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 考点四 已知函数的单调区间求参数 例1．（25-26高三上·甘肃白银·期末）若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 【答案】B 【详解】由题意得， 因为函数的单调递减区间为， 所以的解集为， 即方程的两根为， 所以，解得， 故选:B. 例2．（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 例3．（25-26高三上·甘肃天水·月考）已知函数是上的增函数，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】由题意得， 因为是上的增函数，所以恒成立． 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，要使恒成立， 则时，即恒成立，所以， 时，即恒成立，所以， 因为，所以， 综上，得． 故答案为： 例4．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则 ． 【答案】 【详解】根据题意可知， 则可得，令，即， 解之可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以可知，，所以. 故答案为： 变式1．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【详解】由求导可得， 当时，，单调递减，无单调递增区间，不符合题意； 当时，因为函数的单调递增区间为，则有，解得. 当时，， 则时，，单调递减；时，；时，，单调递增. 故函数的单调递增区间为，符合题意. 所以. 故选：C. 变式2．（24-25高二下·湖南郴州·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 变式3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 【答案】 【详解】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为， ∴所以和4是的两根， ∴． 故答案为：−4. 变式4．（24-25高二下·北京海淀·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据导数研究函数的单调性，将单调区间的端点代入导函数值为零，计算并验证即可. 【详解】由题意可得：且，解得 此时，令解得符合题意，故. 故答案为：. 考点五 函数单调性与导数图像的关系 例1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数与其导函数的图象如图所示，则（   ）    A．曲线为函数的图象 B． C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】D 【详解】若曲线为函数的图象，当时，，所以在上单调递增，而曲线在上先减后增 ，不合题意， 所以曲线为函数的图象，所以曲线为函数的图象，故A错误； 由A可知在上单调递减且为偶函数，所以，故B错误，D正确； 在上先增后减，故C错误； 故选：D 例2．（25-26高二上·江苏镇江·期末）函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）      A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. 例3．（25-26高二上·江苏南通·月考·多选）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D． 【答案】AC 【详解】因为在上恒成立，所以在上单调递增，故A正确； 因为在上恒成立，所以在上单调递增，故B错误； 因为在上恒成立，在上恒成立， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极小值，故C正确； 因为在上单调递减，所以，故D错误. 故选：AC 例4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末·多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABC 【详解】对于A：图象在处左正右负、在处左负右正、在处左正右负， 所以函数共有三个极值点，A错误； 对于B：由极值点定义可知是的极大值点，B错误； 对于C：由图象，在为负，在为正， 所以在单调递减，在单调递增，C错误； 对于D：由图象，在为负，所以在单调递减，D正确； 故选：ABC. 变式1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：函数为单调递增，且在区间内为下凸函数， 所以，即. 故选：B 变式2．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 【答案】C 【详解】根据的图象，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则，仅， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对A，左右两侧导函数符号不变，故A错误； 对B，在内有增有减，故B错误； 对C，的单调递减区间是，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：C. 变式3．（24-25高二下·四川广安·月考·多选）如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】ABD 【详解】对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确； 对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误； 对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确． 故选：ABD 变式4．（25-26高二上·陕西西安·期末·多选）如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 【答案】BD 【详解】选项A，由图象可知，在，，单调递减， 在，，单调递增，所以选项A错误. 选项B，由图象可知，在内，单调递减，所以选项B正确. 选项C，由图象可知，两侧均为正，始终递增，所以选项C错误. 选项D，当时，，左侧，右侧，导数由负变正，是极小值点， 所以取得极小值，所以选项D正确. 故选：BD 2 学科网（北京）股份有限公司 $