几道概率统计原创题的创新风格欣赏与考法启示讲义-2026届高三数学二轮专题复习

几道概率统计原创题的创新风格欣赏与考法启示 1. 某家畜研究机构发现成年牛中每头感染一种型疾病的概率是,且各头成年牛是否感染这种病是相互独立的.(1)记头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是，求的最大值点.(2)以(1)中确定的作为的值.(i)若头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是，求当为何值时，有最大值？(ii)该家畜研究机构新发现了一种血清对治疗成年牛患的这种型疾病有一定疗效，但能成功治好的概率为；农户家里养有头成年牛，打算让这家研究机构为这头成年牛预防和治疗这种病，已知需缴纳给研究机构的预防和治疗费用是每头牛为元，而患病不能成功治好的成年牛研究机构要赔偿农户每头为元，估计该研究机构能在农户那里所获取的收益是多少元？ 解析:(1)依题意，头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是，且.则有，又因，令，解得.则当时,；当时,.即函数在上是递增的，在上是递减的；故的最大值点. (2)由(1)知，.(i)则头成年牛中恰有头感染型疾病的概率是()，由于 ；显然当，即时，有；当，即(,且)时，有,于是得.从而知当时，. (ii)设在农户那里所获取的收益是元，表示头成年牛中所患型疾病的头数，则，于是；故元.故该研究机构能在农户那里所获取的收益大约是元. 2.一袋中装有黑、白两种颜色的球共个,这些球的重量、大小、质地等完全相同，即除颜色外没有任何差别，且每个球被取出的可能性相同，现从袋中一次取出个球.(1)设袋中白球的个数为，记取出黑、白各个球的概率为，问为何值时，有最大值？并求出最大值是多少？(2)若袋中白球的个数等于(1)中的最大值点,并规定从袋中取到一个白球记为分，取到一个黑球记为分，设表示所取出四个球的得分之和，求的分布列和期望. 解析:(1)法1,依题意，袋中白球的个数为，则黑球的个数为，其中，且.从个球中取个，取出黑、白各个球的概率为.要使取最大值，只需取最大值，而且.易求当或时，；当或时，；当或时，；当时，.故知当时,的最大值为，此时. 法2，前同法1， (且).令,则，注.则当时，；当时，，所以知函数在上递增，在上递减；于是得时，取最大值.故知当时，. (2)由于(1)中的最大值点，知袋中白球有个，则黑球也有个.依题意知所有可能取值分别为分.从而得:取出个白球时，有；取出白黑球时，有；取出白黑球时，有；取出白黑球时，有；取出个黑球时，有.故得的分布列为 则期望(分). 3.某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有三个不同的题，现甲、乙两人同时去参加应聘考试，他们考相同的试卷.已知甲考生对三个题中的每一题能解出的概率都是，乙考生对三个题能解出的概率分别是，且甲、乙两人解题互不干扰，各人对每个题是否能解出是相互独立的.(1)求甲至少能解出两个题的概率；(2)设表示乙在考试中能解出题的个数，求的数学期望.(3)按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录取，你认为谁应该被录取，请说出理由. 解析：(1)依题意，甲至少能解出两个题的概率. (2)由题意知，的所有可能取值为.则；； ； .故的数学期望. (3) 设表示甲在考试中能解出题的个数，则随机变量服从二项分布，即.知的数学期望.因为，故甲应该被录取. 4.某企业认真贯彻党的十九大精神，以科技创新为先导，既为自身做大做强增加动力，又为提高和保障人民生活水平作出贡献，近期大批量生产一种高效节能灯.现将这批灯产品成箱包装，每箱有打，每一打有只，每一箱灯产品在出厂之前要对灯的质量作检测，如果检测出不合格灯，则应更换合格灯.检测时，先从这箱灯产品中任取一打作检测，再根据检测结果决定是否对该箱其余的灯作检测.设每只灯为不合格灯的概率均是，且各只灯是否为不合格灯相互独立.(1)记每一打的只灯中恰有只不合格灯的概率是，求的最大值点.(2)今对一箱灯产品检测了一打，结果恰有只不合格灯，以(1)中确定的作为的值.已知每只灯的检测费用是元，若有不合格灯出厂落入商家手中，则该企业要对每只灯支付元的信誉赔偿金.(i)若不对该箱其余的灯作检测，这一箱灯产品的检测费用与信誉赔偿金之和记为，求的期望.(ii)以检测费用与信誉赔偿金之和的期望值作为决策依据，是否该对这箱其余的所有灯作检测？ 解析:(1)依题意，每一打的只灯中恰有只不合格灯的概率是，且.则有，又因，令，解得.则当时,；当时,.即函数在上是递增的，在上是递减的；故的最大值点. (2)由(1)知，.(i)设表示该箱其余打共只灯产品中的不合格灯只数，依题意知，则，而.故得元. (ii)如果对其余的打共只灯作检测，则这一箱灯产品所需要的检测费为元，由于，故不应该对这箱其余的所有灯作检测. 学科网（北京）股份有限公司 $