7.1.2复数的几何意义 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.1复数的概念 7.1.2复数的几何意义 人教A版必修第二册 主讲人：XXX 温故知新 虚数单位满足： 复数：形如 的数。全体复数的集合叫做复数集，即 ， 为复数的实部，记作， 为复数的虚部，记作。 复数相等：如果两个复数和的 与 分别相等，则这两个复数相等。即： 且 复数 当时，，为 ，这说明是的真子集。 当时，为 。特别地，当且时，为 复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系 实部 虚部 纯虚数 虚数 实数 学习目标 1、理解复平面、实轴、虚轴的概念，掌握复数与复平面内点的对应关系。 2、掌握复数与平面向量的一一对应关系，理解其几何意义。 3、会求复数的模，理解复数模的几何意义。 4、理解共轭复数的定义及其在复平面内的几何特征。 1 3 2 4 内容索引 情境导入 新知探究 讲练互动 本课小结 0 1 情境导入 情境导入 提问1：在实数范围内，每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，那 么对于复数，我们能否也找到一种直观的几何方式来表示它呢？ 提问2：复数由实部和虚部两个实数决定，这让你联想到了我们学过的哪个几何概念？ 平面直角坐标系 02 新知探究 新知探究 1、复数与点对应 因为任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数与有序实数对一一对应的，而有序实数对与平面直角坐标系上的点是一一对应的，所以复数集可以与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系。 复平面：以轴为实轴，轴为虚轴建立平面直角坐标系 实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外表示虚数 复数可用点表示，横坐标为，纵坐标为 复数 复平面内的点 一一对应 新知探究 2、复数与向量对应 在平面直角坐标系中，每个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序 实数对与复数是一一对应的，因而我们可以用平面向量来表示复数。 设复平面内的点表示复数，连接，显然向量 由点唯一确定；反过来，点也可以用向量唯一 确定。因此，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应。 复数 平面向量 一一对应 相等的向量表示同一复数 新知探究 3、复数的模 定义：向量的模即为复数的模，记作， 计算公式为。 复数的模的几何意义：表示点到原点的距离。 如果，那么。 随堂练习 设复数， （1）在复平面内画出复数和对应的点和向量。 （2）求复数和的模，并比较它们的模的大小。 解： （1）如图所示，复数和对应的点分别为和， 对应的向量分别为和。 （2）， ， 所以 点和有怎样的关系？ 新知探究 4、共轭复数 定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 复数的共轭复数用表示，即如果，那么。 复数与共轭复数关于实轴（轴）对称。 随堂练习 设，在复平面内对应的点为，那么满足下列条件的点的集合是什么图形？ （1） （2） 解：（1）由得，向量，所以满足条件的集合是以原点为圆心，半径为1的圆。 （2）不等式 化为不等式组. 不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合。容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以１及２为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图。 03 讲练互动 讲练互动 答案： : : : : : : : : 1、请说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长表示1） 讲练互动 答案： 2、求下列复数的模： ， ， ， ， 讲练互动 答案： （1）要使复数对应的点位于第四象限，则 ，化简得，解得或 （2）要使复数对应的点位于直线上，则 ，解得 3、当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ （1）位于第四象限 （2）位于直线上 讲练互动 答案： （1）因为向量对应的复数是，所以点A的坐标为， 那么点A关于实轴的对称点点B的坐标为， 所以向量对应的复数为。 （2）点关于虚轴的对称点点C的坐标为 所以点C对应的复数为。 4、在复平面内，O是原点，向量对应的复数是 （1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数。 （2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数。 讲练互动 答案：ACD 由复数的几何意义知复数、分别对应复平面内的点与点，所以表示点与点之间的距离，A正确； 因为，表示点原点的距离，C正确； ，表示坐标为的向量的模，D正确； ，而点与点之间的距离为1，两者不相等，B错误。 5、（多选）下列关于的说法中正确的是（ ） 表示点与点之间的距离 表示点与点之间的距离 表示点原点的距离 表示坐标为的向量的模 04 本课小结 本课小结 复平面：以轴为实轴，轴为虚轴建立平面直角坐标系。实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外表示虚数。 复数 复平面内的点 一一对应 复数 平面向量 一一对应 定义：向量的模即为复数的模，记作， 公式为。复数的模的几何意义：表示点到原点的距离。 定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 复数的共轭复数用表示，即如果，那么。复数与共轭复数关于实轴（轴）对称。 作业布置：教材第73-74页习题7.1第4、5、7、8题。 THANK YOU 主讲人：XXX $