7.1.1数系的扩充和复数的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.1复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 人教A版必修第二册 主讲人：XXX 学习目标 1、了解数系的扩充过程，理解复数引入的必然性，知道数系扩充的基本思想与原则，即在原有数系基础上“添加”新元素，定义新运算，保持原有运算律。 2、理解复数的基本概念，能叙述虚数单位的规定及其核心性质；能准确说出复数的代数表示形式，并能识别复数的实部与虚部；能对复数进行正确分类。 3、掌握复数相等的充要条件，并能进行简单应用。 1 3 2 4 内容索引 情境导入 新知探究 讲练互动 本课小结 0 1 情境导入 情境导入 数系的成长之路 最初我们只有自然数，用于计数。但遇到了这样的减法问题，结果不在自然数中，怎么办？ 自然数集N 整数集Z 于是我们引入了负整数，扩充到整数集，解决了“减不尽”的问题。 有理数集Q 后来，面对这类问题，我们又引入了分数，扩充到有理数集，解决了“除不尽”的问题。 实数集R 但像这样的方程，在有理数中无解。我们引入了无理数，形成了实数集，使数轴变得连续、完满。 那么数系的发展就此终结了吗？实数集就是数的终极家园吗？ ？？ 情境导入 一个“简单”方程的挑战 解方程： 该方程在实数范围内有解吗？ 将该方程移向得，因为任何一个实数的平方都是非负数，所以该方程在实数范围内无解！ 那我们应该如何解决这个问题呢？难道数学要在此止步，承认自身的局限性吗？ 情境导入 数学家的困境与突破 16世纪，意大利数学家卡尔达诺在解三次方程时，被迫对负数开平方，他称这种表达式为“诡辩的”、“虚构的”。 18世纪，数学大师欧拉首创用符号表示。 19世纪，高斯系统建立了复数的理论，并给出了几何解释，使其被广泛接受。 02 新知探究 新知探究 1、虚数单位 为了求出方程的解，引入一个新数，使得是方程的解，即使得，这个新数叫做虚数单位。 …… 计算， ， ， ，…… ，从中发现什么规律？ 的计算结果存在周期性规律，周期为4。 新知探究 2、数系的扩充 把新引进的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进 行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法 对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？ 把实数与相乘，结果记作 把实数与相加，结果记作 注意到所有实数以及都可以写成的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。 新知探究 3、复数的概念 定义：形如的数称为复数。 复数通常用字母表示，即，叫做复数的实部，记作 叫做复数的虚部，记作。 全体复数的集合叫做复数集，记作，即 注意：虚部是一个实数，不是 定义：如果两个复数和的实部与虚部分别相等，则这两个复数相等。 即： 且 注意：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小。 新知探究 4、复数的分类 复数 当时，，为实数，这说明是的真子集。 当时，为虚数，如：，，等都是虚数。特别地，当且时，为纯虚数，如：，等都是纯虚数。 复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系 随堂练习 当实数取什么值时，复数是下列数？ （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 解： （1）当时，即时，复数是实数。 （2）当时，即时，复数是虚数。 （3）当且时，即时，复数是纯虚数。 03 讲练互动 讲练互动 答案： 的实部为，虚部为；的实部为，虚部为； 的实部为，虚部为；的实部为，虚部为； 的实部为，虚部为；的实部为，虚部为。 1、请说出下列复数的实部和虚部： ， ， ， ， ， 讲练互动 答案： ，， ，为实数，因为它们的虚部为0； ，， ，，，，为虚数，因为它们的虚部不为0； ，， ，为纯虚数，因为它们的实部为0，虚部不为0。 2、指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？为什么？ ，，，，，，，， 讲练互动 答案： （1）因为 所以有：，化简得，解得。 （2）因为， 所以有： ，解得。 3、求满足下列条件的实数的值。 （1） （2） 讲练互动 答案：D 因为，所以。 所以。 4、若， 是虚数单位，，则（ ） A. B. C. D. 讲练互动 答案： 因为复数的实部和虚部分别是2和3， 所以， ，解得。 5、已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数的值 分别是， 讲练互动 答案： 当复数是实数时，则， 即，解得或，由于 ，所以， 所以当时，复数是实数。 当复数是虚数时，则， 即，解得且， 所以当时，复数是虚数。 当复数是纯虚数时，则 且，即且，解得或， 所以当时，复数是纯虚数。 6、当实数为何值时，复数是实数、虚数和纯虚数？ 04 本课小结 本课小结 虚数单位满足： 。 复数：形如的数。全体复数的集合叫做复数集，即 ， 为复数的实部，记作，为复数的虚部，记作。 复数相等：如果两个复数和的实部与虚部分别相等，则这两个复数相等。即： 且 复数 当时，，为实数，这说明是的真子集。 当时，为虚数。特别地，当且时，为纯虚数。 复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系 作业布置：教材第73页习题7.1第1、2、3题。 THANK YOU 主讲人：XXX $