第07讲 复数的概念及几何意义（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第07讲 复数的概念及几何意义 知识清单 知识点01：数系的扩充和复数的概念 知识点02：复数的几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：求复数的实（虚）部 题型2：复数的分类 题型3：复数相等的应用 题型4：复数与复平面内的点一一对应 题型5：复数与复平面内的向量一一对应 题型6：复数模的相关计算 题型7：共轭复数 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.数系的扩充和复数的概念 1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R) 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集． 2．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 3．复数的分类 z＝a＋bi(a，b∈R) 思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？ [提示] 总结：1．a，b∈R，a＋bi＝0⇔a＝b＝0；a＋bi＞0⇔ 2．两个虚数不能比较大小． 3．z是复数，z2≥0不一定成立，如i2＝－1＜0. 4．复数问题实数化是解决复数问题的最基本、最重要的思想方法． 知识点2. 复数的几何意义 1．复平面 思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ [提示]　不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 2．复数的几何意义 3．复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝. 4．共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. 共轭复数的模相等。 即|z|=|| 总结：1．从数与形两方面理解复数意义，掌握复数与点和向量的一一对应关系，即： 特别提醒：相等向量对应同一个复数． 2．|z|＝1表示复平面上的单位圆. 题型1：求复数的实（虚）部 【例1-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的虚部为（　　） A．i B．5i C．1 D．-5 【答案】C 【分析】根据复数乘法运算结合虚部定义求解. 【详解】由于，则的虚部为； 故选：C 【例1-2】（24-25高一下·上海·月考）若复数（i表示虚数单位），则 . 【答案】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】因为复数， 所以. 故答案为： 【例1-3】求以下复数的实部和虚部： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)实部为，虚部为 (2)实部为，虚部为 (3)实部为，虚部 【分析】根据复数的实部和虚部的知识求得正确答案. 【详解】（1）的实部为，虚部为. （2）的实部为，虚部为. （3）的实部为，虚部. 【变式1-1】（25-26高二上·贵州·期中）复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 【答案】D 【分析】由虚部的概念即可求解. 【详解】由可知，虚部为1120. 故选：D 【变式1-2】（24-25高一下·河南郑州·月考）已知复数已知的实部与的虚部相等，则实数 【答案】 【分析】根据给定条件，直接列式计算即可. 【详解】复数的实部为1，复数的虚部为， 则，解得. 故答案为：. 【变式1-3】分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)实部为，虚部为2； (2)实部为3，虚部为； (3)实部为，虚部为0； (4)实部为0，虚部为8. 【分析】根据复数的实部和虚部的概念进行求解. 【详解】（1）的实部为，虚部为2； （2）的实部为3，虚部为； （3）的实部为，虚部为0； （4）实部为0，虚部为8. 题型2：复数的分类 【例2-1】（24-25高一下·河南开封·期末）下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，可得答案. 【详解】由为实数，复数中实部为，则ABD错误. 故选：C. 【例2-2】在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【详解】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C 【例2-3】已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论： . 【答案】 【分析】根据复数的分类即可求解. 【详解】由，解得，故. 故答案为： 【变式2-1】已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的（   ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由必要不充分条件的定义、复数的概念即可判断. 【详解】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立； 当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立， 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课后作业）在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用纯虚数的性质求解即可. 【详解】由题意得平行于轴的非零向量所对应的复数一定是纯虚数，故C正确. 故选：C 【变式2-3】“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若且，则复数是纯虚数，即充分性成立； 若复数是纯虚数，则且，即不一定成立， 利用，即必要性不成立； 综上所述：“且”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 题型3：复数相等的应用 【例3-1】（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. 【例3-2】（2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有 组. 【答案】四 【分析】分别令，可得答案. 【详解】由，，解得或，或， 可得，或，或，或. 所以共有四组实数对. 故答案为：四. 【例3-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，求实数，的值． 【答案】 【分析】由复数相等的充要条件列出方程，求解即可. 【详解】由复数相等的充要条件，得， 解得. 【变式3-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由条件结合复数相等的定义求，再求即可. 【详解】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）根据复数相等的充要条件列方程组求解即可； （2）先化简整理复数，然后根据复数为0的充要条件列方程组求解即可． 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得； （2）因为，， 所以， 可得，解得，或， 所以． 题型4：复数与复平面内的点一一对应 【例4-1】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【详解】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 【例4-2】（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【答案】或 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由题意可知，复数表示的点的坐标为， 由题意可得，解得或. 故答案为：或. 【例4-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【答案】(1)10个 (2)10个 【分析】（1）利用点的特征确定复数个数即可. （2）利用点的特征确定复数个数即可. 【详解】（1）若点在实轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. （2）若点在虚轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. 【变式4-1】（24-25高二下·陕西安康·期末）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数四则运算化简，即可求出在复平面内点的坐标，即可求解. 【详解】由题意可设. 故在复平面内对应的点为. 其位于第一象限． 故选：． 【变式4-2】（24-25高一下·广东·月考）已知，那么z在复平面内对应的点位于第 象限. 【答案】二 【分析】由待定系数法求出，结合复数的几何意义即可得解. 【详解】设，a，，则， 所以，，所以，， 所以，所以z在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限． 故答案为：二． 【变式4-3】（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可； （2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可. 【详解】（1）由，可得，解得或； （2）由对应的点在第一象限，可得， 解得且， 所以的取值范围为. 题型5：复数与复平面内的向量一一对应 【例5-1】（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【详解】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D 【例5-2】（24-25高一下·湖南·期中）在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 . 【答案】/ 【分析】根据复数的几何意义得出向量、的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量对应的复数. 【详解】因为复数、对应的向量分别是、，则，， 所以，则向量对应的复数为. 故答案为：. 【例5-3】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，向量表示的复数为，将向量向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得到向量，求： (1)向量对应的复数； (2)点对应的复数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平移可得到，从而得到向量对应的复数； （2）首先得到点平移后所对应的点，即可得到点的坐标，从而得到其所对应的复数. 【详解】（1）由向量平移可知， ∴向量对应的复数为． （2）依题意，将向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 即，故点对应的复数为． 【变式5-1】（24-25高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数在复平面内的几何意义，通过数形结合，即可得到判断. 【详解】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转， 得到对应的复数是, 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·广东广州·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 【答案】/ 【分析】根据复数与向量的对应关系以及向量的运算法则来求解向量对应的复数. 【详解】已知向量，对应的复数分别为，. 根据向量运算法则，那么向量对应的复数为向量对应的复数减去向量对应的复数.即，化简得：. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的表达式，根据为实数的条件求出的值，进而得到和，再根据向量与复数的对应关系求出向量对应的复数； （2）利用中点坐标公式求出中点对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出 【详解】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 题型6：复数模的相关计算 【例6-1】（24-25高一下·湖南·期末）若，则（    ） A．12 B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】根据复数的模直接计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：D 【例6-2】（24-25高一下·贵州黔西·期末）若复数，则 . 【答案】 【分析】利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为复数，则. 故答案为：. 【例6-3】（24-25高一下·海南海口·期中）已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数模长的计算可得； （2）由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）若，则，即， 解得. （2）由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 【变式6-1】（24-25高二下·广西崇左·期末）若复数的模为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模长的定义，列出方程，求出参数值. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一下·广东广州·期中）请写出一个模为5，虚部为的复数 . 【答案】（或）答案不唯一，写出一个即可 【分析】根据题意，设复数，由，求得的值，即可得到答案. 【详解】根据题意，设复数，可得，解得， 所以或. 故答案为：（或）答案不唯一，写出一个即可 【变式6-3】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义，实部为且虚部不为来确定的值； （2）先将代入，再根据复数模的计算公式求出. 【详解】（1）已知是纯虚数，根据纯虚数的定义可得. 解方程，得或. 解不等式，得且. 综合以上两个条件，可得. （2）将代入，可得： . 根据复数模的计算公式可得：. 题型7：共轭复数 【例7-1】已知复数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用共轭复数及复数模的意义求解. 【详解】由复数，得，所以. 故选：C 【例7-2】（24-25高一下·青海海南·期末）已知复数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合共轭复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，根据共轭复数的定义，可得. 故答案为：. 【例7-3】（24-25高一下·浙江·期中）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求的共轭复数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部为0且虚部不为0求得a值，进一步得到的共轭复数． 【详解】（1），是实数， ，即， ． （2）． 是纯虚数， ，即， ，的共轭复数为． 【变式7-1】（24-25高一下·北京石景山·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用共轭复数的定义即可求出结果. 【详解】复数，则， 故选：A 【变式7-2】（24-25高一下·上海·期末）设， 已知方程的两虚根为、. 若， 则 【答案】5 【分析】根据实系数一元二次方程根的共轭和韦达定理求值. 【详解】因为，方程的两虚根为、， 所以. 可设，则（不妨设）， 则根据韦达定理，得：，又， 所以，，. 故答案为：5 【变式7-3】（24-25高一下·湖南·期中）已知复数. (1)若为纯虚数，求. (2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解； （2）（i）由已知虚部为0，得到的值，利用韦达定理即可求解；（ii）由已知两根为共轭复数，设出两根列方程组求出两根，利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为为纯虚数，所以，所以； （2）（i）因为两个根都是实数，所以的虚部为， 所以，解得或， 当时，，当时，， 所以方程的两个根为和， 所以，； （ii）因为两个根都是虚数，所以两根为共轭复数， 设两根分别为， ，且， 所以，解得或， 所以，或，， 所以，. 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】A 【分析】由复数的实部虚部的定义可知答案. 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A 2．（25-26高二上·广西贺州·月考）若复数为纯虚数，则（　　） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义即可求解. 【详解】由纯虚数的定义可知，解得. 故选：C 3．（24-25高一下·重庆·月考）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 4．（24-25高一下·河南·期中）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用复数相等建立方程求出即可得解. 【详解】设， 则， 即，解得， 所以，， 故选：A 5．已知i为虚数单位，复数，记为z的共轭复数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数模的性质及共轭复数模相等计算. 【详解】因为， 所以， 由共轭复数的性质知，， 故选：A 6．（24-25高一下·云南昭通·月考）在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得出向量的坐标，由此可得出向量的坐标，进而可得对应的复数. 【详解】正方形，且对应的复数为， 则对应的复数为， 故选：C. 7．（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据复数相等求解即可. 【详解】依题意，得，解得， 所以. 故选：A 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用复数的旋转性质建立方程，求解参数后得到新复数，再求模即可. 【详解】由题意可设（，）， 对应的向量为，对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则，解得 ，， ，故C正确. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一下·青海海南·期末）已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．的实部是 B．的虚部为 C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】BD 【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断； 【详解】由题意可得， A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确； C：，故C错误； D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则 B．若，则 C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则 【答案】AB 【分析】根据纯虚数、复数的模、共轭复数的定义以及复平面内点所在象限的特征，分别对各选项进行分析判断. 【详解】对于A选项， 已知为纯虚数，则，则，A选项正确. 对于B选项，已知，即，这说明是一个非正实数，即， 由可得，此时，满足条件，所以若，则，B选项正确. 对于C选项，若点在第一象限，则，得，所以若点在第一象限，则，而不是，C选项错误. 对于D选项，已知，则，即，所以，解得，而不是，D选项错误. 故选：AB. 11．（24-25高一下·河南·期末）已知复数（），则下列说法正确的有（   ） A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为 C． D．若z为实数，则 【答案】ABD 【分析】由复数的概念即可判断ABD，求复数的模即可判断C. 【详解】，则实部为3，故A正确；共轭复数为，故B正确； 当z为实数时，故D正确；，故C错误. 故选：ABD． 三、填空题 12．（2025高一·全国·专题练习）若为纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】根据复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为复数为纯虚数，则，解得. 故答案为：. 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数z为纯虚数，满足，则 . 【答案】 【分析】设，，根据模长得到，求出答案. 【详解】设，，因为，所以，故. 故答案为： 14．（2024高一·全国·专题练习）已知，其中，，则的值为 . 【答案】0 【分析】根据题意知复数为实数，建立关系求解即可. 【详解】由z1>z2，得， 即，解得. 故答案为：0 四、解答题 15．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知复数，． (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）（2）（3）利用复数有相关概念列式求解. 【详解】（1）由z为实数，得，所以. （2）由z为虚数，得，解得， 所以x的取值范围为. （3）由z为纯虚数，得且，所以. 16．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1或2 (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【详解】（1）由题意 ， 若是实数，则，解得或 （2）若是纯虚数，则，解得； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 17．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数 (1)若是虚数，求m的取值范围． (2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据虚数可得虚部非零，从而可求范围； （2）根据点在第四象限可得实部为正，虚部为负，从而可得范围； （3）根据复数相等结合消参可得，由平方关系和正弦函数的性质可求参数的范围. 【详解】（1）由题意，要使是虚数，则，解得：. （2）由题意，要使点位于第四象限，则需满足，解得：. （3）由得， 由复数相等的定义知，必有， 因为，所以 故的取值范围为 18．（24-25高一下·安徽·月考）已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数及复数相等的概念列出方程求解即可； （2）由复数得出对应的向量，利用向量夹角公式得出不等式求解，注意检验向量共线时即可得解. 【详解】（1）因为 , 所以， 又， 所以. （2）由题意，， 若与的夹角为锐角， 则， 因为，所以， 所以，即， 当时，，即， 解得，此时与的夹角为， 综上，θ的取值范围 19．（24-25高一下·北京·期中），其中，．称为非零复数的三角形式． (1)已知，，求对应的点所构成三角形的所有边的平方和． (2)已知是四个复数，满足，；当时，求对应的点所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． (3)已知是个复数，，；当时，.求所对应的点所构成边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． 【答案】(1)9 (2)16 (3) 【分析】（1）根据题意，求出对应的点，再用两点间的距离公式求解即可； （2）根据两点间的距离公式推导出四边形的所有边与所有对角线的平方和，由此可求最大值； （3）同（2）可得边形的所有边与所有对角线的平方和，据此可求最大值. 【详解】（1）因为，其中. 当时，，对应点， 当时，，对应点， 当时，，对应点. 因为两点和的距离平方为，故 的距离为， 的距离为， 的距离为， 所以三条边的平方和：. （2）因为，所以复数对应的所有点都在单位圆上，所以 ， 所以两点和的距离平方为： ， 所有点对的平方和为： ， 因为，， 所以. 因为 ，所以， 所以， 即， 所以 ， 当四个点在单位圆上均匀分布（如正方形顶点），， 此时达到最大值：； （3）类似（2），所有点对的平方和为： . 利用向量和的性质： ， 所以 ， 当个点均匀分布（正边形），，此时达到最大值， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 复数的概念及几何意义 知识清单 知识点01：数系的扩充和复数的概念 知识点02：复数的几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：求复数的实（虚）部 题型2：复数的分类 题型3：复数相等的应用 题型4：复数与复平面内的点一一对应 题型5：复数与复平面内的向量一一对应 题型6：复数模的相关计算 题型7：共轭复数 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.数系的扩充和复数的概念 1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R) 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集． 2．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 3．复数的分类 z＝a＋bi(a，b∈R) 思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？ [提示] 总结：1．a，b∈R，a＋bi＝0⇔a＝b＝0；a＋bi＞0⇔ 2．两个虚数不能比较大小． 3．z是复数，z2≥0不一定成立，如i2＝－1＜0. 4．复数问题实数化是解决复数问题的最基本、最重要的思想方法． 知识点2. 复数的几何意义 1．复平面 思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ [提示]　不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 2．复数的几何意义 3．复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝. 4．共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. 共轭复数的模相等。 即|z|=|| 总结：1．从数与形两方面理解复数意义，掌握复数与点和向量的一一对应关系，即： 特别提醒：相等向量对应同一个复数． 2．|z|＝1表示复平面上的单位圆. 题型1：求复数的实（虚）部 【例1-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的虚部为（　　） A．i B．5i C．1 D．-5 【例1-2】（24-25高一下·上海·月考）若复数（i表示虚数单位），则 . 【例1-3】求以下复数的实部和虚部： (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】（25-26高二上·贵州·期中）复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 【变式1-2】（24-25高一下·河南郑州·月考）已知复数已知的实部与的虚部相等，则实数 【变式1-3】分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2：复数的分类 【例2-1】（24-25高一下·河南开封·期末）下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 【例2-2】在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2-3】已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论： . 【变式2-1】已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的（   ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课后作业）在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 【变式2-3】“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 题型3：复数相等的应用 【例3-1】（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【例3-2】（2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有 组. 【例3-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，求实数，的值． 【变式3-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为 ． 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 题型4：复数与复平面内的点一一对应 【例4-1】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【例4-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【变式4-1】（24-25高二下·陕西安康·期末）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】（24-25高一下·广东·月考）已知，那么z在复平面内对应的点位于第 象限. 【变式4-3】（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 题型5：复数与复平面内的向量一一对应 【例5-1】（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高一下·湖南·期中）在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 . 【例5-3】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，向量表示的复数为，将向量向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得到向量，求： (1)向量对应的复数； (2)点对应的复数． 【变式5-1】（24-25高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·广东广州·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 题型6：复数模的相关计算 【例6-1】（24-25高一下·湖南·期末）若，则（    ） A．12 B．1 C． D．5 【例6-2】（24-25高一下·贵州黔西·期末）若复数，则 . 【例6-3】（24-25高一下·海南海口·期中）已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【变式6-1】（24-25高二下·广西崇左·期末）若复数的模为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·广东广州·期中）请写出一个模为5，虚部为的复数 . 【变式6-3】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值； 题型7：共轭复数 【例7-1】已知复数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【例7-2】（24-25高一下·青海海南·期末）已知复数，则 . 【例7-3】（24-25高一下·浙江·期中）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求的共轭复数． 【变式7-1】（24-25高一下·北京石景山·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·上海·期末）设， 已知方程的两虚根为、. 若， 则 【变式7-3】（24-25高一下·湖南·期中）已知复数. (1)若为纯虚数，求. (2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 2．（25-26高二上·广西贺州·月考）若复数为纯虚数，则（　　） A．2 B．1 C．-1 D．-2 3．（24-25高一下·重庆·月考）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·期中）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 5．已知i为虚数单位，复数，记为z的共轭复数，（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南昭通·月考）在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 二、多选题 9．（24-25高一下·青海海南·期末）已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．的实部是 B．的虚部为 C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 10．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则 B．若，则 C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则 11．（24-25高一下·河南·期末）已知复数（），则下列说法正确的有（   ） A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为 C． D．若z为实数，则 三、填空题 12．（2025高一·全国·专题练习）若为纯虚数，则实数 . 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数z为纯虚数，满足，则 . 14．（2024高一·全国·专题练习）已知，其中，，则的值为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知复数，． (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值． 16．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 17．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数 (1)若是虚数，求m的取值范围． (2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． (3)若，求的取值范围． 18．（24-25高一下·安徽·月考）已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 19．（24-25高一下·北京·期中），其中，．称为非零复数的三角形式． (1)已知，，求对应的点所构成三角形的所有边的平方和． (2)已知是四个复数，满足，；当时，求对应的点所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． (3)已知是个复数，，；当时，.求所对应的点所构成边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $