7.1.1 数系的扩充和复数的概念教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念——教学设计 教材分析 本节课选自人教A版必修第二册第七章“复数”的第一节“复数的概念”，是学生从实数系向复数系过渡的起始课。教材通过回顾数系扩充的历史，引出虚数单位，建立复数的代数形式，并介绍复数的分类与相等条件。复数是中学数学的重要扩充，是连接代数、几何与物理的重要工具。本节课是复数学习的奠基课，为后续复数的四则运算、几何意义及应用打下基础。 学情分析 知识基础：学生已完整学习实数系（自然数、整数、有理数、无理数），熟悉实数运算与性质，能解简单方程，具备一定的代数推理能力。 认知特点：高中学生抽象思维逐步增强，但对“虚数”缺乏直观认识，容易产生畏难与怀疑心理。部分学生可能难以接受“平方为负”的数。 潜在困难：虚数单位的理解与接受；复数实部与虚部的区分（特别是虚部是实数而非）；复数分类的逻辑关系；复数不能比较大小。 教学目标 · 了解数系扩充的基本过程与思想，经历从实数到复数的扩充过程。 · 理解虚数单位的规定与性质（）。 · 掌握复数的代数形式，能准确指出实部与虚部。 · 理解向量共线的充要条件，并能初步应用。 · 掌握复数的分类（实数、虚数、纯虚数）及相互关系。 · 掌握复数相等的充要条件，并能用于求解方程。 重点难点 重点：复数的概念及其代数表示；复数的分类；复数相等的充要条件。 难点：虚数单位的引入与理解；复数概念的形成与数系扩充思想的领会；复数虚部是实数（而非）的理解；复数不能比较大小的理解。 学习目标 · 了解数系的扩充过程，理解复数引入的必然性，知道数系扩充的基本思想与原则，即在原有数系基础上“添加”新元素，定义新运算，保持原有运算律。 · 理解复数的基本概念，能叙述虚数单位的规定及其核心性质；能准确说出复数的代数表示形式，并能识别复数的实部与虚部；能对复数进行正确分类。 · 掌握复数相等的充要条件，并能进行简单应用。 教学过程 1、情境导入 【创设活动】引导学生回顾数系发展史（自然数→整数→有理数→实数），体会每次扩充都是为了解决新的数学问题（减不尽、除不尽、开方不尽）。 【问题驱动】提出方程在实数范围内无解，引发认知冲突。 【历史介绍】简述卡尔达诺、欧拉、高斯等数学家对复数的贡献，说明复数并非“虚构”，而是数学发展的必然。 【设计意图】建立新旧知识联系，让学生理解数系扩充的共性与必然性，为接受虚数做心理与认知铺垫。 2、新知探究 2.1虚数单位 定义：引入新数，满足。 探究：计算，引导学生发现的周期为4的规律。 2.2数系的扩充 把新引进的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法 对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？ 把实数与相乘，结果记作 把实数与相加，结果记作 注意到所有实数以及都可以写成的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。 2.3复数的概念 定义：形如的数称为复数。 明确复数的实部为，虚部为。 复数集：全体复数的集合叫做复数集，记作，即 定义：如果两个复数和的实部与虚部分别相等，则这两个复数相等。强调复数若不全是实数，则不能比较大小。 2.4复数的分类 通过（实数）、（虚数）、且（纯虚数）进行分类。 用图示厘清复数集、实数集、虚数集、纯虚数集的关系。 【随堂练习】 当实数取什么值时，复数是下列数？ （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 解： （1）当时，即时，复数是实数。 （2）当时，即时，复数是虚数。 （3）当且时，即时，复数是纯虚数。 【设计意图】遵循概念形成逻辑，从单位到形式，从定义到性质，从表示到分类，层层递进，通过探究与强调突破理解难点。 3、讲练互动 【基础辨析】识别复数的实部与虚部。 1、请说出下列复数的实部和虚部： ， ， ， ， ， 答案： 的实部为，虚部为；的实部为，虚部为；的实部为，虚部为；的实部为，虚部为；的实部为，虚部为；的实部为，虚部为。 2、已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数的值 分别是， 答案： 因为复数的实部和虚部分别是2和3， 所以， ，解得。 【分类判断】判断一组数是实数、虚数还是纯虚数，并说明理由。 3、指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？为什么？ ，，，，，，，， 答案：，， ，为实数，因为它们的虚部为0；，， ，，，，为虚数，因为它们的虚部不为0；，， ，为纯虚数，因为它们的实部为0，虚部不为0。 4、当实数为何值时，复数是实数、虚数和纯虚数？ 答案： 当复数是实数时，则，即，解得或，由于 ，所以， 所以当时，复数是实数。 当复数是虚数时，则，即，解得且，所以当时，复数是虚数。 当复数是纯虚数时，则且，即且，解得或， 所以当时，复数是纯虚数。 【方程求解】考查复数相等的条件 5、求满足下列条件的实数的值。 （1） （2） 答案： （1） 因为， 所以有：，化简得，解得。 （2）因为，所以有： ，解得。 6、若， 是虚数单位，，则（ ） A. B. C. D. 答案：D 因为，所以，所以。 【设计意图】通过多层次、多角度的练习，及时巩固概念，训练基本技能，暴露并纠正理解偏差。 4、课堂小结 引导学生回顾：虚数单位、复数形式、实部虚部、相等条件、分类体系。强调数系扩充的思想：添加新数，定义运算，保持运算律。 作业布置 习题7.1第1、2、3题（教材第73页）。 教学反思  · 历史情境导入能有效激发兴趣，化解对“虚数”的排斥感；部分学生可能仍觉得复数“不真实”。 · 从数系扩充的共性出发，帮助学生自然接纳新数；虚部概念与分类易混淆。 · 讲练结合，注重辨析，能较好地落实概念细节；参数讨论题涉及解方程与条件判断的综合运用，学生可能有困难。 学科网（北京）股份有限公司 $