精品解析：广东惠州市惠阳区半岛学校2025-2026学年八年级上学期第三次学情自测数学试卷

2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．） 1. 如所示图形是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 3. “不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香”．已知一株梅花的花粉直径约为，将数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，点，点，点，点，点是平面上的点，顺次连结得到不规则的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算中正确的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为6，则的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 9. 在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中： ①； ②为等腰三角形； ③； ④， ⑤的最小值是； 正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 分解因式：__________ 13. 如图所示，在中，，的垂直平分线交，于点，，且，则________． 14. 计算的结果是__________． 15. 如图，在直角梯形中，，，，，动点从点出发，沿着运动到点停止，若将沿折叠，若点的对应点恰好落在直角梯形的边上，则线段的长度为_____________． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知． （1）化简T； （2）已知，求T的值． 18. 如图，在和中，延长交于F．，，．求证：． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．（共27分） 19. 如图，在网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出与关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为； （2）求（1）中得到的的面积． 20. （1）如图1，在中，尺规作图：画出的角平分线和的角平分线，的角平分线交于点，交的角平分线于点（保留作图痕迹，不写作法，标出点F和点D） （2）如图2，在（1）的基础上，已知，点在上且，求的大小． 21. 2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用1200元购进的A种纪念品与用1500元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该纪念品经销店A种纪念品每件售价23元，B种纪念品每件售价30元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于2000元，求A种纪念品最多购进多少件？ 五．解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．（共27分） 22. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 ； 解：原式 ； ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值； （2）若，求的值； （3）证明：关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解． 23. 如图，等边与等边，B、C、E三点共线，连结、交于点F，交于点G，交于点H，连结、，则： （1）； （2）； （3）． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B． D C C C C D C 三．解答题 16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．） 1. 如所示图形是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：A． 2. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 用木条固定矩形门框，即组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：∵加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形， ∴所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：B． 3. “不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香”．已知一株梅花的花粉直径约为，将数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，数据0.000036用科学记数法表示为 故选：B． 4. 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 5. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求出，的长即可得到答案，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：． 6. 如图，点，点，点，点，点，点是平面上的点，顺次连结得到不规则的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，延长交于G，设交于H，连接，由三角形外角的性质得到，则可得，据此利用三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于G，设交于H，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 7. 下列运算中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，幂的运算；分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方，单项式的乘法法则逐一判断即可． 【详解】A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为6，则的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据中点求出，根据，得到，设，求出 得到，可得，从而求出x的值，根据即可求解． 【详解】连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，根据题意得出是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】分为、，三种情况画图判断即可． 【详解】解：如图所示： 当时，符合条件的点有2个； 当时，符合条件的点有1个； 当，即当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个． 故符合条件的点C共有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中： ①； ②为等腰三角形； ③； ④， ⑤的最小值是； 正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】利用的性质证明，可得①符合题意；证明，可得，，再证明，可判断②符合题意；由，，可判断③符合题意；由，可得，可判断④符合题意；如图，过作于，过作于，而，平分，可得，则当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，再求解的长度可判断⑤，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故①符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故②符合题意； ∵，， ∴，故③符合题意； ∵，，， ∴，故④符合题意； 如图，过作于，过作于，而，平分， ∴， ∴当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的最小值为1；故⑤不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键. 二．填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零． 本题考查了分式的性质，熟知分式的分母不为零是解题关键． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母 ， 即 ， 解得 ． 故答案为： ． 12. 分解因式：__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法分解因式． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法是解题的关键． 13. 如图所示，在中，，的垂直平分线交，于点，，且，则________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出，得到；设，由比例关系得，则，；最后在中，利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解，进而得到的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 设， ∵， ∴． 在中，， ∴． 又∵， ∴，解得， ∴． 14. 计算的结果是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，利用分式的加减法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 如图，在直角梯形中，，，，，动点从点出发，沿着运动到点停止，若将沿折叠，若点的对应点恰好落在直角梯形的边上，则线段的长度为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点的对应点恰好落在直角梯形的不同边上分两种情况讨论，结合折叠的性质作恰当的辅助线，利用几何图形的性质和面积关系建立等式求解．首先过点作，结合直角梯形和垂直的条件判定四边形为矩形，利用矩形性质求出、的长度，进而得到的长度，再通过勾股定理求出的长，发现；第一种情况，当点的对应点落在边上时，过点作，利用三角形面积公式推出，再通过证明和全等，得出点与点重合，此时在中利用勾股定理求出的长度；第二种情况，当点的对应点落在边上时，过点作，由折叠性质得出，判定为等腰直角三角形，设，将直角梯形的面积分解为矩形、梯形和的面积之和，列方程求出的值，最后在等腰直角三角形中利用勾股定理求出的长度，综合两种情况即可得到线段的长度． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，即． 当点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，过点作，垂足为， ∵，且， ∴， 在和中，，， ∴， 即是的对称轴，当点与点重合时，将沿折叠，点的对应点与点重合，落在边上， 此时在中，由勾股定理得． 当点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，过点作，垂足为， 由折叠的性质可知，， ∴是等腰直角三角形，即， 设，则，， ∵直角梯形的面积， 且， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得． 综上所述，线段的长度为或． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）25 （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减即可； （2）用单项式乘以多项式的每一项求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知． （1）化简T； （2）已知，求T的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程． （1）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法即可； （2）先解一元二次方程，根据分式有意义的条件取，再代入求出答案即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ， ， ，， ，，， 18. 如图，在和中，延长交于F．，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了用三角形全等的判定方法，找到对应的两边及其夹角相等是解题的关键，根据和，可得，再用的判定方法证明全等即可． 【详解】略 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．（共27分） 19. 如图，在网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出与关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为； （2）求（1）中得到的的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2）4.5 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换在坐标系中作图，利用网格求面积： （1）直接利用关于y轴对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积． 20. （1）如图1，在中，尺规作图：画出的角平分线和的角平分线，的角平分线交于点，交的角平分线于点（保留作图痕迹，不写作法，标出点F和点D） （2）如图2，在（1）的基础上，已知，点在上且，求的大小． 【答案】（1）如图所示，图形即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法作出和的角平分线即可； （2）利用角平分线的定义和三角形外角的性质得出，由得出，进而推出，再利用平行线的性质即可求出的大小． 【详解】（1）略 （2）是的角平分线，是的角平分线， ，，， ， ， ， ， ， ． 21. 2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用1200元购进的A种纪念品与用1500元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该纪念品经销店A种纪念品每件售价23元，B种纪念品每件售价30元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于2000元，求A种纪念品最多购进多少件？ 【答案】（1）A种纪念品每件的进价为20元，则B种纪念品每件的进价25元 （2）250件 【解析】 【分析】（1）设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价元，根据“用1200元购进的A种纪念品与用1500元购进的B种纪念品的数量相同”，列方程求解即可． （2）设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进件，根据“这两种纪念品全部售出后总获利不低于2000元” 列不等式求出a的范围，再取a的最大正整数解即可． 本题主要考查了列分式方程解应用题和列一元一次不等式解应用题，正确的列出方程和不等式是解题的关键． 【小问1详解】 设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价元， 由题意得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A种纪念品每件的进价为20元，则B种纪念品每件的进价25元； 【小问2详解】 设A种纪念品购进a件，由题意得： ， 解得：， a为整数， a的最大值为250． 答：A种纪念品最多购进250件． 五．解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．（共27分） 22. 【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 ； 解：原式 ； ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值； （2）若，求的值； （3）证明：关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解． 【答案】（1）时多项式有最小值； （2） （3） 证明：， 而的形式不能分解因式， 关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质——偶次方、实数范围内分解因式、分式的化简求值，熟知完全平方公式、正确计算是解题的关键． （1）利用题中所给配方法进行计算即可； （2）利用整体思想进行计算即可； （3）证明多项式不能通过配凑得到的形式即可． 【小问1详解】 解：， 又， ， 故当时， 多项式有最小值，最小值为； 【小问2详解】 解：由题知， 原式， ， ，， 则原式 ； 【小问3详解】 略 23. 如图，等边与等边，B、C、E三点共线，连结、交于点F，交于点G，交于点H，连结、，则： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） 证明： 和是等边三角形， ，，， ， ， ； （2） 证明:由（1）可知， ； （3） 证明：由（1）可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 和是对顶角， ． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可证明，，，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质，即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质可得，根据等边三角形的性质可知，即，所以，即可求得和的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B． D C C C C D C 三．解答题 16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $