20.2勾股定理的逆定理及其应用（同步讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册（2024）

本讲义聚焦勾股定理的逆定理及其应用核心知识点，先通过互逆命题与互逆定理构建概念基础，明确逆定理内容及最长边对角为直角等注意事项，再延伸勾股数定义与三种求法，形成从概念到应用的学习支架。 该资料特色在于结合旗杆折断、试验田面积等实例培养数学眼光，通过勾股数规律探究发展推理意识，解答题建模过程提升数学语言表达能力。课中辅助教师教学，课后答案解析助学生查漏补缺，强化知识应用。

20.2勾股定理的逆定理及其应用（同步讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册（2024） 【知识精讲】 知识点1．互逆命题与互逆定理 （1）互逆命题 如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． （2）互逆定理 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． （3）拓展 任何一个定理都有逆命题，但逆命题不一定正确，所以并非每个定理都有逆定理 知识点2．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理． 【注意】（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角． （2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”． 知识点3．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数． 勾股数的求法： （1） 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…． (2) 如果a,b,c为一组勾股数，那么na,nb，nc也是一组勾股数，其中n(n1)为自然数.例如，3，4，5是一组勾股数，则9，12，15也是一组勾股数. (3) 对于任意两个整数m,n(m>n>0)，m²+n²，m²-n²,2mn这三个数就是一组勾股数. 【题型演练】 一、单选题 1．五根木棒（单位：）的长度分别为5，9，12，13，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（　　） A．5，9，12 B．9，12，17 C．12，13，17 D．5，12，13 2．已知ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B C．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c） 3．下列条件中，以a，b，c为边的三角形为直角三角形的是（　　） A．a=2，b=4，c=5 B． C． D．a：b：c=1：1：2 4．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为（　　） A．10m B．12m C．14m D．16m 5．的三边长分别为，，，且，则（ ） A．是锐角三角形 B．边的对角是直角 C．是钝角三角形 D．边的对角是直角 6．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 7．如图，是的角平分线，，，，则的长为（       ） A． B． C． D． 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10 二、填空题 9． 在中，已知，，则的度数为____________． 10．如图，一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为　 　米． 11．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是　 　． 12．如图，在 中，D为 边上的一点，若 ， ， ， ，则 的长为　 　． 13．已知的三边a，b，c满足，则一定是　 　三角形． 14．如图，点P在第一象限，是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是　 　；若将的边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为　 　． 三、解答题 15．一块试验田的形状如图，已知，，，，，，求这块试验田的面积． 16．一根垂直于地面的电线杆AC＝8m，因特殊情况，在点B处折断，顶端C落在地面上的C'处，测得AC'的长是4m，求底端A到折断点B的长． 17．如图，在中，于点，． （1）求和的长； （2）求的度数． 18．如图，在△ABC中，边BC＝30，点D在边AB上，BD＝18，连接CD，CD＝24，当AD＝CD时，求AC的长. 19．如图所示的一块地ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积． 20．（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 21．如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且 .请问FE与DE是否垂直?请说明. 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 【解析】【解答】A、因为22+42=4+16=20≠25=c2，所以该三角形不是直角三角形； B、因为32+( ) 2=9+7=16=42，所以该三角形是直角三角形； C、最长边为：a=，因为22+( )2=4+3=7≠5=（）2，所以该三角形不是直角三角形； D、设a=x，b=x，c=2x（x>0），因为a2+b2=x2+x2=2x2≠4x2=c2，所以该三角形不是直角三角形； 故答案为：B 【分析】根据勾股定理的逆定理来判断三角形是否为直角三角形，勾股定理的逆定理为：若一个三角形的三条边满足关系式a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形（其中a、b为直角边，c为斜边）。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，记旗杆顶部为点A，折断处为点B，旗杆底部为点C， 由题意得BC⊥AC，BC=6m，AC=8m， ∴∠ACB=90°， ∴m， ∴BC+AB=6+10=16m， ∴旗杆折断之前的高度是16m， 故答案为：D． 【分析】记旗杆顶部为点A，折断处为点B，旗杆底部为点C，先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求出旗杆的长度即可. 5．【答案】D 6．【答案】C 【解析】【解答】解：观察可知，b的通项是2n（n是从2开始的正整数） 则a=n2-1，c=n2+1 当b=14即n=7时，a=48 b=50 a+b=x+y=48+50=98 故答案为：C 【分析】观察找到每列数的规律即找到通项，勾股数的通项非常有代表性，应该记牢。 7．【答案】A 8．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵，∴7、8、9三个数不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、∵，∴4、5、6三个数不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、∵，∴5、12、13三个数是“勾股数”，故本选项符合题意； D、∵，∴8、9、10三个数不是“勾股数”，故本选项不符合题意. 故答案为：C． 【分析】如果三个正整数满足较小两个的平方和等于最大数的平方，则这三个数就是勾股数，据此逐一判断即可. 9．【答案】52° 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，掌握利用勾股定理逆定理判断直角三角形，再结合内角和求角度是解题的关键。 由条件BC²-AC²=AB²可得BC²=AB²+AC²，根据勾股定理的逆定理，可知∠A=90°，再结合三角形内角和定理求出∠C. 【详解】解: ·在△ABC中，BC² - AC²=AB²， ·BC²=AB²+AC²， ·∠A=90°， ·∠B=38°， :∠C=180° -∠A- ∠B=180°-90° -38° = 52°. 故答案为：52°. 10．【答案】25 【解析】【解答】解：∵一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处， ∴折断的部分长为（米）， ∴折断前高度为（米）． 故答案为：． 【分析】根据勾股定理即可求出答案. 11．【答案】 12．【答案】9 【解析】【解答】解：∵AB=13，AD=12，BD=5， ∴AB2=AD2+BD2， ∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°， ∴△ADC是直角三角形， 在Rt△ADC中，CD= =9， 故答案为：9． 【分析】先利用勾股定理逆定理证明∠ADB=90°，再利用勾股定理求出CD的长即可。 13．【答案】直角 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴一定是直角三角形， 故答案为：直角． 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理，将变形可得，即可解答． 14．【答案】； 15．【答案】 16．【答案】底端A到折断点B的长为3m． 17．【答案】（1）； （2） 18．【答案】解： 为直角三角形， 在中 【解析】【分析】由勾股定理逆定理知△BCD为直角三角形，且∠BDC=90°，由题意可得AD=CD=24，然后在Rt△ADC中，利用勾股定理计算即可. 19．【答案】解：连接AC， ∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3， ∴AC2=AD2+CD2=42+32=25， 又∵AC＞0， ∴AC=5， 又∵BC=12，AB=13， ∴AC2+BC2=52+122=169， 又∵AB2=169， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABC﹣S△ADC=30﹣6=24m2． 【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积． 20．【答案】（1）36；（2）船向岸边移动了米 21．【答案】DE⊥EF. 证明：设BF=a，则BE=EC=2a， AF=3a，AB=4a， ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2. 连接DF（如图） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2. ∴ DF2=EF2+DE2， ∴ FE⊥DE. 【解析】【分析】设BF=a，则BE=EC=2a， AF=3a，AB=4a，分别用a表示出EF、DE、DF的长，根据勾股定理逆定理即可证明. 学科网（北京）股份有限公司 $