5.3.2函数的极值与最大（小）值(1)课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与 最大(小)值 (1) 5.3 导数在研究函数中的应用 ——函数的极值 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 复习回顾 1. 函数的单调性与其导数的关系： 如果f(x)在(a,b)内单调递增， 如果f(x)在(a,b)内单调递减， 则f ′(x)≥0在(a,b)内恒成立； 则f ′(x)≤0在(a,b)内恒成立. 反之， 2 复习回顾 ① 求出函数f (x)的定义域，x∈ _______； ② 求出函数的导数f (x)=_______； ③ 令f (x)=0，解得x= _______； ④ 列表写出定义域内不同区间内导数f '(x)的符号，及f (x)在定义域内的单调性. 2. 判断函数 f (x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)单调性的步骤： 注：单调区间不以“并集”出现. ⑤对函数f(x)的单调性下结论. x f (x) f (x) x1 (x1, x2) x2 0 － 0 f(x1) ↓ f(x2) (a, x1) (x2, b) + ↑ + ↑ 探究新知 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 探究新知 探究： 如图，函数y=f(x)在x=a，b，c，d，e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ “山峰” “山谷” 在x=b的函数值f(b)比其附近其他点的函数值都大； 在x=a的函数值f(a)比其附近其他点的函数值都小. 探究新知 探究：y=f(x)在这些点的导数值是多少？ 在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？ f ′(b)=0. 在x=b的 左侧f(x) ↑, f ′(x)>0 ； 右侧f(x) ↓, f ′(x)<0 . f ′(a)=0. 在x=a的 左侧f(x) ↓, f ′(x)<0； 右侧f(x) ↑, f ′(x)>0 . 新知讲授 极小值： 点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0 . 极大值： 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. f ′(b)=0，且在点x=b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0 . x y O a f ′(x)<0 f ′(x)>0 极小值f(a) x y O b f ′(x)>0 f ′(x)<0 极大值f(b) 探究新知 思考：下图是函数y=f(x)的图象，指出哪些是极大值点，哪些是极小值点？ 极大值点：b，d， 极小值点：a，c，e 极大值和极小值统称为极值，而极大值点和极小值点则统称为极值点 . 极大值：f(b)，f(d)， 极小值：f(a)，f(c)，f(e) 探究新知 思考：导数为0的点一定是函数的极值点吗？ x y O 2 f ′(2)=0 f ′(x)<0 f ′(x)>0 是极值点 x y O f (x)x3 f ′(0)=0 f ′(x)>0 f ′(x)>0 f ′(x)=3x2 不是 极值点 x0是极值点 f ′(x0)=0 x0是极值点 f ′(x0)=0 f ′(x0)=0 x0左右导数异号 x0是极值点 课堂练习 教材P92 1. 下图是导函数y=f ′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点， 并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 x4是极小值点 x2是极大值点 探究新知 思考： 函数的极大值一定大于极小值吗？ o a x1 x2 x3 x4 b x y y=f(x) 3. 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 1. 极值是某一点附近的小区间而言的, 是函数的局部性质, 不是 整体的最值; 2. 函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极值； 举例应用 例5 用求函数的单调性: 解: ∵f (x)= ，其定义域为R， ∴ f (x)=x2－4 = (x－2)(x+2)， 令 f (x)=0，解得 x=﹣2或x=2. 列表如下： ∴ 当x=－2时，f (x)有极大值，为f (－2)= ； 当x=2时，f (x)有极小值，为f (2)= . x f (x) f (x) －2 (－2, 2) 2 0 － 0 f(－2) = ↓ (－∞, ﹣2) (2, +∞) + ↑ + ↑ x －1 f (x) f(2) = 举例应用 如图所示. 例5 用求函数的单调性: ∴ 当x=－2时，f (x)有极大值，为f (－2)= ； 当x=2时，f (x)有极小值，为f (2)= . x f (x) f (x) －2 (－2, 2) 2 0 － 0 f(－2) = ↓ (－∞, ﹣2) (2, +∞) + ↑ + ↑ f(2) = x y O -2 2 新知讲授 x y O x0 f ′(x)<0 f ′(x)>0 极小值f(x0) x y O x0 f ′(x)>0 f ′(x)<0 极大值f(x0) 如何判断f (x0)是否为极值？ 当f ′(x0)=0时： (1)若在点x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，则f(x0)为函数的极大值； (2)若在点x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，则f(x0)为函数的极小值. 课堂练习 教材P92 2. 求下列函数的极值: 解: (1) ∵f (x)=6x2－x－2，其定义域为R， ∴ f (x)=12x－1， 令 f (x)=0，解得 x= . 列表如下： ∴当x= 时，f (x)有极小值，为f ()= . x f (x) f (x) (, +∞) 0 + 极小值 f() ↑ (－∞, ) － ↓ x f (x) 课堂练习 教材P92 2. 求下列函数的极值: 解: (2) ∵f (x)=x3－27x，其定义域为R， ∴ f (x)=3x2－27=3(x－3)(x+3)， 令 f (x)=0，解得 x=－3或x=3. 列表如下： ∴当x=－3时，f (x)有极大值，为f (－3)=54； 当x=3时，f (x)有极小值，为f (3)= 54. x f (x) f (x) －3 (－3, 3) 3 0 － 0 f(－) = 54 ↓ (－∞, －3) (3, +∞) + ↑ + ↑ x f (x) f(3) = －54 课堂练习 教材P92 2. 求下列函数的极值: 解: (3) ∵f (x)=6+12x－x3，其定义域为R， ∴ f (x)=12－3x2=3(4－x2)， 令 f (x)=0，解得 x=－2或x=2. 列表如下： ∴当x=－2时，f (x)有极小值，为f (－2)= 10； 当x=2时，f (x)有极大值，为f (2)=22 . x f (x) f (x) －2 (－2, 2) 2 0 + 0 f(－2) =－10 ↑ (－∞, －2) (2, +∞) － ↓ － ↓ x －2 f (x) f(1) = 22 课堂练习 教材P92 2. 求下列函数的极值: 解: (4) ∵f (x)=3x－x3，其定义域为R， ∴ f (x)=3－3x2=3(1－x2)， 令 f (x)=0，解得 x=－1或x=1. 列表如下： ∴当x=－1时，f (x)有极小值，为f (－1)= 2； 当x=1时，f (x)有极大值，为f (1)=2 . x f (x) f (x) －1 (－1, 1) 1 0 + 0 f(－1) =－2 ↑ (－∞, －1) (1, +∞) － ↓ － ↓ x －1 f (x) f(1) = 2 课堂小结 ① 求出函数f (x)的定义域，x∈ _______； ② 求出函数的导数f (x)=_______； ③ 令f (x)=0，解得x= _______； ④ 列表写出定义域内不同区间内导数f '(x)的符号，及f (x)在定义域内的单调性，先增后减有极大值，先减后增有极小值. 求函数极值的步骤： ⑤对函数f(x)的极值下结论. x f (x) f (x) x1 (x1, x2) x2 0 － 0 极大值f(x1) ↓ 极小值f(x2) (a, x1) (x2, b) + ↑ + ↑ [a, b] x1或x2 补充练习 解: 易错辨析 对函数取极值的充要条件把握不准致错 例 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值为10，求f(2)的值. 错解: f '(x)=3x2+2ax+b. 当a=4，b=-11时，f(x)=x3+4x2-11x+16，f(2)=18. 当a=-3，b=3时，f(x)=x3-3x2+3x+9，f(2)=11. 故f(2)=11或18. 易错辨析 对函数取极值的充要条件把握不准致错 例 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值为10，求f(2)的值. 正解: f '(x)=3x2+2ax+b. 当a=4，b=-11时，f(x)=x3+4x2-11x+16，f '(x)=3x2+8x-11. 易错辨析 对函数取极值的充要条件把握不准致错 例 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值为10，求f(2)的值. 正解: 列如下表: 显然函数f(x)在x=1处取极小值10，与题意相符， 此时f(2)=23+4×22-11×2+16=18. 易错辨析 对函数取极值的充要条件把握不准致错 例 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值为10，求f(2)的值. 正解: 当a=-3,b=3时，f(x)=x3-3x2+3x+9， f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0， 故f(x)没有极值，与题意不符. 综上，f(2)=18. 由题意得 解得 令f '(x)=0,得x=1或x=- . 由题意得 解得 x - 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 $