专题 2.8 相交线与平行线（全章知识梳理 + 题型精析 +模拟真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.8 相交线与平行线（全章知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】两条直线的位置关系 1 ★【题型 1】概念辨析：判断对顶角、余角、补角、垂线等概念的正误 2 ★★【题型 2】角度计算：利用对顶角相等、余角和补角的定义求角度 4 ★★【题型 3】性质应用：利用 “同角或等角的余角相等”“垂线段最短” 解决实际问题 7 ★【题型 4】作图题：过一点画已知直线的垂线 9 【知识点二】探索直线平行的条件 13 ★★【题型 5】角的识别：在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角 13 ★【题型 6】判定证明：根据角的关系证明两条直线平行 16 ★【题型 7】平行公理应用：判断多条直线的位置关系，或进行逻辑推理 20 ★【题型 8】作图题：按要求画出平行线 23 【知识点三】平行线的性质 25 ★★★【题型 9】角度计算：已知两直线平行，求相关角的度数 25 ★★★【题型 10】综合证明：结合判定和性质进行逻辑推理证明 30 ★★★【题型 11】实际应用：利用平行线性质解决生活中的角度问题 35 ★★★【题型 12】探究题：根据平行线性质探究角之间的数量关系 39 二.模拟真题 48 （一）选择题（6题） 48 （二）填空题（5题） 52 （三）解答题（2题） 55 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】两条直线的位置关系 1、平面内两直线的位置关系： 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 2、对顶角：定义、性质（对顶角相等） 对顶角定义：两个角有一个公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。 对顶角性质：对顶角相等。 3、余角与补角：定义、性质（同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等） 余角与补角定义：一般地,如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 余角与补角性质：同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 4、垂线：定义、性质（垂线段最短）、点到直线的距离 垂直定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。 垂直性质：（1）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 点到直线距离：过一点作已知直线的垂线，这一点与垂足之间线段的长度叫作这一点到直线的距离。 ★【题型 1】概念辨析：判断对顶角、余角、补角、垂线等概念的正误 【例题1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，直线，相交于点，射线是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的性质以及度分秒的计算，关键是先通过直角和已知角求出，再利用补角互补求出，最后结合角平分线的定义求得目标角的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵射线是的平分线， ∴； 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知与互余，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角，根据余角的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵与互余， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线，相交于，，且． (1)求的度数； (2)如果平分，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查角的运算和角平分线： （1）因为，， 所以，求得； （2），结合，即可求得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为，， 所以，即． 所以． （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 所以． ★★【题型 2】角度计算：利用对顶角相等、余角和补角的定义求角度 【例题2】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知都是直角． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查互余的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握各个角之间的互余和数量关系是解决问题的关键． （1）根据，结合图形即可求出结论； （2）设，得到，求出，即可得到的度数． 【详解】（1）解：都是直角． ∴， 由 ∴， ， ； （2）解：由可设， ∴ ∴， ∴， ∴ 【变式1】（25-26七年级上·河南信阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，，是的平分线，和互余，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角的和差运算，角平分线的定义，余角的概念，掌握好相关知识是关键． 根据角平分线的定义得，从而计算出，根据余角的概念，求出即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵和互余， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）依据对顶角相等，以及角平分线的定义，即可得到的度数； （2）依据角平分线的定义，得到，根据垂直的定义得到． 【详解】（1）解：， ． 平分， ． （2）证明：平分，平分， ，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．也考查了对顶角、邻补角以及垂直的定义，掌握以上知识点是解题的关键． ★★【题型 3】性质应用：利用 “同角或等角的余角相等”“垂线段最短” 解决实际问题 【例题3】（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查网格中计算三角形的面积、作垂线、垂线段最短，解决本题的关键是根据网格准确作图． （1）利用割补法求解可得的面积； （2）根据线的定义，结合网格作图即可得； （3）根据垂线段最短即可完成填空． 【详解】（1）解：． （2）解：如图所示． （3）解：， （垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，根据垂线段最短；两点之间，线段最短解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据垂线段最短，两点之间，线段最短可得：四种方案中最节省材料的是， 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 【答案】 同角的余角相等 【分析】由，得到，进而得到，的余角是，由，得到，的余角是，根据“同角的余角相等”得到， 本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴， ∴的余角是， ∴（同角的余角相等）． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的补角是，的余角是 (3) 【分析】本题考查余角、补角的定义，角平分线的定义． （1）根据同角的余角相等即可得出结论； （2）根据余角和补角的定义，结合图形即可解答； （3）由（2）知，求出，再根据平分，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的补角是，的余角是； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ★【题型 4】作图题：过一点画已知直线的垂线 【例题4】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知、、是正方形网格上的三个格点，根据要求在网格中作图并标注字母． (1)连接，作射线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)求作格点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析(3)见解析 【分析】本题主要考查了线段，射线，垂线，平行线的做法； （1）根据网格的特点，连接，作射线即可； （2）根据网格的特点，过点作的垂线，垂足记为即可； （3）根据网格的特点，过点作，即可找到格点． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：如图所示 （3）解：使得的格点，如图所示， 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【分析】本题考查了平面内垂线的基本性质，掌握在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据平面内垂线的基本性质，判断过直线外一点作已知直线垂线的数量． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； 因此，只能画出1条垂线． 故选：A． 【变式2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据网格线的特征画图； （2）根据网格线的特征画图； （3）根据两点之间线段最短求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）∵两点之间线段最短， ∴直接连接即可， 如图，点即为所求． 【点睛】本题考查了作图，熟悉网格线的特征是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线和点E，过点E分别画出直线的垂线． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了垂线的概念和基本作图方法，属于初中几何的基础知识点，解题的关键是理解垂线的定义（两条直线相交成角），并掌握过一点作已知直线垂线的操作步骤；易错点在于作图时可能未准确保证垂直关系，或垂线未经过给定点，导致作图失误．明确垂线的几何性质：过点作直线的垂线，需作一条通过点且与垂直的直线；同理作的垂线． 【详解】 作的垂线： ①将三角板的一条直角边紧贴直线； ②平移三角板，使另一直角边恰好经过点； ③沿三角板的这条直角边画直线，该直线即为过点且垂直于的垂线． 作的垂线： ①将三角板的一条直角边紧贴直线； ②平移三角板，使另一直角边经过点； ③沿直角边画直线，该直线即为过点且垂直于的垂线． 最终，两条垂线应分别通过点，且与、垂直（相交成角）． 【知识点二】探索直线平行的条件 1、三线八角： 同位角、内错角、同旁内角的识别 2.平行线的判定定理： 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 3.平行线的判定定理： 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 推论：平行于同一直线的两条直线互相平行 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 平行线的画法：用直尺、三角板画平行线 ★★【题型 5】角的识别：在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角 【例题5】（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 【变式1】如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：、和不是同位角，故本选项不符合题意； B、和不是内错角，故本选项不符合题意； C、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意； D、和是同旁内角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据对顶角相等和角平分线的定义即可求解； （2）根据同位角的定义即可求解； （3） 的同旁内角是， 的内错角有，，根据对顶角相等，角平分线的定义，以及角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：因为 ， 所以 ， 因为 平分 ， 所以 ； （2）解：与互为同位角的角是； （3）解： 的同旁内角是， 的内错角有，， 因为， 所以， 因为平分 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的所有内错角，同旁内角的度数之和为． 【变式3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 【答案】见解析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，同位角：在两条直线被第三条直线所截的同侧，被截两直线同侧的两个角称为同位角；内错角：在两条直线被第三条直线所截的两侧，且夹在两条被截直线之间的一对角称为内错角；同旁内角：在两条直线被第三条直线所截的同旁，被截两直线之间的两个角称为同旁内角；由此即可得出答案． 【详解】解：由图可得： 同位角：与，与； 内错角：与，与； 同旁内角：与，与． ★【题型 6】判定证明：根据角的关系证明两条直线平行 【例题6】直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【答案】(1)∠2=63° (2)见解析 【分析】（1）根据∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180°，得到∠ABD=126°，根据平分得到∠2=×126°=63°； (2)根据平分，得到，根据，得到 ，推出． 【详解】（1）（1）∵∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180° ∴∠ABD=126° ∵平分 ∴∠2=×126°=63°； （2）(2)∵平分 ∴ ∵ 且 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了邻补角性质，角平分线性质，对顶角性质，平行线的判定定理，熟练掌握邻补角的和等于180°，角平分线把一个角分成两个相等的角，对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，是解决此题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的余角相等，对顶角相等，根据平行线的判定方法逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，不能判定，原选项符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【答案】20 【分析】本题考查垂直的定义，以及平行线判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义得到电池板与水平线夹角，再结合平行线判定求解，即可解题． 【详解】解：太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直， 电池板与水平线夹角为， 电池板与水平线夹角为， 要使， 电池板至少转动， 故答案为：20． 【变式3】如图，直线分别与直线交于点B，F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．    (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)求证：． (3)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由对等角相等及等量代换可得，再由同位角相等两直线平行解答； （2）由两直线平行内错角相等得到，再结合角平分线性质、等量代换得到，最后根据内错角相等，两直线平行解答； （3）由平行线的性质可得，，整理得，最后由邻补角互补解答． 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴． ∵的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、邻补角的性质、角平分线的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． ★【题型 7】平行公理应用：判断多条直线的位置关系，或进行逻辑推理 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·河南商丘·月考）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴与的位置关系是平行 （平行于同一条直线的两直线平行） 故答案：90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 ★【题型 8】作图题：按要求画出平行线 【例题8】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知点，，都在格点上．利用网格画出下列各图． (1)在图中标出格点，使得，并画出； (2)在图中标出格点，使得，并画出标出垂足． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析 【分析】（1）在图中找到格点，使得的走向与一致(从向右1格、向上3格的格点)，连接即可； （2）在图中找到格点，使得的走向与垂直(从向右3格、向上1格的格点)，连接交于点，即为垂足． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，点即为所求： 【变式1】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 【变式2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）想一想，在方格纸中如何画平行线？在下图中，过点P分别画的平行线，并进行检验． 【答案】见解析 【分析】本题考查方格纸作平行线，掌握知识点是解题的关键． 根据方格纸作平行线的方法作图即可． 【详解】解：作图如图， ∴． 用直尺和三角板检验平行线即可，具体步骤如下： 1．固定直尺：将直尺的一条边与其中一条待检验直线（记为直线a）完全重合，并按住直尺使其固定不动． 2．贴合三角板：将三角板的一条直角边与直尺刚才重合的边紧密贴合，确保三角板的另一条直角边能与另一条待检验直线（记为直线b）接触． 3．平移与观察：按住三角板，使其沿着直尺的边平稳平移．若在平移过程中，三角板的直角边与直线b始终保持完全重合（无间隙、不分离），则直线a与直线b平行；若出现分离或无法重合，则两直线不平行． 【知识点三】平行线的性质 1、平行线的性质定理： 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 2、性质与判定的综合应用： 先判定平行，再利用性质求角或证明 ★★★【题型 9】角度计算：已知两直线平行，求相关角的度数 【例题9】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某工程队从点出发，沿北偏西方向铺设管道．由于某些原因，段不适宜铺设管道，需改变方向．从点沿北偏东方向继续铺设段，到达点又改变方向，从点继续铺设段．当的度数为多少时，所铺设的管道？此时与有怎样的位置关系？ 【答案】当时，所铺设的管道，此时 【分析】结论：利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】解：由题意，得， ． 若，则， ，即． 故当时，所铺设的管道，此时． 【点睛】本题考查平行线的判定，方向角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质，结合与，建立角的等式关系，最终推导出的值． 【详解】解：过点作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 已知，， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和辅助线的构造．解题关键是通过构造平行线，将分散的角关联起来，再结合已知等式进行角度代换与计算． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）【操作】在白纸上画一个，把一块含有角的直角三角板的直角顶点放在的顶点O上． (1)如图①，当、在的内部时，求与的度数之和； (2)如图②，把直角三角板绕点O旋转，当在的内部，在的外部时，请完成下表，判断与的数量关系，并说明理由； 的度数 的度数 (3)如图③，当、在的外部时，直接写出与的数量关系； (4)作平分，在直角三角板绕点O旋转的过程中，当所在的直线与所在的直线互相平行时，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)，；，理由见解析 (3) (4)或 【分析】本题考查三角板的角度的计算问题，角平分线和平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角度的和差计算即可； （2）利用角度的和差计算即可； （3）利用角度的和差计算即可； （4）分当在内部时和当在内部时，利用角平分线的定义、平行线的性质、角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 表格如下： 的度数 的度数 ，理由如下： ，， ， 即． （3）解：，， ， ， ， ， 即与的数量关系为：； （4）解：①如图，当在内部时， 平分，， ， ，， ， ， ②如图，当在内部时， 平分，， ， ，， ， ， ， 综上，或． ★★★【题型 10】综合证明：结合判定和性质进行逻辑推理证明 【例题10】（23-24七年级下·甘肃陇南·月考）已知直线，直线交于点C，交于点D，P是直线上一点． (1)如图1，当点P在线段上时，请你探究之间的关系，并说明理由； (2)如图2，当点P在线段的延长线上时，写出之间的关系，并证明； (3)如图3，当点P在线段的延长线上时，请直接写出之间的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 (3)． 【分析】此题主要考查平行线的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． （1）过点P作，根据平行线的性质得出，结合图形求解即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得出，结合图形求解即可； （3）方法同（1）（2）类似，进行求解即可 【详解】（1）解：如图所示，过点P作， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 即， （2）如图所示，过点P作， ∵ ∴ ∴∴， ∵， ∴， 即； （3）过点P作， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 即． 【变式1】（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，，的平分线交于点E，过点A作于点F．若，，则下列等量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质以及角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有 个人的说法是正确的． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期中）已知． (1)如图1，请基于实验操作，猜想并直接写出之间的数量关系． (2)证明（1）中猜想的结论． 小亮提供了以下证明思路：如图2，过点作，交的延长线于点，则，再证明． 请根据小亮的思路，写出完整的证明过程． (3)应用：如图3，点为上一点，连接，且平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质进行判断即可； （2）根据平行线的性质得出，，从而证明，得出即可； （3）根据角平分线定义得出，，根据解析（1）可知：，求出，根据平行线的性质得出，即可得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：之间的数量关系为：，证明见解析（2）； （2）证明：过点作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ★★★【题型 11】实际应用：利用平行线性质解决生活中的角度问题 【例题11】（2024七年级上·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解． 【详解】解：， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． ★★★【题型 12】探究题：根据平行线性质探究角之间的数量关系 【例题12】（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）过作，利用平行线的性质计算可求求解； （2）过点作交于点，利用平行线的性质可求得，结合（1）的结论可求解； （3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质分别计算求解． 【详解】（1）解：过作， ， ， ，， ； （2）， 理由：过点作交于点，过点作 ， ，， 由（）可得， ， ， ； （3）解：如图，当，位于两侧时，过作，过点作 ，， ， ，，， ， 即； 当，，三点共线时，， ； 当，位于同侧时， ，， ， 同理可得，，， ， 即， 综上，或． 二.模拟真题 （一）选择题（6题） 1．（2024·重庆·中考真题）如图，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2023·内蒙古·中考真题）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行线的性质，得到，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算．正确的识图，掌握平行线的性质，是解题的关键． 3．（2023·陕西·中考真题）如图，，．若，则的度数为（   ）        A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对顶角相等可得，再由平行线的性质可求得，，结合已知条件可求得，即可求解． 【详解】解：如图，   ， ， ∵， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 4．（2023·湖北恩施·中考真题）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点H作，推出，得到，求出，利用对顶角相等求出答案． 【详解】解：过点H作，    ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的性质求角第度，对顶角相等的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（2023·广西·中考真题）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，即可得到． 【详解】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，熟知平行线的性质定理，根据题意得到是解题关键． 6．（2023·四川凉山·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，   ，. ， ，. . 故选：C. 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质. （二）填空题（5题） 7．（2025·重庆·中考真题）如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等即可解答，熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 8．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    【答案】/20度 【分析】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键． 9．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    【答案】 【分析】可求，由，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 10．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：    （1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点； （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； （3）作射线交直线于点；若，则 度． 【答案】58 【分析】由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到平分是解题关键． 11．（2025·河北唐山·三模）将长方形沿按如图中那样折叠后，点A，B分别落在点G，H处，若，则的度数是 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，由平行线的性质并结合题意可得，由折叠的性质可得，再由平角的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （三）解答题（2题） 12．（2024·安徽·模拟预测）如图，已知，求的度数． 解：已知， ______ ______ ． ______ ． 已知， ______ ． 【答案】；；；等量代换 【分析】由已知的两个角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到与平行，再利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，由的度数即可求出的度数．此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：已知， ． ． 已知， 等量代换． 故答案为：；；；等量代换 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法是解题关键． （1）过点作直线，根据平行线的性质得、，利用即可求解； （2）过点作直线，利用平行线的性质可得，通过角平分线的定义得、，结合（1）的即可求解； （3）过点作直线，根据题意可得，结合（1）（2）可得，利用平行线的性质得即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）得，， ∴． （3）解：如图，过点作直线， ∵，， ∴， ， ∵由（1）得：， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.8 相交线与平行线（全章知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】两条直线的位置关系 1 ★【题型 1】概念辨析：判断对顶角、余角、补角、垂线等概念的正误 2 ★★【题型 2】角度计算：利用对顶角相等、余角和补角的定义求角度 4 ★★【题型 3】性质应用：利用 “同角或等角的余角相等”“垂线段最短” 解决实际问题 7 ★【题型 4】作图题：过一点画已知直线的垂线 9 【知识点二】探索直线平行的条件 13 ★★【题型 5】角的识别：在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角 13 ★【题型 6】判定证明：根据角的关系证明两条直线平行 16 ★【题型 7】平行公理应用：判断多条直线的位置关系，或进行逻辑推理 20 ★【题型 8】作图题：按要求画出平行线 23 【知识点三】平行线的性质 25 ★★★【题型 9】角度计算：已知两直线平行，求相关角的度数 25 ★★★【题型 10】综合证明：结合判定和性质进行逻辑推理证明 30 ★★★【题型 11】实际应用：利用平行线性质解决生活中的角度问题 35 ★★★【题型 12】探究题：根据平行线性质探究角之间的数量关系 39 二.模拟真题 48 （一）选择题（6题） 48 （二）填空题（5题） 52 （三）解答题（2题） 55 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】两条直线的位置关系 1、平面内两直线的位置关系： 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 2、对顶角：定义、性质（对顶角相等） 对顶角定义：两个角有一个公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。 对顶角性质：对顶角相等。 3、余角与补角：定义、性质（同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等） 余角与补角定义：一般地,如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 余角与补角性质：同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 4、垂线：定义、性质（垂线段最短）、点到直线的距离 垂直定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。 垂直性质：（1）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 点到直线距离：过一点作已知直线的垂线，这一点与垂足之间线段的长度叫作这一点到直线的距离。 ★【题型 1】概念辨析：判断对顶角、余角、补角、垂线等概念的正误 【例题1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，直线，相交于点，射线是的平分线，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知与互余，且，则的度数是 ． 【变式3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线，相交于，，且． (1)求的度数； (2)如果平分，求的度数． ★★【题型 2】角度计算：利用对顶角相等、余角和补角的定义求角度 【例题2】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知都是直角． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·河南信阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【变式2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，，是的平分线，和互余，则的度数为 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． ★★【题型 3】性质应用：利用 “同角或等角的余角相等”“垂线段最短” 解决实际问题 【例题3】（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． ★【题型 4】作图题：过一点画已知直线的垂线 【例题4】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知、、是正方形网格上的三个格点，根据要求在网格中作图并标注字母． (1)连接，作射线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)求作格点，使得． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【变式2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线和点E，过点E分别画出直线的垂线． 【知识点二】探索直线平行的条件 1、三线八角： 同位角、内错角、同旁内角的识别 2.平行线的判定定理： 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 3.平行线的判定定理： 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 推论：平行于同一直线的两条直线互相平行 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 平行线的画法：用直尺、三角板画平行线 ★★【题型 5】角的识别：在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角 【例题5】（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【变式1】如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【变式2】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【变式3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） ★【题型 6】判定证明：根据角的关系证明两条直线平行 【例题6】直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【变式3】如图，直线分别与直线交于点B，F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．    (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)求证：． (3)若，求的度数． ★【题型 7】平行公理应用：判断多条直线的位置关系，或进行逻辑推理 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】（24-25七年级下·河南商丘·月考）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） ★【题型 8】作图题：按要求画出平行线 【例题8】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知点，，都在格点上．利用网格画出下列各图． (1)在图中标出格点，使得，并画出； (2)在图中标出格点，使得，并画出标出垂足． 【变式1】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【变式2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）想一想，在方格纸中如何画平行线？在下图中，过点P分别画的平行线，并进行检验． 【知识点三】平行线的性质 1、平行线的性质定理： 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 2、性质与判定的综合应用： 先判定平行，再利用性质求角或证明 ★★★【题型 9】角度计算：已知两直线平行，求相关角的度数 【例题9】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某工程队从点出发，沿北偏西方向铺设管道．由于某些原因，段不适宜铺设管道，需改变方向．从点沿北偏东方向继续铺设段，到达点又改变方向，从点继续铺设段．当的度数为多少时，所铺设的管道？此时与有怎样的位置关系？ 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为 ． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）【操作】在白纸上画一个，把一块含有角的直角三角板的直角顶点放在的顶点O上． (1)如图①，当、在的内部时，求与的度数之和； (2)如图②，把直角三角板绕点O旋转，当在的内部，在的外部时，请完成下表，判断与的数量关系，并说明理由； 的度数 的度数 (3)如图③，当、在的外部时，直接写出与的数量关系； (4)作平分，在直角三角板绕点O旋转的过程中，当所在的直线与所在的直线互相平行时，直接写出的大小． ★★★【题型 10】综合证明：结合判定和性质进行逻辑推理证明 【例题10】（23-24七年级下·甘肃陇南·月考）已知直线，直线交于点C，交于点D，P是直线上一点． (1)如图1，当点P在线段上时，请你探究之间的关系，并说明理由； (2)如图2，当点P在线段的延长线上时，写出之间的关系，并证明； (3)如图3，当点P在线段的延长线上时，请直接写出之间的关系． 【变式1】（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，，的平分线交于点E，过点A作于点F．若，，则下列等量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有 个人的说法是正确的． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期中）已知． (1)如图1，请基于实验操作，猜想并直接写出之间的数量关系． (2)证明（1）中猜想的结论． 小亮提供了以下证明思路：如图2，过点作，交的延长线于点，则，再证明． 请根据小亮的思路，写出完整的证明过程． (3)应用：如图3，点为上一点，连接，且平分，平分．若，请直接写出的度数． ★★★【题型 11】实际应用：利用平行线性质解决生活中的角度问题 【例题11】（2024七年级上·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【变式1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【变式3】（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． ★★★【题型 12】探究题：根据平行线性质探究角之间的数量关系 【例题12】（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 【变式3】（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 二.模拟真题 （一）选择题（6题） 1．（2024·重庆·中考真题）如图，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·内蒙古·中考真题）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西·中考真题）如图，，．若，则的度数为（   ）        A． B． C． D． 4．（2023·湖北恩施·中考真题）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　）    A． B． C． D． 5．（2023·广西·中考真题）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023·四川凉山·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（    ）    A． B． C． D． （二）填空题（5题） 7．（2025·重庆·中考真题）如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是 ． 8．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    9．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    10．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：    （1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点； （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； （3）作射线交直线于点；若，则 度． 11．（2025·河北唐山·三模）将长方形沿按如图中那样折叠后，点A，B分别落在点G，H处，若，则的度数是 （三）解答题（2题） 12．（2024·安徽·模拟预测）如图，已知，求的度数． 解：已知， ______ ______ ． ______ ． 已知， ______ ． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $