专题5.3 导数与函数的极值及最值导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题5.3 导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 专题5.3 导数与函数的极值及最值 考点预览 一、必备知识 1. 函数极值的基本概念 （1）极大值：设函数在点及其附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的极大值，称是函数的极大值点。 （2）极小值：设函数在点及其附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的极小值，称是函数的极小值点。 （3）极值与极值点：极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。 注：极值是函数的局部性质，一个函数在定义域内可以有多个极大值和极小值，极大值不一定大于极小值。 2. 利用导数求函数极值的步骤 若函数在区间内可导，求在内的极值的步骤： (1) 求函数的定义域； (2) 求导函数； (3) 求方程的根（驻点）； (4) 检验在驻点左右两侧的符号： 若在驻点左侧，右侧，则该驻点为极大值点，为极大值； 若在驻点左侧，右侧，则该驻点为极小值点，为极小值； 若在驻点左右两侧的符号不变，则该驻点不是极值点。 3. 函数极值与导数的核心关系 （1）可导函数的极值点一定是其导函数的驻点（），但导函数的驻点不一定是函数的极值点（需满足符号变化）； （2）不可导点也可能是函数的极值点（如在处不可导，却是极小值点），需结合函数单调性判断； （3）函数在某区间内的极值点不连续出现，相邻两个极值点之间的函数具有单一单调性。 4. 已知函数极值求参数的方法 (1) 由列出关于参数的方程，求出参数的可能值； (2) 检验：将参数值代入导函数，验证在左右两侧的符号是否发生变化，若变化则为极值点，否则舍去； (3) 若函数在某点处有极大值/极小值，需同时满足和符号变化条件，二者缺一不可。 二、考点专练： 地 城 考点01 利用导数判断函数极值点、求函数极值 【经典例题】 1．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值点 2．(24-25高二下·山东部分学校·)函数的极小值点为（    ） A． B．1 C． D．2 3．(24-25高三下·山西·模拟)设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（    ） A． B． C． D．0 【变式训练】 1．（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 2．(25-26高二上·广东汕头潮阳实验学校·期末)函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．(24-25高二下·河北邢台卓越联盟·)函数的极值点为 ，极值为 ． 4．(24-25高二下·广西梧州·期末)函数的极小值点为 ． 5．(25-26高三上·广西河池·期末)若是函数的极值点，则的极小值为 . 【巩固练习】 1．函数的极值情况是（   ） A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 2．函数的极大值为 ． 3．(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)函数的极大值点是 ． 4．(24-25高二下·广东领航联盟·)函数的极大值是 ． 5．(24-25高三下·辽宁盘锦名校·)已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 6．(25-26高二上·浙江宁波镇海中学·期末)已知函数，则的极值为（   ） A． B． C． D． 【经典例题】地 城 考点02 利用导数求函数的最值 1．(23-24高二下·山东聊城水城中学等校·期中)函数在区间上的最大值是（    ） A．－9 B．－16 C．16 D．9 2．(24-25高二下·辽宁辽宁普通·期中)随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（   ） A．17万条 B．16万条 C．15万条 D．14万条 【变式训练】 1．函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·云南昭通一中·期末)已知函数，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期末)已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高三上·河南名校联盟·)已知函数，若存在实数满足，则的最大值为 ． 【巩固练习】 1．函数的最小值为 ． 2．(23-24高二下·湖南部分学校·)函数的最小值为 . 3．已知函数，点在曲线上，则的最大值为 ． 【经典例题】地 城 考点03 已知函数极值点或极值求参数的值或范围 1．(25-26高二·陕西神木中学·期末)已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 2．已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)若函数在处有极值10，则 ． 4．(24-25高二下·北京延庆区·期末)已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.则 ； . 【变式训练】 1．(25-26高二·河北石家庄第二中学·期末)已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 2．(25-26高二上·湖南长沙第一中学·)已知函数有极大值，则实数c 的值为 . 3．(24-25高二下·河南周口商水县·期末)已知函数在处取得极值0，则b= ． 4．(24-25高二下·河南南阳六校·)已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为 . 5．(23-24高二下·广东东莞·期末)（多选）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ． 8．已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 【巩固练习】 1．(24-25高二下·福建南安成功中学·)若函数的极大值是6，则 . 2．(24-25高二下·北京房山区·调研)已知在处有极大值，则实数的取值范围是 . 3．(25-26高二上·上海吴淞中学·期末)已知函数在处取得极值0，则 . 4．(24-25高二下·广东·联考)（多选）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．的极小值点为 5．(25-26高三上·黑龙江佳木斯第八中学·)函数在时有极小值，那么的值为 . 6．(25-26高二上·云南昭通一中教研联盟·期末)若是函数的一个极值点，则 . 【经典例题】地 城 考点04 根据函数极值存在性及极值个数求参数的值或范围 1．(25-26高二上·重庆第一中学·)已知在上存在极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高二·江苏宿迁·期末)设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(25-26高二上·云南玉溪第一中学·月考)若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·重庆九校·月考)已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(24-25高二下·四川阆中中学校·期中)若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·上海行知中学·期中)若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为 ． 3．已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 4．(25-26高三上·黑龙江“六校联盟”·期末)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高二·福建厦门第一中学·期末)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 6．(25-26高二上·重庆南开中学校·期末)若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为 . 【巩固练习】 1．(24-25高二上·安徽临泉第一中学·期末)函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．(24-25高二下·贵州黔东南·期中)（多选）若函数有极值，则a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 3．(24-25高二下·广西河池·期末)已知函数，有两个极值点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二下·四川凉山州西昌·期中)（多选）若函数有两个极值，则（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高二上·陕西西安·月考)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 6．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 地 城 考点05 根据函数的最值求参数的值或范围 【经典例题】 1．当时，函数取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·江苏南京第十三中学·期末)若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是 ． 【变式训练】 1．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 2．(25-26高三上·山东·联考)已知当时，函数取得最小值1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·月考)已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江苏无锡天一中学·期末)已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【巩固练习】 1．(24-25高二下·江苏常州·期中)已知函数的最小值是，则实数 ． 2．(24-25高二下·广东东源中学·)若曲线在处有最值，则实数的值为     3．(24-25高二下·天津第二耀华中学·)若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 0 0 单调递增 极大值4 单调递减 极小值0 单调递增 4．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·江苏无锡堰桥高级中学·)若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 地 城 考点06 函数极值与最值综合 【经典例题】 1．(24-25高二下·四川达州·期中)（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 2．(25-26高二上·重庆一中·)若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 2．(25-26高二·陕西渭南华阴·期末)若函数，则（    ） A．在上单调递减 B．有且仅有两个极值点 C．只有一个零点 D．当时，的值域为 3．（多选）已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的最大值为1 D．在上存在唯一极值点 4．(24-25高二下·河南商丘百师联盟·期末)（多选）苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）发现并证明了当且时．根据约翰•纳皮尔的这个发现以及我们所学的数学知识，关于函数，下列说法正确的是（ ） A．有且只有一个极值点 B．的最小值为 C．的单调递减区间是 D．存在两个不相等的正实数a，b，使 5．(24-25高二下·四川南充普通高中·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．函数在上无极值点 B．函数在上单调递增 C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 D．若，则的最大值为 【巩固练习】 1．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 2．(24-25高二下·广东清远八校联盟·)（多选）下列关于函数的判断正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值 地 城 考点07 解答题 【经典例题】 1．(24-25高二下·浙江建德寿昌中学·)已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 2．已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值. 3．已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 【变式训练】 1．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中)已知函数， (1)当时，求函数的极值； (2)若函数有两条过坐标原点的切线，求实数的取值范围. 2．(24-25高二下·广西玉林·期末)已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若函数有极小值，且极小值小于0，求实数的取值范围. 3．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于. 【巩固练习】 1．(24-25高二下·广西北海·期末)已知函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 2．(23-24高二下·河北张家口·期末)已知函数． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值． 3．已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值. 4．(24-25高二下·广西桂林·期末)已知，两地的距离是．假设汽油的价格是7.5元/升，以（其中）的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元．设这次行车的总费用为元． (1)求出关于的函数关系式； (2)求此次行车最经济的车速． 三、达标检测 1．(22-23高三上·河南驻马店经济开发区高级中学等·)函数的极小值为（    ） A． B．1 C． D． 2．(24-25高二下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值 3．已知函数的图象如图所示，则等于（    ） A． B． C． D． 4．在区间上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝2x＋在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是(　　) A． B． C．8 D．4 5．(21-22高三上·吉林四平第一高级中学·月考)若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知实数满足（e为自然对数的底数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知奇函数在上满足，其中的导函数为，则的极大值点为（    ） A．3 B． C．1 D． 8．(23-24高三上·黑龙江龙东五地·期中)若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．(23-24高二下·四川成都洛带中学校·期中)（多选）当时，函数取得极大值，则有（   ） A．= B．= C． D．= 10．（多选）已知函数有极大值和极小值，则实数a的值可以是（　　） A． B． C．6 D．8 11．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C．有且仅有1个零点 D．既有极大值又有极小值 12．（多选）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）   A．在上为减函数 B．在处取极大值 C．在上为减函数 D．在处取极小值 13．(22-23高二下·江苏百校联考·)（多选）若x＝1是函数的极值点，则下列结论正确的有(    ) A．a＝－1 B．在上单调递减 C．的极小值点为 D．当x＝－2时，取得最大值 14．(24-25高二下·四川南部中学·期中)（多选）已知函数，则（    ） A．函数的单调减区间为 B．函数的单调增区间为 C．函数的极大值点为1 D．函数的最大值为 15．(24-25高二下·内蒙古包头第八十一中学·月考)已知函数在处取得极值，其中b为常数，则的极大值点为 . 16．(24-25高二下·江西三新协同教研共同体·)已知函数在处取得极大值，则实数的值为 ． 17．已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 18．已知函数，．若时，函数有最大值为1，最小值为，试写出一组满足上述条件的 ． 19．若函数在上有极值，则实数的取值范围是 . 20．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期末)若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 21．已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 22．(24-25高二下·广西百色·期末)已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 23．已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求； (2)求在上的值域. 24．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 25．(20-21高二下·海南华中师范大学琼中附属中学·期中)已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的最小值． 试卷第1页，共3页 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $专题5.3 导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 专题5.3 导数与函数的极值及最值 考点预览 一、必备知识 1. 函数极值的基本概念 （1）极大值：设函数在点及其附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的极大值，称是函数的极大值点。 （2）极小值：设函数在点及其附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的极小值，称是函数的极小值点。 （3）极值与极值点：极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。 注：极值是函数的局部性质，一个函数在定义域内可以有多个极大值和极小值，极大值不一定大于极小值。 2. 利用导数求函数极值的步骤 若函数在区间内可导，求在内的极值的步骤： (1) 求函数的定义域； (2) 求导函数； (3) 求方程的根（驻点）； (4) 检验在驻点左右两侧的符号： 若在驻点左侧，右侧，则该驻点为极大值点，为极大值； 若在驻点左侧，右侧，则该驻点为极小值点，为极小值； 若在驻点左右两侧的符号不变，则该驻点不是极值点。 3. 函数极值与导数的核心关系 （1）可导函数的极值点一定是其导函数的驻点（），但导函数的驻点不一定是函数的极值点（需满足符号变化）； （2）不可导点也可能是函数的极值点（如在处不可导，却是极小值点），需结合函数单调性判断； （3）函数在某区间内的极值点不连续出现，相邻两个极值点之间的函数具有单一单调性。 4. 已知函数极值求参数的方法 (1) 由列出关于参数的方程，求出参数的可能值； (2) 检验：将参数值代入导函数，验证在左右两侧的符号是否发生变化，若变化则为极值点，否则舍去； (3) 若函数在某点处有极大值/极小值，需同时满足和符号变化条件，二者缺一不可。 二、考点专练： 地 城 考点01 利用导数判断函数极值点、求函数极值 【经典例题】 1．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值点 【答案】A 【详解】由图象可知，当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确； 是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误．故选：A 2．(24-25高二下·山东部分学校·)函数的极小值点为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】.令，得；令，得.可知在，上单调递增，在上单调递减，所以极小值点为1.故选B. 3．(24-25高三下·山西·模拟)设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由可得， 由于等式对任意都成立，则项系数必须为0，即，所以， 令，可得或，由三次函数图象性质易得为函数的唯一变号零点，由任意，都有，可得，时，总有， 所以为函数的变号零点，所以，则，此时，求导得，令，得或2，当或时，；当时，.故为极小值点，极小值.故选：A. 【变式训练】 1．（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】根据图象知当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故A错误，故C正确；当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确；当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误.故选：BC. 2．(25-26高二上·广东汕头潮阳实验学校·期末)函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】根据题意知，则，令，则可得或，当或时，，则单调递增；当时，，则单调递减， 所以当时取极大值，当时，取极小值，则有两个极值点.故选： 3．(24-25高二下·河北邢台卓越联盟·)函数的极值点为 ，极值为 ． 【答案】2 【详解】易得，当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，所以是的极小值点，极小值为．故答案为：； 4．(24-25高二下·广西梧州·期末)函数的极小值点为 ． 【答案】 【详解】，令，即，∴； 令，即，∴．∴的单调增区间为，单调减区间为． 因此时函数取得极小值.函数的极小值点为.故答案为： 5．(25-26高三上·广西河池·期末)若是函数的极值点，则的极小值为 . 【答案】 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点，可得，解得，所以，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为.故答案为：. 【巩固练习】 1．函数的极值情况是（   ） A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 【答案】D 【详解】，得函数在上单调递增，函数无极值．故选：D 2．函数的极大值为 ． 【答案】0 【详解】，令，可得或2，当时，，单调递减；当时，或，单调递增，所以在处取得极大值，极大值为. 故答案为：0. 3．(24-25高二下·湖南湘东教学联盟·期末)函数的极大值点是 ． 【答案】 【详解】因为函数，则，令，得到或，令，得到或；即函数在区间和上单调递增；令，得到；即函数在区间上单调递减；故极大值点为，故答案为： 4．(24-25高二下·广东领航联盟·)函数的极大值是 ． 【答案】 【详解】求函数的极大值，即求的极小值，，当时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，则，故答案为：. 5．(24-25高三下·辽宁盘锦名校·)已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 【答案】 【详解】函数，求导得，依题意，，解得，令，解得，则当时，；当时，， 所以的极小值为.故答案为： 6．(25-26高二上·浙江宁波镇海中学·期末)已知函数，则的极值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，则 ， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值.故选： 【经典例题】地 城 考点02 利用导数求函数的最值 1．(23-24高二下·山东聊城水城中学等校·期中)函数在区间上的最大值是（    ） A．－9 B．－16 C．16 D．9 【答案】C 【详解】因为，令，解得，当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减，所以在时取得极大值，即最大值，所以在区间上的最大值是.故选：C 2．(24-25高二下·辽宁辽宁普通·期中)随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（   ） A．17万条 B．16万条 C．15万条 D．14万条 【答案】C 【详解】设收益为y元，则，，当时，；当时，，所以函数y在上单调递增，在上单调递减，即当收集的数据量为15万条时，该软件能获得最高收益.故选：C. 【变式训练】 1．函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，令，解得， ，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以极小值为， 又，所以的最小值为．故选：D 2．(25-26高二上·云南昭通一中·期末)已知函数，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减，故当时，在时取得极大值，也即最大值.故选：D. 3．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期末)已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，所以，又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即；则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，即在处取得极小值，也是最小值为.故选：C. 4．(24-25高三上·河南名校联盟·)已知函数，若存在实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由函数的图象可知，有． 令，有， 令，有，可得函数的减区间为，增区间， 可得．故的最大值为． 故答案为：．   【巩固练习】 1．函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】定义域为，，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增，故.故答案为： 2．(23-24高二下·湖南部分学校·)函数的最小值为 . 【答案】/ 【详解】易知，所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减，所以，即该函数的最小值为.故答案为： 3．已知函数，点在曲线上，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】求导得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，点在曲线上，则，所以，设，，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，故单调递增，故，即的最大值是．故答案为：. 【经典例题】地 城 考点03 已知函数极值点或极值求参数的值或范围 1．(25-26高二·陕西神木中学·期末)已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【详解】函数，定义域为.所以. 由题可知，，即，所以或.当时，.令，则或；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增.所以在处取得极小值.当时，.令，则或；令，则.所以在上单调递增，在上单调递减.所以在处取得极大值.综上，实数的值为.故选：B. 2．已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因的定义域为，求导得，若，则，由可得，由，可得，故函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在处取得极小值，符合题意；若，则由可得或，由，可得，故函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极小值，符合题意；若，则，函数在上单调递增，无极值点，不合题意；若，则由可得或，由，可得，即此时函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极大值，不合题意.综上可得，实数的取值范围为.故选：A. 3．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)若函数在处有极值10，则 ． 【答案】15 【详解】由题意有，由题意得，解得或，当时，，，故在上单调递增，无极值，舍去，当时，，，当或时，，当时，，所以在处取得极小值，满足要求，此时．故答案为：15. 4．(24-25高二下·北京延庆区·期末)已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.则 ； . 【答案】 【详解】由图象可知当上时，，当时，，即函数在和上单调递增，在上单调递减，即函数在处取得极大值，即；又，，则，解得， 即，故答案为：；. 【变式训练】 1．(25-26高二·河北石家庄第二中学·期末)已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为函数，所以，又因为在处取得极大值，所以，所以或，当时，，所以单调递减，单调递增，所以在处取得极小值，不符合题意舍去；当时，，所以单调递增，单调递减，所以在处取得极大值，符合题意；则.故选：B. 2．(25-26高二上·湖南长沙第一中学·)已知函数有极大值，则实数c 的值为 【答案】6 【详解】，求导得，令，解得或，若，则在上，函数单调递增；在上，函数单调递减；在上，函数单调递增；在处取得极大值，在处取得极小值，，即，解得；若，则在上，函数单调递增；在上，函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极小值，在处取得极大值，，不符合题意；若，则，函数单调递增，无极值，不合题意；综上，实数．故答案为：6． 3．(24-25高二下·河南周口商水县·期末)已知函数在处取得极值0，则b= ． 【答案】 【详解】由题设，则，且，所以代入，得，则，所以或，当，则，有恒成立，显然是拐点，不是极值点，不符合；当，则，有，所以或时，时，易知是一个极值点，符合；综上，.故答案为： 4．(24-25高二下·河南南阳六校·)已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 令，则或；令，则，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值；当时，取得极小值.因为与恰好为的两个极值点，所以，且，又，且，所以.故答案为 5．(23-24高二下·广东东莞·期末)（多选）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，则.函数在处取到极大值1.则，则A正确；两式子相减，得到，即，则B正确；由前面知道，，则，由于函数在处取到极大值，则函数的附近单调性为“左增右减”.则，对于时，，即，即，即， 即，则.则C正确，D错误.故选：ABC. 6．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为 ，，由题意，得，所以．若 ，．当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意．②若，由，得，当时，即 ， 当或时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意．当时，即 ， ，此时单调递增，无极值点，不满足题意．当时，即 ， 当或时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以是函数的极小值点，满足题意．③若 ，．当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意．综上 的取值范围是即．故选：A． 7．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，求导可得 令，可得：或，当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意；当时，因为，所以，由，得，由，得或，即在和单调递减，在单调递增，即函数在处取得极小值，不符合题意；当时，因为，所以，由，得，由，得或，即在和单调递减，在单调递增，即函数在处取得极大值，符合题意；综上实数的取值范围为，故答案为： 8．已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【详解】由题意知的定义域为，且.令，得，此方程有两个不相等的实数根，其中，，故直线的斜率为 ，即直线的斜率为.故答案为：. 【巩固练习】 1．(24-25高二下·福建南安成功中学·)若函数的极大值是6，则 . 【答案】6 【详解】设，则，令，，令，，则在上单调递增，在上单调递减，可得函数在处取得极大值6，即，解得.故答案为：6 2．(24-25高二下·北京房山区·调研)已知在处有极大值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，已知在处有极大值，所以是的变号零点，显然，若，则，，，所以此时在单调递增，在单调递减，即此时在处有极大值，故满足题意，当时，或，，所以此时在上单调递增，在上单调递减，即此时在处有极大值，故满足题意，当时，当时，，或，此时在上单调递减，在上单调递增，即此时在处有极大值，故满足题意，当时，，等号成立当且仅当，此时在上单调递减，即此时在处无极大值，故不满足题意，当时，，或，此时在上单调递减，在上单调递增，即此时在处有极小值，故不满足题意，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：. 3．(25-26高二上·上海吴淞中学·期末)已知函数在处取得极值0，则 . 【答案】24 【详解】函数，则，又在处取得极值0， 则，解得或，当时，， 函数在上单调递增，无极值，不符合题意；当时，， 当或时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，符合题意，所以，，则.故答案为：. 4．(24-25高二下·广东·联考)（多选）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．的极小值点为 【答案】ABD 【详解】函数，求导得，由，得，解得，，当时，有，有，是的极小值点，不符合题意；当时，由，得或；由，得， 因此是的极小值点，是的极大值点，符合题意，ABD正确，C错误.故选：ABD 5．(25-26高三上·黑龙江佳木斯第八中学·)函数在时有极小值，那么的值为 . 【答案】30或6 【详解】，，由题，又，则 则或.当，，， ，，则在上单调递增，在上单调递减，即在处取得极小值，满足题意，则；当，，，，，，则在上单调递增，在上单调递减，即在处取得极小值，满足题意，则.故答案为：或. 6．(25-26高二上·云南昭通一中教研联盟·期末)若是函数的一个极值点，则 . 【答案】 【详解】， 因为是函数的极值点，所以，即，故，所以，.故答案为： 【经典例题】地 城 考点04 根据函数极值存在性及极值个数求参数的值或范围 1．(25-26高二上·重庆第一中学·)已知在上存在极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，令，因为在上存在极值点，所以方程在上有两个不等实根，所以，解得，则实数的取值范围为.故选：D. 2．(25-26高二·江苏宿迁·期末)设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，令，可得，若，所以不符合题意，舍去；因此，则，解得.因为，所以，要让，必须满足，所以，解得.故选： 3．(25-26高二上·云南玉溪第一中学·月考)若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则，由题意有两个不同的异号零点，即有两个不同的根，记，当时，函数单调递增，在时，函数单调递减，所以当时，函数有最大值，且，所以当时，有两个不同的根，等价于直线与函数有两个不同的交点，如图，所以.故选：A 4．(25-26高三上·重庆九校·月考)已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令，得或，即或，设函数，则，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，故，因为，所以，则，即，因为有 3 个不同的极值点，所以不是关于的方程的解，所以故选：A 【变式训练】 1．(24-25高二下·四川阆中中学校·期中)若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，且， 若函数有极值点，则方程有两个不等的实数根， 且至少有一个正根，设其根为，且，则，所以，且， 所以，，解得.故选：D 2．(25-26高二上·上海行知中学·期中)若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，函数，其导数，故在上单调递增，在处取得最小值1.当时，函数，求导得.若，则，函数在上单调递增，此时整个函数在R上单调递增，无极小值;若，令，解得。由于，仅考虑.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减, 故函数在时先增后减，而时函数单调递增，故整个函数在处取得极小值. 此时，实数的取值范围为.故答案为： 3．已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由求导得．因为函数在上既有极大值也有极小值，所以必有两个相异实根，即，解得，即实数的取值范围是．故答案为： 4．(25-26高三上·黑龙江“六校联盟”·期末)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法1：函数的定义域为，求导得，由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意；当时，，由，得时；，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则，而当时，，当时，，因此当且仅当时，有两个零点，即，解得，所以实数的取值范围是. 方法2：函数的定义域为，求导得，由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点，即在上有两个不相等的根，即有两个不相等的根，当不是方程的根，所以上述方程等价于有两个不相等的根，等价于函数的图象与函数有两个不同的交点，设，定义域为，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，，而当从大于的方向趋近于时，，当时，，大致图象如下数形结合可知，当且仅当时，函数的图象与函数有两个不同的交点，所以实数的取值范围是.故选：B. 5．(25-26高二·福建厦门第一中学·期末)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，令可得，因为有两个极值点，所以有两个变号零点，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于，又，简图如下，   由图可知，，即实数的取值范围是.故答案为： 6．(25-26高二上·重庆南开中学校·期末)若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由函数，可得， 令，即，解得或， （1）当时，可得恒成立，此时方程无解，只有一个根， 函数只有一个极值点，不符合题意，舍去； （2）当时，方程，解得，此时只有一个根， 因为时，与同号，所以，单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去； （3）若，方程有唯一的实数解， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以为函数的极大值点，是函数的极小值点，符合题意； （4）若，方程有唯一的实数解， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以为函数的极大值点，是函数的极小值点，符合题意， 综上可得，实数的取值范围为.故答案为：. 【巩固练习】 1．(24-25高二上·安徽临泉第一中学·期末)函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答过程】函数，求导可得，令，可得， 当时，.当时，可得，在上单调递减，又因为，，所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极值点，因为函数在区间且上存在极值，所以的最大值为.故选：B. 2．(24-25高二下·贵州黔东南·期中)（多选）若函数有极值，则a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AD 【详解】,若有极值，则有两个不相等实数根，则，则，故AD符合，BC不符合，故选：AD 3．(24-25高二下·广西河池·期末)已知函数，有两个极值点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵函数，有两个极值点，∴在上有两个变号零点，∴方程在上有两个解，设为，，∴，解得，即实数m的取值范围是.故选：A. 4．(23-24高二下·四川凉山州西昌·期中)（多选）若函数有两个极值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，令，，由函数有两个极值，则有两个变号正零点，设这两个变号正零点分别为，且，则，且有，，，即可得，且.故选：ACD. 5．(25-26高二上·陕西西安·月考)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知有两个相异实根，即，也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减. 且，当时，，所以在处取得极大值也即是最大值为.画出的图象如下图所示，由图可知，要使与的图象有两个交点，则需.故答案为： 6．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由得，因为函数有两个极值点，所以有两个异号零点，即有两个不同的根，显然，则有两个不同的根，令，则与的图象有两个不同的交点， ，当和时，，单调递减，当时，，单调递增， 在时，取得极小值，作出图象如图：由图可知，所以，所以m的取值范围是 .故答案为： 地 城 考点05 根据函数的最值求参数的值或范围 【经典例题】 1．当时，函数取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数取得最小值，所以，所以，得， 又，根据函数在处取得最值，所以即得， 所以，.故选：C. 2．(25-26高二上·江苏南京第十三中学·期末)若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对函数求导得：，令解得极值点和， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，因此，为极大值点，，为极小值点，，区间需满足，为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得，考察右端点的函数值，比较极大值：若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在，解不等式，得，即，由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值；当时，，区间内最大值即为，能够取到，分析左端点的取值：当时，左端点，在时，，函数严格单调递增，因此，对于任意，有，特别地，对左端点，有：即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值.故选：D 3．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，，令，则恒成立， 故在上单调递增，注意到，故当时，， 当时，，故在上单调递减，在上单调递增，其中，当时，，其在上单调递增，且，要想无最小值，需满足，即，解得，故答案为： 【变式训练】 1．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【答案】/ 【详解】因为，，则，若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意；若，则，可知在内单调递减，则在内最小值为，解得，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则在内最小值为，解得；综上所述：.故答案为：. 2．(25-26高三上·山东·联考)已知当时，函数取得最小值1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】当时，函数取得最小值1，则，，，，所以，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在时取到最小值，符合题意，则，，所以.故选：D. 3．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·月考)已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，则得或；得，则在和上单调递增，在上单调递减，又， 则在区间上有最大值时有，，得，则实数的取值范围是.故选：B 4．已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，且.若在区间上存在最大值，则该区间须包含极大值点，且极大值不小于区间右端点的函数值（否则函数在该区间没有最大值），即，由得，即，分解因式得，解得，联立，解得，又因为是的真子集，是的必要不充分条件.故选：C. 5．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由题意得，解得，，，令得或，令得，故在上单调递减，在，上单调递增，所以在处取得极小值，又，令，即，变形得到，即， 故或，即，要想在区间上存在最小值，需满足， 解得.故选：C 6．(24-25高二上·江苏无锡天一中学·期末)已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【详解】由函数，可得，①当时，恒成立，单调递减，此时，解得，不满足；②当时，令解得，（i）当时，当时，单调递减，当时，单调递增，此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减，此时，解得，不满足，综上可得：综上所述，故答案为：. 【巩固练习】 1．(24-25高二下·江苏常州·期中)已知函数的最小值是，则实数 ． 【答案】 【详解】因为，所以，令，则恒成立，所以函数在上单调递增，即在上单调递增，又，则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，故函数的最小值是，所以.故答案为：. 2．(24-25高二下·广东东源中学·)若曲线在处有最值，则实数的值为     【答案】1 【详解】曲线，定义域为，所以，当时，所以单调递减，无最大值不合题意；当时，单调递减，单调递增，所以时函数取最大值，因为函数在处有最值，所以.故答案为： 3．(24-25高二下·天津第二耀华中学·)若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题可知，令，即，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值4 单调递减 极小值0 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，又有，， 故要使在区间上的最小值为，则.故答案为： 4．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，令，得或.当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增.因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需.综上：.故选：D. 5．(24-25高二下·福建厦门·期末)已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令，解得或，易知：在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故的极小值为，极大值为，所以，由可得，，解得或，由可得，，解得或，所以，，因此，即.故选：B． 6．(24-25高二下·江苏无锡堰桥高级中学·)若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题可得，当时，，函数在上单调递减，不存在最值；当时，令，可得，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上不存在最值，则，即，综上所述，实数的取值范围为.故答案为：. 地 城 考点06 函数极值与最值综合 【经典例题】 1．(24-25高二下·四川达州·期中)（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 【答案】BD 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增，极小值为，在上的最大值为，所以选项A和C错误，选项B和D正确，故选：BD. 2．(25-26高二上·重庆一中·)若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，所以，因为函数在处取得极大值3，所以，所以，， 令，解得或，当变化时，在的变化情况如表所示， 0 12 极小值 所以根据上表可知，在上的值域为，故选：D 【变式训练】 1．（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】根据图象知当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减.故A错误，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误.故选：BC. 2．(25-26高二·陕西渭南华阴·期末)若函数，则（    ） A．在上单调递减 B．有且仅有两个极值点 C．只有一个零点 D．当时，的值域为 【答案】ABC 【详解】函数，求导得 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确；选项B：由，解得或，在和上单调递增，令，解得或，所以有且仅有两个极值点，故B正确；选项C：由于的极大值，极小值，又，所以只有一个零点，故C正确；选项D：当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以当时，的值域为，故D错误.故选：ABC. 3．（多选）已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的最大值为1 D．在上存在唯一极值点 【答案】ACD 【详解】选项A：，，，， ，需比较与的大小，，，，，故，故A正确；选项B：，求导得，分母，，对于任意，，，又，， 对于任意成立，在成立，故在上单调递减，故B错误；选项C：当时，，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，在时取得最小值，即在上恒成立，，当且仅当时，，仅当时等号成立，故的最大值为1，故C正确；选项D：，，令， 当时，，，故，函数单调递减； 当时，，，当时，， 求导得，，，函数单调递增，且，在上单调递增，且，， 由零点存在定理知在上存在唯一零点，设为，时，，单调递减，时，，单调递增，是在上存在唯一极小值点，故D正确．故选：ACD． 4．(24-25高二下·河南商丘百师联盟·期末)（多选）苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）发现并证明了当且时．根据约翰•纳皮尔的这个发现以及我们所学的数学知识，关于函数，下列说法正确的是（ ） A．有且只有一个极值点 B．的最小值为 C．的单调递减区间是 D．存在两个不相等的正实数a，b，使 【答案】ACD 【详解】因为时，，令，则，所以时，在上单调递减；时在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，时取最小值，最小值为，所以正确，B错误．根据约翰•纳皮尔的发现可知，时的值域是，又显然时，所以时的值域是，又因为，所以在区间和上分别存在一个实数a，b，使，所以D正确．故选：ACD． 5．(24-25高二下·四川南充普通高中·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．函数在上无极值点 B．函数在上单调递增 C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】由，得，令，则，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值，，所以在上，则函数在上单调递增，无极值点；所以A正确；由，得， 令，则，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值，，所以在R上，则函数在上单调递增；所以B正确；因为在R上单调递增，在时恒成立，即在时恒成立，则，化简得，令，则，令，解得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，，所以，所以最小值为，所以C错误；当时，可知，因为，在定义域上均是单调增函数，所以，，所以，则，令，因为，所以，，令，则，当时，解得，在时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，最大值为，所以D正确；故选：ABD. 【巩固练习】 1．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 【答案】BD 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增，极小值为， 在上的最大值为，所以选项A和C错误，选项B和D正确，故选：BD. 2．(24-25高二下·广东清远八校联盟·)（多选）下列关于函数的判断正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值 【答案】BD 【详解】对于A，由，得，当时，，是的单调递增区间，故A错误；对于B，由A知，在，上是减函数，在上是增函数，是的极小值，是的极大值，故B正确；对于C，D，当时，恒成立，且在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，又当时，，无最小值，故C错误，D正确．故选：BD. 地 城 考点07 解答题 【经典例题】 1．(24-25高二下·浙江建德寿昌中学·)已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 【详解】（1）当时，的定义域为， 故，令得或， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为，极小值为； （2）的定义域为， ， 当时，令得，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，此时恒成立，故单调递增区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 2．已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值. 【详解】（1）函数，求导得， 由在处取得极值，得，即，解得， 此时，当时，，当时， 即函数在处取得极值，所以. （2）由（1）知，，， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以函数在区间上的最大值为9. 3．已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 【详解】（1）当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. （2）由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 【变式训练】 1．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中)已知函数， (1)当时，求函数的极值； (2)若函数有两条过坐标原点的切线，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，的定义域为，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极小值为，无极大值. （2）因为，则, 设切点为，则，切线斜率， 切线方程为：， 因为切线过原点，则，整理得：， 因为满足条件的切线有两条，所以，解得或， 所以，的取值范围是. 2．(24-25高二下·广西玉林·期末)已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若函数有极小值，且极小值小于0，求实数的取值范围. 【详解】（1）函数，求导得， 又，得，所以. （2）函数的定义域为，， 当时，成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，由，解得， 所以实数的取值范围为. 3．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令，求导得，当时，， 则函数在上单调递增，而， 当时，；当时，， 函数的递减区间为，递增区间为. （2）由函数存在大于1的极值点，设此极值点为，由（1）知1是的另一极值点， 由，得，令函数， 求导得，函数在上单调递增，， 则，而，于是，因此， 当时，，函数在上单调递减，， 因此函数的极小值点不是1，应为，函数的极小值为， 且， ，即， 所以函数的极小值小于. 【巩固练习】 1．(24-25高二下·广西北海·期末)已知函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【详解】（1）由题意知，，所以，又， 所以的图象在处的切线方程为，即； （2）由题意知，，令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又由， 所以． 2．(23-24高二下·河北张家口·期末)已知函数． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值． 【详解】（1），，， 则有，化简得， 即的图象在点处的切线方程为； （2），则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，则有最大值， 又，， 故在区间上的最大值和最小值分别为、. 3．已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值. 【详解】（1）函数，求导得， 由在处取得极值，得，即，解得， 此时，当时，，当时， 即函数在处取得极值，所以. （2）由（1）知，，， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以函数在区间上的最大值为9. 4．(24-25高二下·广西桂林·期末)已知，两地的距离是．假设汽油的价格是7.5元/升，以（其中）的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元．设这次行车的总费用为元． (1)求出关于的函数关系式； (2)求此次行车最经济的车速． 【详解】（1）由题意知，当速度为时，用时，使用油量， 总费用； （2）已知，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，所以最经济的车速为40. 三、达标检测 1．(22-23高三上·河南驻马店经济开发区高级中学等·)函数的极小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以.令得， 当时，，当时，.故的单调递增区间为和，单调递减区间为.则当时，取得极小值，且极小值为.故选：C 2．(24-25高二下·广东江门鹤山鹤华中学·期中)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值 【答案】D 【详解】由图可知时，，所以函数在上单调递增，故A错误；由图可知时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故B错误；由B选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减，故是函数的极大值点，是函数的极大值， 故C错误；D正确．故选：D 3．(19-20高二·四川绵阳南山中学·月考)已知函数的图象如图所示，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知，是函数的零点，所以 解得 所以，，所以故故选：C 4．在区间上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝2x＋在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是(　　) A． B． C．8 D．4 【答案】D 【详解】根据基本不等式可得，==3，当且仅当时，函数取得最小值．所以对于函数，当时，函数也取得最小值3，即，另一方面，对于函数，当时，函数取得最小值3，所以，所以，，，所以，其对称轴，所以的最大值为=4，答案选D． 5．(21-22高三上·吉林四平第一高级中学·月考)若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，令，则 ，当时，，当时，，递增，当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；当时，图象对称轴为，此时要使函数在上存在极大值点，需满足，即，则，此时，在上递减，存在 ，使得，则当时，，递增，当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；当时，图象开口向下，对称轴为，此时要使函数在上存在极大值点，需满足，即，则，同上同理可说明此时符合题意，综合上述，可知的取值范围为，故选：D 6．已知实数满足（e为自然对数的底数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即（当时取等）；可知，当且仅当时取等；又因为，所以当时，即.所以，， 解得，当且仅当时，取等号.故选：D. 7．已知奇函数在上满足，其中的导函数为，则的极大值点为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】，则，所以，所以，令有，由有，有， 所以在上单调递减，在单调递增，所以3是极小值点，又是奇函数，所以的极大值点为，故选：B． 8．(23-24高三上·黑龙江龙东五地·期中)若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为定义域为，则，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同的正根，，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：C 9．(23-24高二下·四川成都洛带中学校·期中)（多选）当时，函数取得极大值，则有（   ） A．= B．= C． D．= 【答案】ABC 【详解】对于AB：因为函数定义域为，所以依题可知，，，而， 所以，，即，，故A、B正确；对于C：，当，，当，，所以函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意， 所以.故C正确；对于D：又，，故D错误. 故选：ABC. 10．（多选）已知函数有极大值和极小值，则实数a的值可以是（　　） A． B． C．6 D．8 【答案】AD 【详解】由题意知有两个不相等的根，所以，解得或.故A、D正确，B、C错误.故选：AD 11．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C．有且仅有1个零点 D．既有极大值又有极小值 【答案】ABC 【详解】函数的定义域为，又，所以是奇函数，故A正确；由，所以在上单调递增，故B正确；又，所以有且仅有1个零点，故C正确；令，方程无解，故既无极大值也无极小值，故D错误.故选：ABC. 12．（多选）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）   A．在上为减函数 B．在处取极大值 C．在上为减函数 D．在处取极小值 【答案】BCD 【详解】由图像得：当，，单调递增，当，，单调递减， 当，，单调递增，当，，单调递减，当时取得极大值，当时取得极小值.故选：BCD 13．(22-23高二下·江苏百校联考·)（多选）若x＝1是函数的极值点，则下列结论正确的有(    ) A．a＝－1 B．在上单调递减 C．的极小值点为 D．当x＝－2时，取得最大值 【答案】AB 【详解】因为，所以， 因为x＝1是函数的极值点，所以，即2a＋2＝0，解得a＝－1，经检验适合题意，故A正确；则，．令，解得．由可得x＜－2或x＞1；由可得－2＜x＜1．所以f(x)在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；故f(x)的极小值点为x＝1，故C错误； 当x＝－2时，的极大值为，因为，故D错误．故选：AB． 14．(24-25高二下·四川南部中学·期中)（多选）已知函数，则（    ） A．函数的单调减区间为 B．函数的单调增区间为 C．函数的极大值点为1 D．函数的最大值为 【答案】CD 【详解】的定义域为，且，当在单调递减，故单调递减区间为，A错误，当在单调递增，故单调递增区间为，B错误，当时，取极大值也是最大值，故C正确，，D正确，故选CD 15．(24-25高二下·内蒙古包头第八十一中学·月考)已知函数在处取得极值，其中b为常数，则的极大值点为 . 【答案】/0.5 【详解】因为，所以，∴，则， 、随x的变化情况如下表： x 1 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴的单调递增区间为和，单调递减区间为，∴的极大值点为. 故答案为： 16．(24-25高二下·江西三新协同教研共同体·)已知函数在处取得极大值，则实数的值为 ． 【答案】/ 【详解】由题意得，则，得或．当时，令，得或，单调递减，单调递增，所以在处取得极小值，不符合题意；当时，令，得或，单调递增，单调递减，在处取得极大值，符合题意．故答案为：. 17．已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【详解】由得，因为函数在处取得极大值，所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意；故答案为：3. 18．已知函数，．若时，函数有最大值为1，最小值为，试写出一组满足上述条件的 ． 【答案】或 【详解】，若，则当，，故在区间上单调递增，故，得，故；若，则由得，由得，则，，得，设，则，因，故，故在区间上单调递减，故，故在上无解，不满足题意；若，则得，由得，则，， 得，因，故不满足题意；若，则当，，故在区间上单调递减，得，得，故，故答案为：或 19．若函数在上有极值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，，函数在上有极值，则在有解，即.时，，则，则.时，，，不能说明函数在上有极值，所以；时，，，不能说明函数在上有极值，所以.故答案为：. 20．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期末)若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，或（舍去），当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，又因为函数在内有最小值， 故，解得，故答案为：. 21．已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】的定义域为R，，令，若，则，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，故存在最大值，不存在最小值，舍去；若，， 若，则，此时，其中，，当且时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，故存在最大值，不存在最小值，舍去；若，即时，恒成立，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故存在最大值，不存在最小值，舍去；若，则或，当时，设的两根为，开口向上，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即为的最小值，故满足要求；当时，设的两根为，开口向下，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当趋向于时，趋向于，不存在最小值，综上，.故答案为： 22．(24-25高二下·广西百色·期末)已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1），得；得； 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）得当，单调递减，当，单调递增， 因，， 故当时，的最大值为，最小值为. 23．(24-25高二下·山东部分学校·)已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求； (2)求在上的值域. 【详解】（1）因为，所以. 又在点处的切线方程为， 所以，解得，所以， 则，又切点在切线上，所以，解得， 所以，. （2）由（1）知，则. 令，得或， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，，，所以在上的值域为. 24．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，故， ∴， ∴曲线在处的切线方程为，即. （2）由题意得，，故函数的定义域为， ∵，∴， 当时，，，在上为增函数，无极值. 当时，由得， 由得，，由得，， ∴在上为增函数，在上为减函数， ∴当时，有极大值，极大值为， ∴，即， 令，则， ∵，∴，∴在上为增函数， ∵，∴要使，则， ∴实数a的取值范围是. 25．(20-21高二下·海南华中师范大学琼中附属中学·期中)已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的最小值． 【详解】（1）,∴切点为，， ,，∴切线方程为： 故函数在处的切线方程 （2），令或（舍） 2 － 0 ＋ 递减 最小值 递增 试卷第1页，共3页 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 专题5.3导数与函数的极值及最值 考点预览 考向01利用导数判断函数极值点、求函数极值 考向07解答题 考向02利用导数求函数的最值 考向06函数极值与最值综合 导数与函数的极值及最值 考向03已知函数极值点或极值求参数的值或范围 考向05根据函数的最值求参数的值或范围 考向04根据函数极值存在性及极值个数求参数的值或范围 一、 必备知识 1.函数极值的基本概念 (1)极大值：设函数y=f(x)在点xo及其附近有定义，若对xo附近的所有点，都有f(x)<f(x),则称f(xo) 是函数y=f(x)的极大值，称xo是函数y=f(x)的极大值点。 (2)极小值：设函数y=f(x)在点xo及其附近有定义，若对xo附近的所有点，都有f(x)>f(xo),则称f(xo) 是函数y=f(x)的极小值，称xo是函数y=f(x)的极小值点。 (3)极值与极值点：极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。 注：极值是函数的局部性质，一个函数在定义域内可以有多个极大值和极小值，极大值不一定大于极小值。 2.利用导数求函数极值的步骤 若函数y=f(x)在区间(ab)内可导，求f(x)在(ab)内的极值的步骤： (1)求函数f(x)的定义域： (2)求导函数f(x): (3)求方程f(x)=0的根（驻点）： (4)检验f(x)在驻点左右两侧的符号： 若在驻点左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,则该驻点为极大值点，f(x0)为极大值： 若在驻点左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,则该驻点为极小值点，f(xo)为极小值： 若在驻点左右两侧f(x)的符号不变，则该驻点不是极值点。 3.函数极值与导数的核心关系 (1)可导函数的极值点一定是其导函数的驻点(f(x)=0),但导函数的驻点不一定是函数的极值点（需 满足符号变化)： (2)不可导点也可能是函数的极值点（如y=|x在x=0处不可导，却是极小值点），需结合函数单调性 判断； (3)函数在某区间内的极值点不连续出现，相邻两个极值点之间的函数具有单一单调性。 4.已知函数极值求参数的方法 1/21 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 (1)由f(xo)=0列出关于参数的方程，求出参数的可能值： (2)检验：将参数值代入导函数，验证f'(x)在x左右两侧的符号是否发生变化，若变化则为极值点，否则 舍去： (3)若函数在某点处有极大值/极小值，需同时满足f(x)=0和符号变化条件，二者缺一不可。 二、考点专练： 目目 考点01 利用导数判断函数极值点、求函数极值 【经典例题】 1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，下列说法正确的是() A.函数y=f(x)在(-2,2)上是增函数 B.函数y=f(x)在(1，+∞)上是减函数 C.x=-1是函数y=f(x)的极小值点 D.x=1是函数y=f(x)的极大值点 2.(24-25高二下·山东部分学校)函数f(x)=(x-2)-x2+2.x的极小值点为() A.1-e B.1 C.In2 D.2 3.(24-25高三下，山西·模拟)设函数fx)=(x-a)'(x-b(a≠b),对任意x∈R,f1-x)+f1+x)=2f).若对任 意x∈(2,4)，都有f(1+x)f1+x)<0,则f(x)的极小值为() A.-4 B.-2 C.-1 D.0 【变式训练】 1.(多选)如图所示是y=∫(x)的导数y='(x)的图象，下列结论中正确的有( A.f(x)在区间(-3,1)上是增函数 B.x=-1是f(x)的极小值点 2/21 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 C.f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(-1,2)上是增函数D.x=2是f(x)的极小值点 2.(25-26高二上·广东汕头潮阳实验学校·期末)函数f(x)=x-6x2+9x+1的极值点个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(24-25高二下河北邢台卓越联盟)函数f(x)=3x-8x的极值点为一，极值为一 4.(24-25高二下·广西梧州期末)函数f(x)=e-x-2的极小值点为 5.(25-26高三上·广西河池·期末)若x=1是函数f(x)=(x-2)(x-1)(x-a)的极值点，则f(x)的极小值 为 【巩固练习】 1.函数y=x-h(1+x2)的极值情况是() A.有极小值B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 2.函数)号的极大值为一 3.(24-25高二下，湖南湘东教学联盟·期末)函数f(x)=x2e-2的极大值点是」 x23+3x2+1 4.(24-25高二下·广东领航联盟)函数f(x)= 的极大值是 5.(24-25高三下·辽宁盘锦名校)已知函数f(x)=e*-x-2在x=0处的切线与直线x-y=0垂直，则f(x) 的极小值为一· 3/21 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 6.(25-26高二上·浙江宁波镇海中学期末)已知函数(x)= Vx2+1 则f(x)的极值为() x2-x+2 A. B.25 7 c.② 2 D.5 4 目目 考点02 利用导数求函数的最值 【经典例题】 1.(23-24高二下山东聊城水城中学等校·期中)函数f(x)=x-12x在区间[-3,2]上的最大值是() A.-9 B.-16 C.16 D.9 2.(24-25高二下·辽宁辽宁普通·期中)随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来 给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x(x≥2)万 条时，平台软件收入为2560元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高 x+1 收益时，收集的数据量应为() A.17万条 B.16万条 C.15万条 D.14万条 【变式训练】 1.函数f(x)=2x3-6x2-18x-7在L,4]上的最小值为() A.-64 B.-51 C.-56 D.-61 2.(25-26高二上·云南昭通一中·期末)已知函数f(x)=2xex,则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为（) A日 B.4 C. 4/21 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 3.(24-25高二上江苏连云港灌云县第一中学.期末)已知奇函数f(x)= 1-e,x> 0, 则函数h(x)的最小 h(x),x<0 值为() A.1-e B.1+e C.e-1 D.-1-e [x2,0≤x≤1 4.(24-25高三上·河南名校联盟)己知函数(x)= ,1，若存在实数，5(：>≥0)满足 f(x)=f(x2), 3沁+1的最大值为— 【巩固练习】 1.函数g(w)= 2+nx的最小值为 2.23-24高二下湖南部分学校)酒数fa)=-(e-r-r的最小值为 3.已知函数f(x)=(1-x)e,点(a,b)在曲线y=f(x)上，则f(a)-f(b)的最大值为 目目 考点03 已知函数极值点或极值求参数的值或范围 【经典例题】 1.(25-26高二·陕西神木中学期末)已知函数f(x)=e*(x-m)2,若x=1为f(x)的极小值点，则实数m的 值为() A.-1 B.1 C.3 D.1或3 2.已知函数f()=子x-(a+1)x+,aeR,若函数f()在x=1处取得极小值，则实数a的取值范围 为() A.（-∞，1) B.(-o,1] C.(0,1) D.(1,+o) 5/21 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 3.(24-25高二下·福建漳州华安一中期中)若函数f(x)=x3-m2-bx+2在x=1处有极值10，则 b-a= 4.(24-25高二下·北京延庆区·期末)已知函数f(x)=x+bx2+cx在点x。处取得极大值5，其导函数 y=f'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.则。=一：a-b-c= 【变式训练】 1.(25-26高二·河北石家庄第二中学期末)已知函数f(x)=x(x-a)在x=1处取得极大值，则a=() A.9或1 B.3 C.2 D.1 2.(25-26高二上·湖南长沙第一中学)已知函数f(x)=x(x-c)有极大值32，则实数c的值为 3.(24-25高二下·河南周口商水县·期末)已知函数f(x)=x+ax2+bx-2+8(a,b∈R)在x=1处取得极值0， 则b 4.(24-25高二下河南南阳六校)已知{a,}为等比数列，函数f)=】x2-5x2+16x,若a与a,恰好为fx) 的两个极值点，那么4的值为 6/21 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 5.(23-24高二下广东东莞期末)（多选）已知函数f(x)=ax+bx2+cx+d(a≠0)在x=1处取到极大值1， 则以下结论正确的是() A.3a+2b+c=0B.d=2a+b+1C.b<-3a D.b>-3a 6.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)函数f(x)=nx+r2+br,若x=2是f(x)的极小 值点，则实数a的取值范围是() .B. D.（-∞，1) 7.若函数f()=+x+(a>0)在r=0处取得极大值，则实数a的取值范围为 e* 8.已知函数f(x)=+口恰有一个极小值点x和一个极大值点，设点45，了)，B,了，》，则直 Γx2+1 线AB的斜率为 【巩固练习】 1.(24-25高二下福建南安成功中学)若函数y=2x-3x2+a的极大值是6，则4=一 2.Q425商=下北京房山区-调已知了)m+a-)r-x在x=1处有极大值，则实数a的取值 2 范围是 3.(25-26高二上·上海吴淞中学·期末)已知函数f(x)=x+3ax2+bx+a2在x=-1处取得极值0，则 '1)= 4.(24-25高二下·广东·联考)（多选）己知函数f(x)=m3+bx2+cx+1(a≠0)在x=1处取到极大值1，则以 下结论正确的是（) A.3+2b+c=0B.b=2aC.a>0D.f()的极小值点为时 7/21 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 5.(25-26高三上·黑龙江佳木斯第八中学)函数f(x)=x3+2-bx+a2在x=2时有极小值-4，那么b-a的 值为 6.(25-26高二上·云南昭通一中教研联盟·期末)若3是函数f(x)=(x-2)(x-3)(x-a)的一个极值点，则 f(0)=」 目目 考点04 根据函数极值存在性及极值个数求参数的值或范围 【经典例题】 1.(2526高二上重庆第一中学)已知f)=】x+x2-x在R上存在极值点，则实数a的取值范围为() 3 A.(-0,-1) B.(-0,-1] C.[-1,+w) D.(-1,+o) 2.(25-26高二江苏宿迁·期末)设a∈R,函数f(x)=e“+2.x(x∈有大于零的极值点，则实数a的取值范 围是() A.a>0 B.a>-2 C.a<-2 D.a<- 2 3.(25-26高二上·云南玉溪第一中学.月考)若函数f(x)=x2-x+anx有两个不同的极值点，则实数a的取 值范围为() a.(ag) 7 B. D. -08 4.(25-26高三上·重庆九校.月考)已知函数f(x)=ae-ln(-x)-x恰有3个不同的极值点，则a的取 值范围是() A.(（-∞，-e)B.（-∞，-e] c 8/21 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 【变式训练】 1.24-25高二下四川阀中中学校期中)若函数y=r+x?-m有极值点，那么实数a的取值范围是（) 21 A.（-∞，+0) B.[2,+o) C.（-∞，2)U(2,+∞) D.(2,+o) 2.(25-26高二上·上海行知中学·期中)若函数y= ,e,x≥0，。在R上存在极小值，则实数a的取值范围 x3+ax+1,x<0 为 3.已知f()=(x+2)(x2+x+m)在R上既有极大值也有极小值，则实数m的取值范围是 4.(25-26高三上黑龙江“六校联盟期末已知函数f)=rnx-匹-号有两个极值点，则实数a的取值 23 范围是() 2e A.(（1,+0) B.(2,+0) C.(e,+o) D. 3 5.(25-26高二·福建厦门第一中学.期末)已知函数f(x)=e-2有两个极值点，则实数a的取值范围 是 6.25:26高二上重庆南开中学校期利若函数8)=(《-)一-2恰有两个极值点，则实数m的取值范 围为 9/21 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 【巩固练习】 1.24,25高二上安徽临泉第一中学期村函数f()。十1在区间[+m(∈2)上存在极值，则1的最大 值为() A.0 B.1 C.2 D.3 高三下·贵州黔东南期中)多选)若函数f(=&x-3w2+8x-1有极值，则a的取值可 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(24-25高二下·广西河池期末)已知函数f(x)=x2-x+mnx,x∈(0，+∞)有两个极值点，则实数m的 取值范围是() ( B 1 C.(0,+o) D. -00, 8 1 b 4.(23-24高二下·四川凉山州西昌·期中)（多选）若函数y=alnx+ +2有两个极值，则() A.a>0 B.b>0 C.b<0 D.ab>-1 4 5.(25-26高二上·陕西西安月考)已知函数f(x)=x2-ae+1有两个极值点，则实数a的取值范围是」 6.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学.期末)函数f(x)=2-e+x有两个极值点，则实数m的 取值范围是 目目 考点05 根据函数的最值求参数的值或范围 【经典例题】 1.当x=1时，函数f)=anx+取得最小值2，则f'(2)=() A.-1 B.-1 C. D.1 2.(2526高二上江苏南京第十三中学期末)若函数f(x)=号x-x2-2在区间1-a,a)上存在最大值，则实 3 数a的取值范围为() A.(1,+0） B.(1,2] C.(1,3) D.(1,3] 10/21专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 专题5.3导数与函数的极值及最值 考点预览 考向01利用导数判断函数极值点、求函数极值 考向07解答题 考向02利用导数求函数的最值 考向06函数极值与最值综合 导数与函数的极值及最值 考向03已知函数极值点或极值求参数的值或范围 考向05根据函数的最值求参数的值或范围 考向04根据函数极值存在性及极值个数求参数的值或范围 一、 必备知识 1.函数极值的基本概念 (1)极大值：设函数y=f(x)在点xo及其附近有定义，若对xo附近的所有点，都有f(x)<f(x),则称f(xo) 是函数y=f(x)的极大值，称xo是函数y=f(x)的极大值点。 (2)极小值：设函数y=f(x)在点xo及其附近有定义，若对xo附近的所有点，都有f(x)>f(xo),则称f(xo) 是函数y=f(x)的极小值，称xo是函数y=f(x)的极小值点。 (3)极值与极值点：极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。 注：极值是函数的局部性质，一个函数在定义域内可以有多个极大值和极小值，极大值不一定大于极小值。 2.利用导数求函数极值的步骤 若函数y=f(x)在区间(ab)内可导，求f(x)在(ab)内的极值的步骤： (1)求函数f(x)的定义域： (2)求导函数f(x): (3)求方程f(x)=0的根（驻点）： (4)检验f(x)在驻点左右两侧的符号： 若在驻点左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,则该驻点为极大值点，f(x0)为极大值： 若在驻点左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,则该驻点为极小值点，f(xo)为极小值： 若在驻点左右两侧f(x)的符号不变，则该驻点不是极值点。 3.函数极值与导数的核心关系 (1)可导函数的极值点一定是其导函数的驻点(f(x)=0),但导函数的驻点不一定是函数的极值点（需 满足符号变化)： (2)不可导点也可能是函数的极值点（如y=|x在x=0处不可导，却是极小值点），需结合函数单调性 判断； (3)函数在某区间内的极值点不连续出现，相邻两个极值点之间的函数具有单一单调性。 4.已知函数极值求参数的方法 1/49 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 (1)由f(xo)=0列出关于参数的方程，求出参数的可能值： (2)检验：将参数值代入导函数，验证f'(x)在x左右两侧的符号是否发生变化，若变化则为极值点，否则 舍去： (3)若函数在某点处有极大值/极小值，需同时满足f(xo)=0和符号变化条件，二者缺一不可。 二、考点专练： 目目 考点01 利用导数判断函数极值点、求函数极值 【经典例题】 1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，下列说法正确的是() A.函数y=f(x)在(-2,2)上是增函数 B.函数y=f(x)在(1，+∞)上是减函数 C.x=-1是函数y=f(x)的极小值点 D.x=1是函数y=f(x)的极大值点 【答案】A 【详解】由图象可知，当x∈(-2,2)时，f(x)≥0：当x∈(2，+o)时，'(x)<0, ∴f(x)在(-2,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，可知B错误，A正确： x=2是极大值点，没有极小值，.x=-1和x=1不是函数的极值点，可知C,D错误.故选：A 2.(24-25高二下·山东部分学校)函数f(x)=(x-2)e-x2+2x的极小值点为() A.1-e B.1 C.In2 D.2 【答案】B 【详解】f(x)=(x-1)e-2(x-1)=(x-1)(e-2).令f'(x)>0,得x∈(-n,hn2)U1,+o):令f(x)<0,得 x∈(ln2,1).可知f(x)在(-o,h2),(1,+o)上单调递增，在(h2,1)上单调递减，所以极小值点为1.故选B. 3.(24-25高三下山西·模拟)设函数fx)=(x-a)}(x-b(a≠b),对任意x∈R,f1-x)+f1+x)=2f(1).若对任 意x∈(2,4)，都有f(1+x)f1+x)<0,则f(x)的极小值为() A.-4 B.-2 C.-1 D.0 【答案】A 【详解】由f1-x)+f1+x)=2f)可得2(1-a)(1-b)+22(1-a)+(1-b)x2=2(1-a)(1-b), 由于等式对任意x∈R都成立，则x2项系数必须为0，即22(1-a)+(1-b)=0,所以2a+b=3, 2/49 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 令f(x)=(化-a(x-b)=0,可得x=a或x=b,由三次函数图象性质易得x=b为函数∫(x)的唯一变号零 点，由任意x∈(2,4)，都有f(-1+x)f1+x)<0,可得x-1∈(L,3),x+1∈(3,5)时，总有f(-1+x)f1+x)<0, 所以x=3为函数f(x)的变号零点，所以b=3,则a=0,此时f(x)=x2(x-3)=x3-3x2,求导得 f'"(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f"(x)=0,得x=0或2，当x<0或x>2时，f'(x)>0:当0<x<2时，f(x)<0. 故x=2为极小值点，极小值f(2)=-4.故选：A. 【变式训练】 1.(多选)如图所示是y=∫(x)的导数y='(x)的图象，下列结论中正确的有( A.f(x)在区间(-3,1)上是增函数 B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(-1,2)上是增函数 D.x=2是f(x)的极小值点 【答案】BC 【详解】根据图象知当x∈(-1,2)U(4,+o)时，"(x)>0,函数单调递增：当x∈(-3，-1)儿U(2,4)时，f'(x)<0, 函数单调递减.故A错误，故C正确：当x=-1时，f(x)取得极小值，x=-1是f(x)的极小值点，故B正 确：当x=2时，f(x)取得是极大值，x=2不是f(x)的极小值点，故D错误故选：BC 2.(25-26高二上·广东汕头潮阳实验学校·期末)函数f(x)=x-6x2+9x+1的极值点个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【详解】根据题意知f(x)=x-6x2+9x+1,则f'(x)=3x2-12x+9,令f'(x)=3x2-12x+9=0,则可得x=1 或x=3,当x<1或x>3时，f'(x)>0,则f(x)单调递增：当1<x<3时，∫'(x)<0,则f(x)单调递减， 所以当x=1时f(x)取极大值，当x=3时，f(x)取极小值，则有两个极值点故选：C 3.(24-25高二下河北邢台卓越联盟)函数f(x)=3x4-8x的极值点为一，极值为 【答案】2 -16 【详解】易得f(x)=12x3-24x2=12x2(x-2),当x∈(2，+o)时，f(x)>0,当x∈(-o,2)时，f(x)<0, 则f(x)在(2，+∞)上单调递增，在(-o,2)上单调递减，所以x=2是f(x)的极小值点，极小值为 3/49 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 f(2)=3×24-8×2=-16.故答案为：2；-16 4.(24-25高二下广西梧州期末)函数f(x)=e-x-2的极小值点为 【答案】x=0 【详解】f'(x)=e-1,令f'(x)=e-1>0,即e*>l,∴.x>0: 令'(x)=e*-1<0,即e*<1,∴.x<0.∴.f(x)的单调增区间为(0，+∞)，单调减区间为(-o,0). 因此x=0时函数f(x)取得极小值.函数f(x)=e-x-2的极小值点为x=0.故答案为：x=0 5.(25-26高三上·广西河池·期末)若x=1是函数f(x)=(x-2)(x-1)(x-a)的极值点，则f(x)的极小值 冷 【路】 【详解】由函数f(x)=(x-2)(x-1)(x-a)=(x2-3x+2)x-,可得f'(x)=(2x-3)x-a)+(x2-3x+2), 因为x=1是函数f(x)的极值点，可得f'(1)=-(1-a)=0,解得a=1,所以 f'(x)=(2x-3)x-1)+(x2-3x+2)=(x-1)(3x-5),当x<1时，'(x)>0,f(x)在(-m,1)上单调递增： 当1<x<时，了(x)<0,fx)在1上单调递减：当x>时，了'(>0，f()在+切)上单调递增， 3 所当x=时，画数/)取得极小值，极木值为月-写2-X-》=去故答案为：寺 【巩固练习】 1.函数y=x-h(1+x2)的极值情况是() A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 【答案】D 【详朝1水Y1-京4)-1任？0，得质数在R上单调造，函数y=-h0 1+x21+x2 无极值.故选：D 2.函数f)-x的极大值为 【答案】0 【详解】f'(x)=x2-2x=x(x-2),令f(x)=0,可得x=0或2，当f(x)<0时，0<x<2,f(x)单调递 减：当∫'(x)>0时，x<0或x>2,f(x)单调递增，所以f(x)在x=0处取得极大值，极大值为∫(O)=0. 故答案为：0 4/49 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 3.(24-25高二下·湖南湘东教学联盟期末)函数f(x)=xe2的极大值点是 【答案】-2 【详解】因为函数f(x)=xex-2,则f'(x)=(x2+2x)e-2,令f'(y)=0,得到x=0或-2，令f(x)>0, 得到x<-2或x>0:即函数f(x)在区间(-n,-2)和(0，+∞)上单调递增；令f'(x)>0,得到-2<x<0;即 函数f(x)在区间(-2,0)上单调递减：故极大值点为-2，故答案为：-2 x23+3x2+1 4.(24-25高二下广东领航联盟)函数f(x) 的极大值是 3 【答案】号 【详解】求函数f(x)= ）+3x2 3 的极大值，即求g(x)=x3+3x2+1的极小值，g(x)=3x2+6.x,当x∈（-0，-2) 时，g'(x)>0,g(x)单调递增，x∈(-2,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，x∈(0，+o)时，g'(x)>0,g(x)单 调递增，所以8()=8(O)=L,则f()层a=3故答案为：号 5.(24-25高三下·辽宁盘锦名校)已知函数f(x)=e*-mx-2在x=0处的切线与直线x-y=0垂直，则f(x) 的极小值为 【答案】-2ln2 【详解】函数f(x)=e*-x-2,求导得f"(x)=e*-m,依题意，f'(O)=1-m=-1,解得l=2,令 f'(x)=e-2=0,解得x=ln2,则当x∈(-o,n2)时，f'(x)<0:当x∈(ln2,+o)时，f'(x)>0, 所以f(x)的极小值为f(n2)=-2ln2.故答案为：-2ln2 6.25:26高二上渐江宁波镇海中学期末)已知函数fW)=+1,则f)的极值为() x2-x+2 A.月 B.25 C.2 D.5 7 2 4 【答案】C 【详解】函数fw= 2eR则re+)aIeD V2+1 (x2-x+2】 (x-x+2)-(x2+1(2x-1) -x3+1 Vx2+1(x2-x+2) 牙 Vx2+1(x2-x+2)月 Vx2+1(x2-x+2)】 所以当x∈(-∞，1)时，f(x)>0,函数f(x)单调递增，当x∈(L,+o)时，∫'(x)<0,函数f(x)单调递减， 5/49 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 所以当x=1时，函数f(x)取得极大值fQ)= +12故选：C 1-1+22 考点02 利用导数求函数的最值 【经典例题】 1.(23-24高二下山东聊城水城中学等校期中)函数f(x)=x3-12x在区间[-3,2]上的最大值是（) A.-9 B.-16 C.16 D.9 【答案】C 【详解】因为f'(x)=3x2-12,令'(x)=0,解得x=±2，当x∈(-3，-2)时，f'(x)>0,即f(x)单调递增， 当x∈(-2,2)时，f"(x)<0,即f(x)单调递减，所以f(x)在x=-2时取得极大值，即最大值 f(-2)=(-2)+2×12=16,所以f(x)在区间[-3,2]上的最大值是16.故选：C 2.(24-25高二下·辽宁辽宁普通·期中)随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来 给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x(x≥2)万 25600x 条时，平台软件收入为 元.己知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高 x+1 收益时，收集的数据量应为() A.17万条 B.16万条 C.15万条 D.14万条 【答案】C 【详解】设收益为y元，则y 25600r-10x0x22,y=-100(-156+17 ,当y'>0时，2<x<15: x+1 (x+1)2 当y<0时，x>15,所以函数y在(2,15)上单调递增，在(15，+w)上单调递减，即当收集的数据量为15万 条时，该软件能获得最高收益.故选：C 【变式训练】 1.函数f(x)=2x3-6x2-18x-7在1,4]上的最小值为() A.-64 B.-51 C.-56 D.-61 【答案】D 【详解】由题意f(x)=6x2-12x-18,令f"(x)=0,解得x=-1,x2=3,当x∈(-0，-1)，(3，+o)时，f"(x)>0, 则f(x)单调递增，当x∈(1,3)时，∫'(x)<0,则f(x)单调递减，所以f(x)极小值为f(3)=-61, 又f1)=-29,f(4)=-47,所以f(x)的最小值为-61.故选：D 2.(25-26高二上·云南昭通一中.期末)已知函数f(x)=2xe,则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为() 6/49 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 A.5 4 B. C.3 2 D. e e e e 【答案】D 【详解】由f(x)=2xe,可得f"(x)=2ex-2.xe=2e(1-x),当0≤x<1时，f'(x)>0:当1<x≤3时， ∫'(x)<0:故f(x)=2xe在[0,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，故当x∈[0,3]时，f(x)=2xe在x=1 时取得极大值，也即最大值f①)=2故选：D /1 3.(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期末)已知奇函数f(x)= e,x>0 ,则函数h(x)的最小 h(x),x<0 值为() A.1-e B.1+e C.e-1 D.-1-e 【答案】C 【详解】由x<0可知->0，所以f←)-1+，又因为f()是奇函数，所以f9)=-f()=1+ 即可得x<0时，f)-1,即)=-1<0：则N)-任+c,令)=0可得=-1， x2 所以当x∈(-o,-1)时，H(x)<0,即h(x)在(-o,-1)上单调递减，当x∈(-1,0)时，H(x)>0,即h(x)在 (-10)上单调递增，即h(e)在x=-1处取得极小值，也是最小值为-1-e -1e-l.故选：c x2,0≤x≤1 4.(24-25高三上·河南名校联盟·)已知函数f(x)= ,若存在实数5，x,（(x2>七≥0)满足 Inx,x >1 f()=f(x),则 的最大值为一 x+1 【答案】3e 1 【详解】由函数f()的图象可知1<≤C,g=hm,有3+_3x+1 xx 令-<e有国-0o 1 令8(x)>0,有1<<e5,可得函数g(r)的减区间为 e6,e, 13x5+13. 1 可得g=8c 6 e.故3y+ 3-1 的最大值为2c e3 7/49 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 y=fx) 故答案为： 【巩固练习】 1.函数g(x)=二+nx的最小值为 【答案】1+n2 【详解d)E2+nx定义域为0+，8是+之2令g>0得x>2,令g⑧0得0<x<2 x 故g)=2+nx在(0,2）)上单调递减，在(2，+四)上单调递增，故g。=g2)1+h2.故答案为：1+n2 2.Q324商=下湖南部分学校)函数了)--(e-1-c的最小值为 【答案】-e1-e 2 2 【详解】易知了x)=x-(e-1)。-任+x-ek>0),所以x>e时，∫()>0，即此时函数单调递增， xe0e时。f0水0，即此时国数单调速减，所以)≥e)(e9。,即该函数的 最小值为e,故答案为：e 3.已知函数f(x)=(1-x)e,点(a,b)在曲线y=f(x)上，则f(a)-f(b)的最大值为 【答案】1 【详解】求导得'(x)=-xe,当x∈(-o,0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增：当xe(0,+o)时，f'(x)<0, f(x)单调递减，所以f(x)≤f(0)=1,点(a,b)在曲线y=∫(x)上，则b∈(-o,],所以 f(a)-f(b)=b-f(b)=b+(b-1)e°，设g(b)=b+(b-1)e,8(b)=1+be,[g(b)]'=(b+1)e,当 b∈（←0，-）时，g(b)单调递减：当b∈(-1，)时，g(b)单调递增，所以g(b)≥g(-1)=1-1>0,故g(b) 单调递增，故g(b)≤g(1)=1,即f(a)-f(b)的最大值是1.故答案为：1. 目目 考点03 已知函数极值点或极值求参数的值或范围 【经典例题】 1.(25-26高二陕西神木中学期末)己知函数f(x)=e*(x-m)2,若x=1为f(x)的极小值点，则实数m的 值为() A.-1 B.1 C.3 D.1或3 8/49 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 【答案】B 【详解】函数f(x)=e(x-m2,定义域为R.所以f'(x)=e*(x-m)+2e(x-m)=e(x-m)(x-+2) 由题可知，f'(1)=0,即e(1-m)(1-+2)=0,所以m=1或m=3.当m=1时， f(x)=e*(x-1),f'(x)=e(x-1)(x+1).令f'(x)>0,则x<-1或x>1:令f'(x)<0,则-1<x<1. 所以f(x)在(-1,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值.当m=3时， f(x)=e*(x-3),f"(x)=e(x-1)(x-3).令f'(x)>0,则x<1或x>3:令f'(x)<0,则1<x<3.所以f(x) 在(-o,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减.所以f(x)在x=1处取得极大值.综上，实数m的值为1.故选：B 2.已知函数f()=x2-(a+)x+n,aeR,若函数f()在x=1处取得极小值，则实数a的取值范围 为() A.（-∞，1) B.(-0,1] C.(0,1) D.(1,+o) 【答案】A 【详解】因f)方-(a=)x+a血x的定义域为0+，求导得 fg=x-a+l)+_C-(a+)x+a_c--四，若as0,则x-a>0,由f>0可得x>l,由 子 f"(x)<0,可得0<x<1,故函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+o)上单调递增，即函数f(x)在x=1处 取得极小值，符合题意：若0<a<1,则由'(x)>0可得0<x<a或x>1,由f"(x)<0,可得a<x<1,故 函数f(x)在(0，a),1,+w)上单调递增，在(a,1)上单调递减，故函数f(x)在x=1处取得极小值，符合题意： 若a=1,则f)=《-1少≥0，函数fx)在0，+四)上单调递增，无极值点，不合思意；若a>1,则由了)>0 可得0<x<1或x>a,由f"(x)<0,可得1<x<a,即此时函数f(x)在(0,1)，(a,+∞)上单调递增，在(1，)上 单调递减，故函数f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.综上可得，实数a的取值范围为(-o,1).故选：A. 3.(24-25高二下.福建漳州华安一中期中)若函数f(x)=x3-m2-bx+a2在x=1处有极值10，则 b-a= 【答案】15 [f'0)=3-2a-b=0 【详解】由题意有f"(x)=3x2-2-b,由题意得 f0=1-a-b+a2-=10,解得a=3或-4，当a=3时， b=3-2a=-3,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)≥0，故f(x)在R上单调递增，无极值，舍去，当a=4时， 9/49 专题5.3导数与函数的极值及最值 高中数学导学案 6-3-2a=1,f)=3x-8x-l1=(-(3x+10,当<号或x>1时.f)≥0，当号<x<1时， f"(x)<0,所以f(x)在x=1处取得极小值，满足要求，此时b-a=11+4=15.故答案为：15 4.(24-25高二下·北京延庆区期末)已知函数f(x)=x+bx2+cx在点x处取得极大值5，其导函数 y=f'(x)的图象经过点(L,0),(2,0),如图所示则，=一：a-b-c= 【答案】1-1 【详解】由图象可知当x∈(-o,1)U(2,+o)上时，f'(x)>0,当x∈(1,2)时，f'(x)<0,即函数f(x)在(-o,1) 和(2，+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，即函数f(x)在x=1处取得极大值，即x。=1:又 [f'(1)=3a+2b+c=0 a=2 f(x)=ax+bx2+cx,f'(x)=3ax2+2bx+c,则f'(2)=12a+4b+c=0,解得b=-9, f(1)=a+b+c=5 c=12 即a-b-c=-1,故答案为：1：-1. 【变式训练】 1.(25-26高二·河北石家庄第二中学期末)已知函数f(x)=x(x-a)?在x=1处取得极大值，则a=() A.9或1 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【详解】因为函数f(x)=x(x-a,所以f'(x)=(x-@+2x(x-a)=(x-a)(3x-a),又因为在x=1处取 得极大值，所以f'(1)=(1-a)(3-a)=0,所以a=1或a=3,当a=1时，f'(x)=(x-1)(3x-1),所以 xc后J)<0()单调递减，xc(L+m.f)>0,f()单调递增，所以了()在x=-1处取得极小值， 不符合题意舍去：当a=3时，f'(x)=(x-3)(3x-3),所以x∈(-o,1),f"(x)>0,f(x)单调递增， x∈(L,3),f(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，符合题意：则a=3.故选：B. 2.(25-26高二上·湖南长沙第一中学)已知函数f(x)=x(x-c)有极大值32，则实数c的值为 【答案】6 【详解】f(x)=x(x-c)2=x3-2xx2+c2x,求导得f(x)=3x2-4cx+c2=3x-c)-c),令f(x)=0, 10/49