6.3 平面向量基本定理及坐标表示（教材课后题 全解与加练）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标表示（教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 ----------------------【教材习题·精要】------------------- 📝【习题考向】 基底类：平面向量基本定理理解、基底选择 （定理理解，核心考查） 坐标类：向量坐标表示、坐标运算 （代数化运算，高频题型） 共线类：坐标形式下共线条件应用 （共线判定，典型考法） 综合类：基底与坐标的相互转化 （综合应用，提升题型） 📝【解题通法】 选基底：合理选择不共线向量，简化向量表示 化坐标：将向量问题转化为坐标运算 判共线：利用坐标共线条件，快速判定向量关系 📝【提分易错】 易错点：基底不共线条件忽略、坐标运算符号失误、共线条件误用 巧解法：优先坐标化，用代数运算替代几何推理 📝【思维创新】 拓视角：从 “几何依赖” 向 “坐标独立” 转化，建立代数化的向量工具意识 典示例：完成作业时可重点关注第 5 题、第 10 题，尝试用坐标法重构几何问题，体会向量作为代数工具的优势 ---------------------【教材习题·全解】---------------------- 📘【复习巩固】 1.（ 题型：基底表示） 【审题关键】利用和E是CD中点的条件，将、转化为基底，的线性组合. 【题目】如图，在中，，点E是CD的中点.设，，用a，b表示，. 【答案】； 【解析】， . 【核心技法】（1）用，表示，再由 求； （2）利用中点性质，代入基底求解. 【易错警示】① 向量减法方向搞反，误将写成；② 中点向量公式记错，导致表达式错误. 2. （题型：平面向量坐标运算：向量加法） 【审题关键】已知三个力的坐标，直接应用向量加法的坐标运算法则，分别对横坐标、纵坐标求和. 【题目】已知作用在坐标原点的三个力分别为，，，求作用在原点的合力的坐标. 【答案】 【解析】. 【核心技法】向量和的坐标等于各向量对应坐标的和，即 【易错警示】① 混淆坐标运算顺序，将横坐标与纵坐标错误相加；② 符号处理失误，导致坐标和计算错误. 3.（ 题型：由向量及起点坐标求终点坐标） 【审题关键】明确向量坐标与起点、终点坐标的关系，利用坐标等于终点B与起点A的坐标差列等式. 【题目】在下列各小题中，已知向量a的坐标，以及表示a的有向线段的起，点A的坐标，求终点B的坐标. （1），； （2），； （3），. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）， ，. （2），，. （3），，. 【核心技法】 设，，则，直接代入计算. 【易错警示】 ① 公式记反，用起点坐标减向量坐标；② 符号运算错误，导致横、纵坐标计算偏差. 4. （题型：平行四边形顶点坐标） 【审题关键】 利用平行四边形对边向量相等，建立坐标关系求未知顶点. 【题目】已知的顶点，，，求顶点D的坐标. 【答案】 【解析】解法1：设O为坐标原点，则，.而，，所以顶点D的坐标为. 解法2：设顶点D的坐标为，则，， . 由，得解得所以顶点D的坐标为. 【核心技法】 设，由列方程组求解. 【易错警示】 ① 顶点顺序错误，向量对应关系混乱；② 坐标运算符号出错. 5. （题型：向量数乘与坐标运算） 【审题关键】 利用向量数乘的坐标运算法则，先求出,的坐标，再由向量减法求. 【题目】已知点，，，且，，求点，及向量的坐标. 【答案】；； 【解析】因为，所以点的坐标为. 因为，所以点的坐标为. 所以向量. 【核心技法】 数乘向量坐标等于数乘各坐标分量，. 【易错警示】 ① 数乘运算时漏乘某一坐标；② 向量差的坐标顺序颠倒，导致结果符号错误. 6.（题型：由向量数乘求点坐标） 【审题关键】 锁定点 A、B 坐标与向量数乘关系，明确需通过向量运算推导目标点坐标. 【题目】已知点，，且，，，求点C， D，E的坐标. 【答案】；； 【解析】设O为坐标原点，则，. ，，. ，所以点C的坐标为； ，所以点D的坐标为； ，所以点E的坐标为. 【核心技法】 先求坐标，再做向量数乘，最后用起点坐标加向量坐标得终点坐标. 【易错警示】 ① 数乘负系数时符号处理错误；② 混淆向量与点坐标的关系，未结合起点坐标计算. 7. （题型：判断三点共线） 【审题关键】 已知三点坐标，判断位置关系，核心是验证是否共线. 【题目】你认为下列各组点具有什么样的位置关系?证明你的猜想. （1），，； （2），，； （3），，. 【答案】（1）三点共线，证明见解析 （2）三点共线，证明见解析 （3）三点共线，证明见解析 【解析】（1）A，B，C三点共线.因为，，所以.因为直线AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线. （2）P，Q，R三点共线.因为，，所以.因为直线PR与PQ有公共点P，所以P，Q，R三点共线. （3）E，F，G点共线.因为，，所以.因为直线EF与EG有公共点E，所以E，F，G三点共线. 【核心技法】 计算两点间向量，若两向量成倍数关系，则三点共线. 【易错警示】 ① 向量坐标计算错误；② 忽略 “有公共点” 这一关键条件. 8. （题型：判断三角形形状） 【审题关键】 已知三点坐标，判断三角形形状，核心是利用向量的模长和数量积. 【题目】分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为定点的三角形的形状，然后给出证明： （1），，； （2），，； （3），，. 【答案】（1）为直角三角形，证明见解析 （2）为直角三角形，证明见解析 （3）为直角三角形，证明见解析 【解析】（1）如图，为直角三角形，证明如下： ，，，，. 为直角三角形. （2）如图，为直角三角形，证明如下： ，， ，，，为直角三角形. （3）如图，为直角三角形，证明如下：9.已知，，且，求a的坐标. ，，，，， 为直角三角形. 【核心技法】 计算三边向量的模长和数量积，通过勾股定理或向量垂直条件判断. 【易错警示】 ① 向量坐标计算错误；② 混淆向量模长与线段长度的关系. 9. （题型：由模长与平行关系求向量坐标） 【审题关键】 已知向量模长与平行关系，求向量坐标，核心是利用平行条件与模长公式列方程. 【题目】已知，，且，求a的坐标. 【答案】或 【解析】设，则解得或 于是或. 【核心技法】 由设，再代入求解λ. 【易错警示】 ① 忽略平行向量的方向，漏解；② 模长计算时未对λ取绝对值. 10. （题型：求与已知向量垂直的单位向量） 【审题关键】 已知向量，求与它垂直的单位向量，需同时满足垂直条件和模长为 1. 【题目】已知，求与a垂直的单位向量的坐标. 【答案】或 【解析】设与a垂直的单位向量，则解得或 于是或. 【核心技法】 设所求向量，由和列方程组求解. 【易错警示】 ① 垂直条件转化错误；② 忽略单位向量有两个方向，导致漏解. ♻【综合运用】 11. （题型：平面向量线性运算与位置关系判断） 【审题关键】 利用平行四边形性质和分点比例，将目标向量用基底，表示；再通过数量积判断位置关系. 【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. （1）用a，b表示，. （2）如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 【答案】（1）； （2），证明见解析 【解析】（1）； . （2）.证明如下： 由（1）知，，， . ，. 【核心技法】 ① 用向量加法的三角形法则分解，；② 代入，计算数量积. 【易错警示】 ① 分点比例转化错误；② 数量积计算时忽略的项. 12. （题型：由向量参数方程求点坐标） 【审题关键】 已知向量参数方程，代入不同t值求对应点P的坐标. 【题目】已知点，，，.当，，-2，2时，分别求点P的坐标. 【答案】见解析 【解析】，. 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，， 所以； 当时，，所以. 【核心技法】 先求坐标，再代入参数t计算，其坐标即为点P的坐标. 【易错警示】 ① 向量坐标计算顺序颠倒；② 代入t值时运算错误. 13. （题型：线段延长线上分点坐标） 【审题关键】 点P在线段AB延长线上，且，需转化为向量关系求解. 【题目】已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标. 【答案】 【解析】如图所示， 设，则，.，. 即，，，. 【核心技法】 设，由向量坐标运算列方程，解出x,y. 【易错警示】 ① 忽略延长线方向，导致向量比例符号错误；② 混淆与的对应关系. 14. （题型：证明四边形为矩形） 【审题关键】 已知四点坐标，证明四边形为矩形，需先证是平行四边形，再证有一个角为直角. 【题目】求证：以，，，为顶点的四边形是一个矩形. 【答案】见解析 【解析】证明：因为，，，所以，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形. 【核心技法】①计算对边向量，若相等则为平行四边形；② 计算邻边向量的数量积，若为 0 则邻边垂直. 【易错警示】①顶点顺序判断错误，导致对边向量选取错误；② 数量积计算时符号处理失误. 🔍【拓广探索】 15. （题型：斜坐标系下向量运算与坐标合理性判断） 【审题关键】 已知斜坐标系夹角与单位向量，需利用数量积计算模长，并依据平面向量基本定理判断坐标定义的合理性. 【题目】如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.设. （1）计算的大小； （2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理. 【答案】（1） （2）合理 【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，将分解到轴和轴可求得，，所以. （2）对于任意向量都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理. 【核心技法】（1）用展开计算模长；（2）验证，​是否不共线，以满足基底条件. 【易错警示】 ① 忽略斜坐标系夹角，误用直角坐标系公式；② 未验证基底不共线条件，导致合理性判断失误. 16. （题型：向量法证明柯西不等式） 【审题关键】 将实数对和构造为向量，利用向量数量积的性质 进行证明. 【题目】用向量方法证明：对于任意的a，b，c，，恒有不等式. 【答案】见解析 【解析】证明：构造向量，.（其中为向量u，v的夹角）. 所以， 所以 【核心技法】 构造向量，，代入数量积不等式展开化简. 【易错警示】 ① 向量构造错误；② 忽略等号成立的条件（向量共线）. ---------------------【素养强化·专练】-------------------- 一、单选题 1.已知点，，且，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为点，，所以， 所以. 故选B. 2.已知，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，，解得..故选B. 3.如图，在平行四边形中，M为的中点，与相交于点P.若，则( ) A.1 B. C. D.2 【答案】B 【解析】因为在平行四边形中，M为的中点，与相交于点P， 所以，所以. 又，所以，. 故选B. 4.已知向量，，.若，，则( ) A.14 B. C.10 D.6 【答案】C 【解析】法一：由向量，，，且，可得，解得，所以.因为，所以，所以，解得，则，所以，则. 故选C. 法二：由向量，，，且，可得，解得，所以，则.因为，所以，所以. 故选C. 5.如图，在中，BE是AC边上的中线，O是BE边的中点.若，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在中，BE是AC边上的中线，. 是BE边的中点，. 故选D. 6.在四边形ABCD中，，，，，E，F分别为边AB，CD的中点，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，，，，E，F分别为边AB，CD的中点， 所以，，所以.故B，C，D错误. 故选A. 7.已知在平行四边形ABCD中，，，记，，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，，所以，. 因为在平行四边形ABCD中，，所以， 所以. 故选D. 8.六芒星由正三角形ABC和正三角形DEF组合而成，且，，，和的中心均为O，BC与EF的交点为G.若，则( ) A. B. C.-5 D.-6 【答案】C 【解析】如图，连接AG，CE，设AB，CE的交点为H，AG，CE的交点为I.由于O是和的中心，所以O在CE上，H为AB的中点. 因为O为的重心，所以.由题意得，则，即，所以，得. 故选C. 二、多选题 9.已知向量，，则下列选项正确的是( ) A. B. C.已知，若，则 D.a与b夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】对于A，，所以a，b不垂直，故A错误； 对于B，，可得，故B正确； 对于C，由可得，解得，故C正确； 对于D，设a与b的夹角为，则，故D错误. 故选BC. 10.如图，在直角梯形中，，，E为AB中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上任意一点，若，则的值可能是( ) A.1 B. C.2 D. 【答案】ABC 【解析】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，，，则，，，，，，则，，，.设，，则.，，整理得.，. 故选ABC. 11.已知非零向量a，b的夹角为，现定义一种新运算：.若，，，则( ) A.a在b上的投影向量的模为 B.， C. D. 【答案】BC 【解析】因为，，对于A，a在b上的投影向量的模为，而，且，故A错误；对于B，当时，，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为的值为非负数，的值可能为负数，故D错误.选BC. 三、填空题 12.已知非零向量，，且a与b共线，则_____________. 【答案】16 【解析】由，可得，解得或. 又因为向量a为非零向量，所以不合题意，故， 即，，于是. 13.若平面向量，，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以. 14.已知向量.若为直角三角形，且为直角，则实数m的值为__________. 【答案】 【解析】由题意知.又，所以. 由，得，解得. 所以实数m的值为. 四、解答题 15.已知在中，点D在线段OB上，且，延长BA到C，使. 设. （1）用表示向量； （2）若向量与共线，求k的值. 【答案】(1)；；(2) 【解析】(1)为BC的中点，，可得， . (2)由(1)得. 与共线， 设，即， 根据平面向量基本定理，得解得. 16.在平面内给定三个向量. （1）求满足的实数m，n的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 【答案】(1)；(2)或 【解析】(1)由已知条件以及，可得. 解得. (2)设向量. ， 解得或 向量的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示（教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 ----------------------【教材习题·精要】------------------- 📝【习题考向】 基底类：平面向量基本定理理解、基底选择 （定理理解，核心考查） 坐标类：向量坐标表示、坐标运算 （代数化运算，高频题型） 共线类：坐标形式下共线条件应用 （共线判定，典型考法） 综合类：基底与坐标的相互转化 （综合应用，提升题型） 📝【解题通法】 选基底：合理选择不共线向量，简化向量表示 化坐标：将向量问题转化为坐标运算 判共线：利用坐标共线条件，快速判定向量关系 📝【提分易错】 易错点：基底不共线条件忽略、坐标运算符号失误、共线条件误用 巧解法：优先坐标化，用代数运算替代几何推理 📝【思维创新】 拓视角：从 “几何依赖” 向 “坐标独立” 转化，建立代数化的向量工具意识 典示例：完成作业时可重点关注第 5 题、第 10 题，尝试用坐标法重构几何问题，体会向量作为代数工具的优势 ---------------------【教材习题·全解】---------------------- 📘【复习巩固】 1.（ 题型：基底表示） 【审题关键】利用和E是CD中点的条件，将、转化为基底，的线性组合. 【题目】如图，在中，，点E是CD的中点.设，，用a，b表示，. 【核心技法】（1）用，表示，再由 求； （2）利用中点性质，代入基底求解. 【易错警示】① 向量减法方向搞反，误将写成；② 中点向量公式记错，导致表达式错误. 2. （题型：平面向量坐标运算：向量加法） 【审题关键】已知三个力的坐标，直接应用向量加法的坐标运算法则，分别对横坐标、纵坐标求和. 【题目】已知作用在坐标原点的三个力分别为，，，求作用在原点的合力的坐标. 【核心技法】向量和的坐标等于各向量对应坐标的和，即 【易错警示】① 混淆坐标运算顺序，将横坐标与纵坐标错误相加；② 符号处理失误，导致坐标和计算错误. 3.（ 题型：由向量及起点坐标求终点坐标） 【审题关键】明确向量坐标与起点、终点坐标的关系，利用坐标等于终点B与起点A的坐标差列等式. 【题目】在下列各小题中，已知向量a的坐标，以及表示a的有向线段的起，点A的坐标，求终点B的坐标. （1），； （2），； （3），. 【核心技法】 设，，则，直接代入计算. 【易错警示】 ① 公式记反，用起点坐标减向量坐标；② 符号运算错误，导致横、纵坐标计算偏差. 4. （题型：平行四边形顶点坐标） 【审题关键】 利用平行四边形对边向量相等，建立坐标关系求未知顶点. 【题目】已知的顶点，，，求顶点D的坐标. 【核心技法】 设，由列方程组求解. 【易错警示】 ① 顶点顺序错误，向量对应关系混乱；② 坐标运算符号出错. 5. （题型：向量数乘与坐标运算） 【审题关键】 利用向量数乘的坐标运算法则，先求出,的坐标，再由向量减法求. 【题目】已知点，，，且，，求点，及向量的坐标. 【核心技法】 数乘向量坐标等于数乘各坐标分量，. 【易错警示】 ① 数乘运算时漏乘某一坐标；② 向量差的坐标顺序颠倒，导致结果符号错误. 6.（题型：由向量数乘求点坐标） 【审题关键】 锁定点 A、B 坐标与向量数乘关系，明确需通过向量运算推导目标点坐标. 【题目】已知点，，且，，，求点C， D，E的坐标. 【核心技法】 先求坐标，再做向量数乘，最后用起点坐标加向量坐标得终点坐标. 【易错警示】 ① 数乘负系数时符号处理错误；② 混淆向量与点坐标的关系，未结合起点坐标计算. 7. （题型：判断三点共线） 【审题关键】 已知三点坐标，判断位置关系，核心是验证是否共线. 【题目】你认为下列各组点具有什么样的位置关系?证明你的猜想. （1），，； （2），，； （3），，. 【核心技法】 计算两点间向量，若两向量成倍数关系，则三点共线. 【易错警示】 ① 向量坐标计算错误；② 忽略 “有公共点” 这一关键条件. 8. （题型：判断三角形形状） 【审题关键】 已知三点坐标，判断三角形形状，核心是利用向量的模长和数量积. 【题目】分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为定点的三角形的形状，然后给出证明： （1），，； （2），，； （3），，. 【核心技法】 计算三边向量的模长和数量积，通过勾股定理或向量垂直条件判断. 【易错警示】 ① 向量坐标计算错误；② 混淆向量模长与线段长度的关系. 9. （题型：由模长与平行关系求向量坐标） 【审题关键】 已知向量模长与平行关系，求向量坐标，核心是利用平行条件与模长公式列方程. 【题目】已知，，且，求a的坐标. 【核心技法】 由设，再代入求解λ. 【易错警示】 ① 忽略平行向量的方向，漏解；② 模长计算时未对λ取绝对值. 10. （题型：求与已知向量垂直的单位向量） 【审题关键】 已知向量，求与它垂直的单位向量，需同时满足垂直条件和模长为 1. 【题目】已知，求与a垂直的单位向量的坐标. 【核心技法】 设所求向量，由和列方程组求解. 【易错警示】 ① 垂直条件转化错误；② 忽略单位向量有两个方向，导致漏解. ♻【综合运用】 11. （题型：平面向量线性运算与位置关系判断） 【审题关键】 利用平行四边形性质和分点比例，将目标向量用基底，表示；再通过数量积判断位置关系. 【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. （1）用a，b表示，. （2）如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 【核心技法】 ① 用向量加法的三角形法则分解，；② 代入，计算数量积. 【易错警示】 ① 分点比例转化错误；② 数量积计算时忽略的项. 12. （题型：由向量参数方程求点坐标） 【审题关键】 已知向量参数方程，代入不同t值求对应点P的坐标. 【题目】已知点，，，.当，，-2，2时，分别求点P的坐标. 【核心技法】 先求坐标，再代入参数t计算，其坐标即为点P的坐标. 【易错警示】 ① 向量坐标计算顺序颠倒；② 代入t值时运算错误. 13. （题型：线段延长线上分点坐标） 【审题关键】 点P在线段AB延长线上，且，需转化为向量关系求解. 【题目】已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标. 【核心技法】 设，由向量坐标运算列方程，解出x,y. 【易错警示】 ① 忽略延长线方向，导致向量比例符号错误；② 混淆与的对应关系. 14. （题型：证明四边形为矩形） 【审题关键】 已知四点坐标，证明四边形为矩形，需先证是平行四边形，再证有一个角为直角. 【题目】求证：以，，，为顶点的四边形是一个矩形. 【核心技法】①计算对边向量，若相等则为平行四边形；② 计算邻边向量的数量积，若为 0 则邻边垂直. 【易错警示】①顶点顺序判断错误，导致对边向量选取错误；② 数量积计算时符号处理失误. 🔍【拓广探索】 15. （题型：斜坐标系下向量运算与坐标合理性判断） 【审题关键】 已知斜坐标系夹角与单位向量，需利用数量积计算模长，并依据平面向量基本定理判断坐标定义的合理性. 【题目】如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.设. （1）计算的大小； （2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理. 【核心技法】（1）用展开计算模长；（2）验证，​是否不共线，以满足基底条件. 【易错警示】 ① 忽略斜坐标系夹角，误用直角坐标系公式；② 未验证基底不共线条件，导致合理性判断失误. 16. （题型：向量法证明柯西不等式） 【审题关键】 将实数对和构造为向量，利用向量数量积的性质 进行证明. 【题目】用向量方法证明：对于任意的a，b，c，，恒有不等式. 【核心技法】 构造向量，，代入数量积不等式展开化简. 【易错警示】 ① 向量构造错误；② 忽略等号成立的条件（向量共线）. ---------------------【素养强化·专练】-------------------- 一、单选题 1.已知点，，且，则( ) A. B. C. D. 2.已知，，，则( ) A. B. C. D. 3.如图，在平行四边形中，M为的中点，与相交于点P.若，则( ) A.1 B. C. D.2 4.已知向量，，.若，，则( ) A.14 B. C.10 D.6 5.如图，在中，BE是AC边上的中线，O是BE边的中点.若，则( ) A. B. C. D. 6.在四边形ABCD中，，，，，E，F分别为边AB，CD的中点，则( ) A. B. C. D. 7.已知在平行四边形ABCD中，，，记，，则( ) A. B. C. D. 8.六芒星由正三角形ABC和正三角形DEF组合而成，且，，，和的中心均为O，BC与EF的交点为G.若，则( ) A. B. C.-5 D.-6 二、多选题 9.已知向量，，则下列选项正确的是( ) A. B. C.已知，若，则 D.a与b夹角的余弦值为 10.如图，在直角梯形中，，，E为AB中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上任意一点，若，则的值可能是( ) A.1 B. C.2 D. 11.已知非零向量a，b的夹角为，现定义一种新运算：.若，，，则( ) A.a在b上的投影向量的模为 B.， C. D. 三、填空题 12.已知非零向量，，且a与b共线，则_____________. 13.若平面向量，，则__________. 14.已知向量.若为直角三角形，且为直角，则实数m的值为__________. 四、解答题 15.已知在中，点D在线段OB上，且，延长BA到C，使. 设. （1）用表示向量； （2）若向量与共线，求k的值. 16.在平面内给定三个向量. （1）求满足的实数m，n的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $