1.3三角函数的计算（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦直角三角形边角关系中三角函数的计算，核心内容包括用计算器求三角函数值、已知值求锐角度数及实际应用。通过登山缆车情境引入，回顾30°等特殊角三角函数值，发现16°等非特殊角计算需求，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以现实问题（缆车、天桥斜道）培养数学眼光，通过计算器操作步骤和推理过程发展运算能力与推理意识，应用实例（公路改直、塔高测量）强化模型意识。采用情境创设、分层练习和方法总结，助力学生提升应用能力，教师可直接用于教学提高效率。

北师大版·九年级下册 1.3 三角函数的计算 第一章 直角三角形的边角关系 学 习 目 标 1.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算；(重点) 2.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点） 知识回顾 30°，45°，60°角的三角函数值： 三 角 函 数 值 角 α 1 情境引入 问题：如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少? 分析：1.缆车垂直上升的距离是线段　　　　的长度．2.本题的已知条件是　 　　　，需要求出的是　　　　．3.这三个量之间的关系是　　 　　． ∠α＝16°，AB＝200 m BC BC的长度 sin α＝ 情境引入 由以上分析可得： 思考：你知道sin 16°是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求三角函数值呢？ 在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200 m， 根据正弦的定义，得sin 16°＝＝， ∴BC＝ABsin 16°＝200sin16°(m). 新知探究 探究一：用计算器求三角函数值 用科学计算器求三角函数值，要用到 和 键. 1.求sin 16°． 第二步：输入角度值16， 屏幕显示结果sin 16°=0.275 637 355 8 第一步：按计算器 键， 2.求cos72°． 第二步：输入角度值72， 屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994. 第一步：按计算器 键， 也有的计算器是先输入角度再按函数名称键. 新知探究 3.求 tan30°36'. 方法一： 方法二： 屏幕显示答案：0.591 398 351； 第一步：按计算器 键， 第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用 键)， 第一步：按计算器 键， 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 屏幕显示答案：0.591 398 351. 对于本节一开始的问题，利用科学计算器可以求得： ∴BC＝200sin16°≈55.12(m). 新知探究 在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算吗?（结果精确到0.01m） E 在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠β=42°，BD＝200 m， 根据正弦的定义，得sinβ=，即sin 42°＝， ∴DE＝BDsin β°＝200sin42°(m). 133.83（m） 议一议 用计算器求出sin42°的值. 新知探究 1.用计算器求sin 62°20′的值，正确的是(　　)A.0.885 7 B.0.885 6C.0.885 2 D.0.885 1 A 新知探究 探究二：利用计算器由三角函数值求角度 在Rt△ABC中，sinA= 那么∠A是多少度呢？ 想一想 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？ 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角． 新知探究 已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作： 还以以利用 键，进一步得到∠A＝30°7'8.97 ". 第一步：按计算器 键， sin 第二步：然后输入函数值0. 501 8 屏幕显示答案： 30.119 158 67° °＇″ SHIFT 操作演示 ∠A=14.03624347° sinA=，你能求出∠A的度数吗？ 新知探究 2.已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5. 解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°； (2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°； (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°. 新知探究 探究三：非特殊角三角函数的应用 如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA＝45°.因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路． (1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? 做一做 新知探究 (1)求改直后的公路AB的长； 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)， ∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)． ∴改直后的公路AB的长约为13.3千米. 新知探究 (2)公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? 【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长． (2)∵AC＝10千米， ∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)． 所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米． 新知探究 cos55°= cos70°= cos74°28 '= tan3°8 ' = tan80°25'43″= sin20°= sin35°= sin15°32 ' = 利用计算器算一算，比一比，你能得出什么结论？ 0.3420 0.3420 0.5736 0.5736 0.2678 0.2678 5.930 0.0547 角度增大 正弦值增大 余弦值减小 正切值增大 拓广探索 新知探究 锐角三角函数的增减性 知识归纳 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。 典例分析 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；　　　(2)sin12°30′； (3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59°. 例1 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 用计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位． 如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)． 例2 典例分析 解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°. ∵∠A＝45°， ∴AF＝DF. 设EF＝x， ∵tan25.6°＝≈0.5， ∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x， 故tan61.4°＝＝1.8，解得x≈31. ∴DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)． ∴塔高DE大约是81米． 典例分析 【方法总结】解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 巩固练习 基础巩固题 1.某同学在距电视塔BC塔底水平距离200米的A处，看塔顶C的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔BC的高约为(保留到个位)(　　) A．68米 B．73米 C．127米 D．188米 2.如果tan α＝0.213，那么锐角α的度数大约为(　　) A．8° B．10° C．12° D．14° C B 巩固练习 基础巩固题 3．我们在利用计算器求sin 30°的值时，依次按键为 ，则计算器上显示的结果是_____. 4．先用计算器探究cos 21°，cos 37°，cos 48°的值，再按由小到大的顺序排列应是_________________________________. 5．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67) 0.5 cos 48°＜cos 37°＜cos 21° 280 巩固练习 基础巩固题 6.用计算器求下列三角函数值(结果精确到0.000 1)． (1)tan 63°27′； 解： tan 63°27′≈2.001 3. (2)cos 18°59′27″； 解：cos 18°59′27″≈0.945 6. (3)sin 67°38′24″. 解：sin 67°38′24″≈0.924 8. 巩固练习 基础巩固题 7.如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.41，≈1.73) 解：在Rt△BCD中，BC＝DC·tan 30°＝15×≈5×1.73＝8.65(m)， 在Rt△ACD中，AC＝DC·tan 37°≈15×0.75＝11.25(m)， ∴AB＝AC－BC≈11.25－8.65＝2.6(m)． 答：广告牌AB的高度为2.6 m． 巩固练习 基础巩固题 8.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米)． 课堂小结 三角函数的计算 已知角度，用计算器求三角函数值 应用 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数 在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。 作业布置 1.必做题：习题1.4第1-5题。 2.探究性作业：习题1.4第6题。 感谢聆听! 解：(1)由题意得∠ACB＝45°，∠A＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝610(米)． (2)DE＝AC＝610，在Rt△BDE中， tan∠BDE＝eq \f(BE,DE)，∴BE＝DE·tan39°. ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116(米)． 答：大楼的高度CD约为116米． $