第五章 一元函数的导数及应用章末综合检测卷-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用章末综合检测卷 1. 已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．-2 C．4 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的定义运算即可. 【详解】由题意得，. 故选：D 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数极值点的辨析、函数最值与极值的关系辨析、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数的零点 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 3. 已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】先求出导函数，再应用赋值法计算求解导数值. 【详解】由，得， 令，则，得. 故选：C. 4. 已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导，，结合基本不等式可得，再由导数的几何意义得到的范围即可． 【详解】解：由，得， ∵，∴，当且仅当，即时等号成立， 则，即，又， ∴的取值范围是． 故选：D． 5. 曲线与曲线的公切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别设两曲线的切点为，，通过求导与点斜式的运用求得两点处的切线方程，从而得解得，再代入导数公式求得斜率即可. 【详解】设曲线的切点为，，所以斜率为， 故切线方程为，即； 曲线的切点为，，所以斜率为， 故切线方程为，即. 则，得，所以， 故两曲线公切线的斜率为. 故选：A. 6. 已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点、根据极值点求参数 【分析】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【详解】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A 7. 过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】设切点为，求出切线方程，代入点，得，将问题转化成函数与函数有两个不同的交点，求导判断函数的单调区间，作出其图象，结合题意即可求得参数的取值范围. 【详解】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下： 由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或. 故选：D. 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】方法1：先对函数求导两次，根据极值点个数和函数的单调性求出结果即可；方法2：先对函数求导 一次，然后将函数有两个极值点转化为在上有两个不相等的根，然后变形化简构造新函数，求导判断单调性，结合图形求出结果即可. 【详解】方法1：函数的定义域为， 求导得，由函数有两个极值点， 得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，， 由，得时；，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当时，， 当时，， 因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 方法2：函数的定义域为， 求导得， 由函数有两个极值点， 得函数在上有两个变号零点， 即在上有两个不相等的根，即有两个不相等的根， 当不是方程的根，所以上述方程等价于有两个不相等的根， 等价于函数的图象与函数有两个不同的交点， 设，定义域为， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ，，而当从大于的方向趋近于时，， 当时，，大致图象如下 数形结合可知，当且仅当时，函数的图象与函数有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 9. （多选）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的运算法则，结合选项依次求导即可. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D正确； 故选：BCD 10. (多选)设函数，则下列结论正确的有（   ） A．的单调递减区间为 B．是的极小值点 C．有3个零点 D．当时，方程恰有三个实数根 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用导数法求出单调性判断A；根据单调性得到极值点判断B；根据函数单调性结合零点存在定理得到有3个零点判断C；当时，结合图像得到方程恰有三个实数根判断D. 【详解】，， 对于选项A，的解为， 则的单调递减区间为，故选项A正确； 对于选项B，由得或， 的解为或， 则的单调递增区间为， 则是的极大值点，故选项B错误； 对于选项C，， 为的一个零点， 时是单调递增函数， 故在范围内，有且仅有一个零点； 的单调递减区间为， 是的极大值点， ， 是的极小值点， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 在范围内，是单调递增函数， ， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 则有3个零点，故选项C正确； 对于选项D，的极小值为 ，极大值为，， 直线与的图像有且只有三个交点， 结合图像可知，当时，方程恰有三个实数根，故选项D正确.    故选：ACD. 11. （多选）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设至少有三个整数解，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】求导可得在上单调递减可判断A；令，求导可证判断B；分离变量得，令，求导计算可判断C；变形可得，令，求导计算可得，进而可判断D. 【详解】函数的定义域为，， 对于A，令，得， 当，，所以在上单调递减， 故时，，即，A错误； 对于B，要证，即， 所以，即， 令，则，令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，所以，即，B正确； 对于C，由，得， 两边除以，得，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当时，；当时，； 当且仅当时，有两个解，当且仅当时，有一个解， 因此方程有两解时，不等式成立，C正确； 对于D，，又， 所以，两边同除以，可得， 令，则，令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，， 又，，， 因此当时，取整数满足， 所以至少有三个整数解，则，D正确. 故选：BCD 12. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得. 【详解】， 令， 时，时， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故答案为：. 13. 已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究方程的根 【分析】求导，判断函数单调性及极值，作出函数图象，将方程变形为，结合函数图象，数形结合可得参数范围. 【详解】因为， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 注意到时，，，时，大致图象如下， 方程分解为， 由于，故知有三个解，故须使有一个不同的实数解， 由图象知.    14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，可得，原不等式可化为，令，要使对所有恒成立，需满足，进而求出的取值范围. 【详解】由不等式可知，令， 对，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，取得极大值也是最大值， 又时，，时，，所以. 又， 所以原不等式可化为， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以要使对任意成立，则在区间内不能取得使的值， 由函数性质可知，当时，会出现负值，故须满足，解得， 又，所以，即实数的取值范围为， 故答案为：. 15. 已知函数，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)设，求过点的切线方程. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）对函数求导由计算可得，代入并利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）设出切点坐标，根据切线过点得出方程解得切点坐标，即可求出切线方程. 【详解】（1）易知的定义域为， 由可得， 又，可得，解得； 因此在点处的切线的斜率为，又此时， 所以切线方程为，即. （2）由（1）可得的定义域为，且，则； 设切点坐标为， 所以切线斜率为，此时切线方程为， 又点在切线上，即， 整理可得，即，解得或（舍）； 当时，切线方程为； 综上可得过点的切线方程为. 16. 已知函数，， (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． 【答案】(1)； (2)分类讨论，答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、简单复合函数的导数 【分析】（1）分别求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直条件列式求解. （2）由（1）中函数的导数，按分类求出导函数值为正为负的解集即可. 【详解】（1）函数，求导得， 函数，求导得，由函数与在处的切线垂直， 得，即，所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 17. 已知函数. (1)若存在极值，求a的取值范围； (2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值求参数 【分析】（1）根据存在极值的充分条件，求导，利用分类讨论，可得答案； （2）利用导数，研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1），， 当，即时，，在上单调递增，没有极值， 当，即时，令，可得，此时函数单调递增， 令，可得，此时函数单调递减， 所以函数在处取得极大值，没有极小值，符合题意， 故a的取值范围为. （2）当时，，， 设， 因为，， 所以在上单调递减， 因为，， 所以在存在唯一零点， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在上存在唯一极值点，且， 由， ， 令，， 由，；，， 则在上单调递增，在单调递减，即， 故，即，故， 故在和上各有一个零点， 所以时，函数有且仅有两个零点． 18. 已知函数 (1)当，求的极值； (2)若，，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求证： 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出导函数，进而判断函数的单调性，根据极值的概念即可求解； （2）先分析得，则有，然后记，求导函数，按照，和分类讨论，研究函数的单调性，即可求解； （3）由题意有两个零点，令，则有两个解，记，利用导数法求得，，转化为证明，令，进而利用导数法判断单调性即可证明. 【详解】（1）当，，， ，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 的极小值为，无极大值； （2）若，，即， ∴（若，取，则，而，不满足）， 由得，即， 记， 则， 当时，单调递增，，， 当时，时，单调递减，则， 矛盾， 当时，，矛盾， 综上所述，的取值范围为； （3）若有两个极值点， 有两个零点， 令，则方程等价于有两个解， 不妨令，， 记，则，令得，令得， 则在单调递减，单调递增，∴， 要证， 由在递增，只要证， 令，则， 则在递减，，，即，，又在递增，， ，即，. 19. 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时. （i）证明：，； （ii）当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）当时求，解不等式，，根据导数与函数的单调性的关系求函数的单调区间； （2）（i）设，利用导数证明函数在内单调递增，结合证明结论； （ii）验证时不等式成立，令，利用导数证明当时，，由此可得此时，当时，设，证明当时，，由此可得，综合考虑可得结论. 【详解】（1）当时，， 令，解得，， 令解得，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， （2）（i）证明：设，， 则， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以在内单调递增，则， 故，； （ii）当时，，， 对任意的，不等式成立， 当时，不等式可化为， 令，则， 令，则， 令，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 因为，，， 所以存在，使得， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 又，， 所以当时，，所以单调递增， 所以当时，，则， 当时，设， 因为当时，，所以， 又因为，所以， 所以在上单调递增， 此时， 故当时，，则. 综上，实数的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及应用章末综合检测卷 1. 已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．-2 C．4 D． 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 3. 已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4. 已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. 曲线与曲线的公切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 6. 已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 7. 过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9. （多选）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 10. (多选)设函数，则下列结论正确的有（   ） A．的单调递减区间为 B．是的极小值点 C．有3个零点 D．当时，方程恰有三个实数根 11. （多选）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设至少有三个整数解，则 12. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 . 13. 已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则的取值范围是 . 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 15. 已知函数，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)设，求过点的切线方程. 16. 已知函数，， (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． 17. 已知函数. (1)若存在极值，求a的取值范围； (2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 18. 已知函数 (1)当，求的极值； (2)若，，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求证： 19. 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时. （i）证明：，； （ii）当时，，求实数的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $