第五章 一元函数的导数及应用章末重点题型训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用章末重点题型 目录 题型1：导数定义的理解及应用 2 题型2：导数的基本运算 2 题型3：求曲线的切线 3 题型4：已知切线（斜率）求参数 4 题型5：曲线的公切线问题 5 题型6：函数与导函数图象之间的关系 5 题型7：用导数求函数的单调性 7 题型8：由函数的单调性求参数 8 题型9：函数的极值与最值的辨析 8 题型10：求函数的极值（点） 10 题型11：根据极值（点）求参数 11 题型12：由导数求函数的最值 12 题型13：已知函数最值求参数 12 题型14：构造法求解函数不等式 13 题型15：利用导数研究恒（能）成立问题 14 题型16：利用导数研究函数的零点 15 题型17：利用导数证明不等式 16 题型18：利用导数解决双变量问题 17 题型1：导数定义的理解及应用 【例1.1.】 若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.2.】 已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【例1.3.】 已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 若函数在处的导数等于，则的值为（    ）. A． B． C． D． 题型2：导数的基本运算 【例2.1.】 下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例2.3.】 已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知函数的导函数为，且满足，则 .（其中是自然对数的底数） 【例2.5.】 已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．0或 【例2.6.】 已知函数，则（   ） A．0 B．12 C．24 D． 【例2.7.】 已知函数，其导函数为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2.8.】 函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（    ） A． B．50 C．49 D． 题型3：求曲线的切线 【例3.1.】 已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【例3.4.】 曲线上的点到直线距离的最小值为 ． 【例3.5.】 若曲线在处的切线斜率为，则 . 题型4：已知切线（斜率）求参数 【例4.1.】 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A． B． C．4 D．3 【例4.2.】 已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【例4.3.】 若函数在处的切线平行于直线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4.4.】 过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【例4.5.】 已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 【例4.7.】 若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是 ． 题型5：曲线的公切线问题 【例5.1.】 已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数 ． 【例5.4.】 已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 (多选)已知直线与曲线和都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C．满足条件的直线有条 D．满足条件的直线只有条 【例5.6.】 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 题型6：函数与导函数图象之间的关系 【例6.1.】 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）      A．   B．   C．   D．   【例6.2.】 已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【例6.3.】 （多选）设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【例6.4.】 已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 题型7：用导数求函数的单调性 【例7.1.】 函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【例7.2.】 函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 【例7.3.】 函数的单调减区间为 ． 【例7.4.】 求函数的单调区间． 【例7.5.】 已知函数．讨论函数的单调性. 【例7.6.】 已知函数．讨论的单调区间. 【例7.7.】 已知函数．若，讨论的单调性； 【例7.8.】 已知函数．讨论的单调性． 题型8：由函数的单调性求参数 【例8.1.】 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8.2.】 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 【例8.3.】 若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8.4.】 已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【例8.5.】 若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例8.6.】 若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 . 【例8.7.】 已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型9：函数的极值与最值的辨析 【例9.1.】 下列结论中，正确的是（   ） A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在处连续且在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 【例9.2.】 下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【例9.3.】 已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【例9.4.】 （多选）下列命题正确的是（   ） A．函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 B．函数的极大值不一定比极小值小 C．对可导函数是点为极值点的充要条件 D．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 【例9.5.】 已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为 ． 【例9.6.】 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 题型10：求函数的极值（点） 【例10.1.】 求下列函数的极值： (1)； (2)． 【例10.2.】 求下列函数的极值点和极值． (1)； (2)； (3)． 【例10.3.】 函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 【例10.4.】 已知函数，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【例10.5.】 已知函数，则在区间上的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【例10.6.】 函数的极小值点为 ． 题型11：根据极值（点）求参数 【例11.1.】 已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【例11.2.】 已知函数有极值，则实数等于（   ） A．1 B．2 C． D．3 【例11.3.】 已知函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例11.4.】 已知函数的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D．1 【例11.5.】 若函数无极值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例11.6.】 在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例11.7.】 设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例11.8.】 已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【例11.9.】 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例11.10.】 函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型12：由导数求函数的最值 【例12.1.】 求下列函数的最值： (1)，； (2)，，为正常数． 【例12.2.】 已知函数，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例12.3.】 若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【例12.4.】 已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 题型13：已知函数最值求参数 【例13.1.】 已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【例13.2.】 已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是 ． 【例13.3.】 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【例13.4.】 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例13.5.】 已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为 ． 题型14：构造法求解函数不等式 【例14.1.】 若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 【例14.2.】 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 ． 【例14.3.】 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例14.4.】 已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【例14.5.】 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型15：利用导数研究恒（能）成立问题 【例15.1.】 已知不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例15.2.】 若时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例15.3.】 若，有成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例15.4.】 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例15.5.】 若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例15.6.】 已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例15.7.】 已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例15.8.】 已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围为 . 题型16：利用导数研究函数的零点 【例16.1.】 已知函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围是 ． 【例16.2.】 函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例16.3.】 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例16.4.】 函数有两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【例16.5.】 已知函数在上存在零点，则的取值范围为 . 【例16.6.】 若函数存在唯一零点，则的取值范围是 . 【例16.7.】 关于的方程的一个正实数解为 ；若该方程只有唯一的正实数解，则的最大整数值是 . 【例16.8.】 若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例16.9.】 关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例16.10.】 函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例16.11.】 判断一元五次方程的实根个数为（   ） A．5 B．1 C．2 D．3 【例16.12.】 若关于的方程恰有四个不同的实根，则（　　） A． B． C． D． 【例16.13.】 已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 题型17：利用导数证明不等式 【例17.1.】 已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 【例17.2.】 已知函数 (1)若，求实数的值； (2)证明： 【例17.3.】 已知，，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求a的取值范围； (3)若，证明：． 【例17.4.】 已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 题型18：利用导数解决双变量问题 【例18.1.】 已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【例18.2.】 已知函数与直线交于，两点． (1)求证：； (2)证明：． 【例18.3.】 已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有3个零点，，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 【例18.4.】 已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，，求的取值范围； (3)若在上有两个不同的极值点，证明：. 【例18.5.】 设函数，其中． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，记为，且，求证：． (3)求证：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及应用章末重点题型 目录 题型1：导数定义的理解及应用 2 题型2：导数的基本运算 3 题型3：求曲线的切线 8 题型4：已知切线（斜率）求参数 10 题型5：曲线的公切线问题 15 题型6：函数与导函数图象之间的关系 20 题型7：用导数求函数的单调性 24 题型8：由函数的单调性求参数 30 题型9：函数的极值与最值的辨析 34 题型10：求函数的极值（点） 38 题型11：根据极值（点）求参数 42 题型12：由导数求函数的最值 48 题型13：已知函数最值求参数 52 题型14：构造法求解函数不等式 57 题型15：利用导数研究恒（能）成立问题 61 题型16：利用导数研究函数的零点 67 题型17：利用导数证明不等式 82 题型18：利用导数解决双变量问题 90 题型1：导数定义的理解及应用 【例1.1.】 若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，， 则. 故选：D 【例1.2.】 已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据题目条件，利用导数的定义即可求解. 【详解】. 故选：D 【例1.3.】 已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 【例1.4.】 若函数在处的导数等于，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】 根据导数的定义式化简求值. 【详解】由已知得 ， 故选：C. 题型2：导数的基本运算 【例2.1.】 下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】利用导数的运算法则及复合函数的导数求解. 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：D 【例2.2.】 求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的乘除法 【分析】（1）结合根式与幂指数式的化简，利用导数运算法则和公式，直接求导； （2）结合对数运算化简，利用导数运算法则和公式，直接求导； （3）利用导数运算法则和公式，直接求导； （4）结合二倍角公式化简，利用导数运算法则和公式，直接求导. 【详解】（1）由， 则. （2）由， 则. （3）由， 则 . （4）由 ， 则. 【例2.3.】 已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的加减法 【分析】求导得出，利用导数的定义可得出的值，即可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，故， 所以， 可得，解得. 故选：A. 【例2.4.】 已知函数的导函数为，且满足，则 .（其中是自然对数的底数） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、导数的加减法、导数的乘除法、求某点处的导数值 【分析】根据导数的运算性质求导，令运算求解即可. 【详解】因为，则， 令，则，解得. 故答案为：. 【例2.5.】 已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．0或 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的乘除法 【分析】求出函数的导数，再列式求解. 【详解】函数，求导得， 则，解得或． 故选：D 【例2.6.】 已知函数，则（   ） A．0 B．12 C．24 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值、导数的运算法则 【分析】将拆分为与其余因子的乘积，利用乘积求导法则，代入时，含的项会消去，只需计算剩余因子在处的取值，即可得到. 【详解】令，其中； 求导：； 代入：可得. 故选：D. 【例2.7.】 已知函数，其导函数为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、指数幂的化简、求值、简单复合函数的导数 【分析】分别计算与的值，代入可得结果. 【详解】， 所以为偶函数，所以， 因为， 所以， 所以． 故选：C. 【例2.8.】 函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（    ） A． B．50 C．49 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求某点处的导数值、导数的乘除法、简单复合函数的导数 【分析】根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解. 【详解】由，， ，， 依此类推，， 所以. 故选：A 题型3：求曲线的切线 【例3.1.】 已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】求导，得到导函数的范围，即切线斜率的范围，从而得到倾斜角的范围. 【详解】由题意得，即， 由倾斜角的范围，解得. 故选：D 【例3.2.】 过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点坐标为，则，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，则， 对函数求导得，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为. 故选：A. 【例3.3.】 已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积. 【详解】函数，求导得，设切点为，则， 依题意，，解得，因此切点，切线斜率， 切线方程为，由得两直线交点，如图：    而切线与轴交于点，则， 所以所求三角形面积为. 故选：A 【例3.4.】 曲线上的点到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】的定义域为， 求导得，令得，即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离， 即为， 故答案为： 【例3.5.】 若曲线在处的切线斜率为，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、基本初等函数的导数公式、裂项相消法求和 【分析】求出函数的导函数，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以，则， 所以 . 故答案为： 题型4：已知切线（斜率）求参数 【例4.1.】 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解． 【详解】，， 当时，， 曲线在点处的切线的斜率等于3， 曲线在点处的切线与直线垂直， 直线的斜率等于， 即，解得，故D正确． 故选：D． 【例4.2.】 已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，根据导数的几何意义列方程，解方程即可. 【详解】由已知， 则， 且，， 由曲线在点处的切线方程为， 则， 解得， 故选：B. 【例4.3.】 若函数在处的切线平行于直线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式 【详解】由函数，得， 因为函数在处的切线平行于直线， 所以且，得. 【例4.4.】 过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 【例4.5.】 已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点 【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案. 【详解】由点不在函数的图象上，得，则， 设过点的直线与的图象相切于点，， 切线方程为，则， 整理得，令，依题意，函数只有一个零点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使仅有一个零点，当且仅当， 解得或，所以实数的取值范围为 故选：C 【例4.6.】 若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】切点为，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图象可求得t的范围. 【详解】由求导，得， 设切点为，则切线方程， 由切线过，得，整理得， 令，依题意方程有两个不同的解， 函数的对称轴为， 且当时，，当时，.作出函数的图象. 由图知，方程有两个不同的解等价于. 即的范围为， 故答案为：. 【例4.7.】 若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】设切点为，进而得，再构造函数，用导数研究函数的图象和性质，将问题转化为直线与的图象的交点个数问题，数形结合求解即可． 【详解】设切点为，因为，所以， 所以，所以切线方程为， 所以， 即． 令， 则． 令，则； 令，则或． 所以函数在和上单调递减，在上单调递增． 因为，且当时，， 且,所以函数的大致图象如图． 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，此时过点可作3条直线与函数的图象相切，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 题型5：曲线的公切线问题 【例5.1.】 已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解. 【详解】作出函数的图象， 求导得：， 由于函数在处的切线为， 而函数在处的切线为， 由于两分段函数在分界点处的切线相同， 所以可取公切线上的点，再作函数的另一条切线即可， 根据选项分析，只有在公切线上， 故选：B 【例5.2.】 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】设曲线上的切点为，曲线上的切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程组，求出、，即可得到切线方程，从而求出的值. 【详解】设曲线上的切点为， 曲线上的切点为， 由可得，则 ，所以切线方程为， 由可得，则， 所以，即，解得， 切线方程为，即，所以. 故选：C 【例5.3.】 已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本初等函数的导数公式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出两曲线在切点处的切线方程，再根据公切线过原点这一条件，联立切线方程求解切点坐标，进而求出实数的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，因为与曲线相切， 所以，消去，得，解得，所以， 设与曲线相切于点，由，得，即，解得， 因为是与曲线的公共点， 所以，消去，得，即，解得． 故答案为： 【例5.4.】 已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 【例5.5.】 (多选)已知直线与曲线和都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C．满足条件的直线有条 D．满足条件的直线只有条 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】利用导数的几何意义写出切线的两种方程，可得出，消去，化简后可判断AB选项；由已知条件得出，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合零点存在定理可判断CD选项. 【详解】由题可知直线与曲线相切于点， 又，所以直线的斜率， 则曲线在点处的切线方程为，即， 直线与曲线相切于点，， 则曲线在点处的切线方程为，即， 因为直线与两条曲线都相切，则， 则，即， 可得，即，故B正确，A错误； 把代入，得， 令，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， 又因为，， 所以，， 由零点存在定理可知，函数在区间、上各存在一个零点， 故函数有且只有两个零点，故满足条件的直线有条，故C正确，D错误． 故选：BC. 【例5.6.】 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以. 故答案为：2 题型6：函数与导函数图象之间的关系 【例6.1.】 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）      A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解. 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. 【例6.2.】 已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据函数单调性和导数正负的关系，可判断，，，再根据在该点处切线倾斜角的大小，可比较，即可得出最终答案. 【详解】由的单调性可知，，而，； 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此，所以； 故选：D． 【例6.3.】 （多选）设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】结合原函数与导函数的关系依次判断即可． 【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误. 故选：ABC. 【例6.4.】 已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】先构造函数，得到单调递增，再分析各选项中与的距离变化情况是否符合的单调即可. 【详解】令，又，则，在定义域上单调递增， 对于A，在时，函数的图像一直在图像的下方，故，又与的距离越来越大，此时单调递减，故A错误， 对于B，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故B正确， 对于C，函数的图像一直在图像的上方且与的距离越来越大，此时单调递增，故C正确， 对于D，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故D正确， 故选：A. 题型7：用导数求函数的单调性 【例7.1.】 函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数定义域并令其导函数大于零，解不等式即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为，, 又，令，解得时， 所以函数的单调递增区间为 故选：C 【例7.2.】 函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可. 【详解】因为函数的导函数为， 令，即得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 【例7.3.】 函数的单调减区间为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出导函数，然后解不等式即可求解单调减区间． 【详解】， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的单调减区间为． 故答案为：． 【例7.4.】 求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先对函数求导，然后分三种情况讨论求解． 【详解】的定义域为．． 当时，，故在上单调递增． 当时，，故在上单调递减． 当时，令，解得． 则当时，时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上知，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递减． 【例7.5.】 已知函数．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求出函数的导数，对m进行分类讨论即可得结果. 【详解】已知，函数定义域为R， 可得， 当时，，所以在R上单调递减； 当时，因为是开口向上的二次函数，且， 若，即时，，所以；所以在R上单调递减； 若，即时，此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，因为是开口向下的二次函数，且， 此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为增函数， 在上为减函数； 综上所述，当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数. 【例7.6.】 已知函数．讨论的单调区间. 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】确定函数定义域，求导，根据导数的符号判断函数单调性，从而确定单调区间. 【详解】由题意得的定义域为，且， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【例7.7.】 已知函数．若，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、导数的运算法则 【分析】求导函数，再因式分解得，得到两根，对两根比较大小分三种情况讨论单调性； 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 【例7.8.】 已知函数．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性． 【详解】， （1）当时，恒成立，令，解得，令，解得， 在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，令，解得，， ① 当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增,在上单调递减． 题型8：由函数的单调性求参数 【例8.1.】 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 【例8.2.】 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由函数的单调区间求参数 【分析】利用导数求的单调区间，由在区间上单调，求的取值范围. 【详解】因为， 所以， 设，则， 所以时，，故在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以时；时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，所以的取值范围是. 故答案为： 【例8.3.】 若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 【例8.4.】 已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 【例8.5.】 若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】先由题意得在上有解，进而得到在上有解，再利用导数工具求出函数的最小值即可得解. 【详解】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【例8.6.】 若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】对函数求导，判断函数的单调性，求出最值，进而求得结果. 【详解】函数，， 依题意，存在，使得，即存在，使得， 显然函数在上单调递减，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【例8.7.】 已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 题型9：函数的极值与最值的辨析 【例9.1.】 下列结论中，正确的是（   ） A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在处连续且在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数极值的辨析 【分析】由函数的极值定义进行判断即可． 【详解】对于A项，如，则，函数在上单调递增，而导数为零的点为0不是函数的极值点，故A项错误， 对于B，C，D，根据极值的概念， 如果函数在处连续，且在点附近的左侧(函数单调递增）；右侧（函数单调递减），那么为极大值． 如果函数在处连续，且在点附近的左侧(函数单调递减）；右侧（函数单调递增），那么为极小值．则C，D错误，B项正确． 故选：B 【例9.2.】 下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 【分析】结合极值，最值的概念判断即可. 【详解】因为函数在上的极值不一定是最值， 最值也不一定是极值；最值可能在端点处取得，此时不一定是极值， 而在上的连续函数一定存在最大值和最小值． 故选：D. 【例9.3.】 已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解. 【详解】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误. 故选：D. 【例9.4.】 （多选）下列命题正确的是（   ） A．函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 B．函数的极大值不一定比极小值小 C．对可导函数是点为极值点的充要条件 D．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析 【分析】根据极值和最值的概念可判断ABD，对于C，举说明即可. 【详解】对于A，函数在某区间上或定义域内的极大值可以有多个，故A错误； 对于B，函数的极大值不一定比极小值小，故B正确； 对于C，对可导函数，是点处为极值点的必要不充分条件， 例如， ，但是不是函数的极值点.，故C错误； 对于D，函数的极值是局部概念，可以有多个极值，函数的最值是全局概念， 函数的最大值和最小值分别最多只有一个，故D正确. 故选：BD 【例9.5.】 已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】利用极值点的定义判断即可. 【详解】若为函数的极大值点，则在左侧附近的导数为正，在右侧附近导数为负， 结合图象可知，函数在上极大值点的个数为. 故答案为：. 【例9.6.】 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、求已知函数的极值点 【分析】根据图象得到的正负，进而求出的正负，得到极值点情况. 【详解】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0 故选：D 题型10：求函数的极值（点） 【例10.1.】 求下列函数的极值： (1)； (2)． 【答案】(1)．没有极大值 (2)极大值，没有极小值 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】（1）（2）先求出函数的定义域，再对函数求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，进而计算即得极值； 【详解】（1）函数的定义域为，求导得． 令，解得．则当x变化时，的变化情况如下表： x 0 1 0 0 + 0 + 无极值 极小值0 无极值 故当时，有极小值，．没有极大值． （2）因函数的定义域为，且， 令，得或，则当x变化时，的变化情况如下表： x 2 + 0 + 0 + y 极大值 无极值 故当时，y有极大值，没有极小值． 【例10.2.】 求下列函数的极值点和极值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)极小值点3，极小值，极大值点，极大值． (2)极小值点1，极小值3，无极大值点，无极大值． (3)极小值点0，极小值，极大值点2，极大值． 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、求已知函数的极值点 【分析】（1）（2）（3）先求函数的定义域，再对函数求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，即可求得函数的极值； 【详解】（1）的定义域为，则， 令，得． 当x变化时，变化情况如下表： x 3 + 0 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 因此当时，有极大值，，当时，有极小值，， 故该函数的极小值点是3，极小值为；极大值点是，极大值为． （2）函数的定义域为， 则，令，得． 当x变化时，的变化情况如下表： x 1 0 + 递减 极小值3 递增 因此当时，有极小值，并且． 故该函数的极小值点是1，极小值为3；无极大值点，无极大值. （3）函数的定义域为R． 则．令，得或． 当x变化时，的变化情况如下表： x 0 2 0 + 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 由上表可以看出，当时，函数有极小值，且． 当时，函数有极大值，且， 故该函数的极小值点是0，极小值为0；极大值点是2，极大值为． 【例10.3.】 函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】对求导，利用导数判定原函数的单调性和极值点. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得，在单调递增； 令，解得，在单调递减； 可知函数的极大值点为. 故选：B 【例10.4.】 已知函数，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、求已知函数的极值点 【分析】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而得出极值点. 【详解】因为，所以． 令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. 【例10.5.】 已知函数，则在区间上的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】利用求导，结合定义域可判断极大值点. 【详解】由， 因为，所以由得，即， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 即在区间上的极大值点为, 故选：B. 【例10.6.】 函数的极小值点为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】先求导，然后由与求得单调区间，再由导数与极值的关系求得极小值点. 【详解】， 令，即，∴； 令，即，∴． ∴的单调增区间为，单调减区间为． 因此时函数取得极小值. 函数的极小值点为. 故答案为： 题型11：根据极值（点）求参数 【例11.1.】 已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】先求出导函数，再根据极值点导函数为0求参数，最后代入检验即可. 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 【例11.2.】 已知函数有极值，则实数等于（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】利用导数研究函数的单调性、极值，结合隐零点消元计算即可. 【详解】易知，显然单调递增， 又有极值，则有正根，不妨设为， 则，解之得. 故选：B 【例11.3.】 已知函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】先由题设得有变号零点，再等价转化为有两个不同的实数根即可求解. 【详解】由题可得有变号零点， 有两个不同的实数根， 所以或. 所以满足题意的a的取值范围是. 故选：C 【例11.4.】 已知函数的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据给定函数及图象，求出解析式，利用导数求出其极值点即可. 【详解】由图象知，是函数的3个零点， 则， 求导得，是函数的两个极值点， 即为函数的两个变号零点， 而， 所以. 故选：B 【例11.5.】 若函数无极值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】由题意将问题转化为恒成立，利用判别式法求解即可. 【详解】的导数为， 因为函数无极值，在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：D 【例11.6.】 在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】根据题意结合导函数和一元二次函数性质得，解该不等式组即可得解. 【详解】由题意可得在上有下穿变号零点，无上穿变号零点， . 故选：A. 【例11.7.】 设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】首先对函数求导，再通过极值点大于零分析的符号求解即可. 【详解】由已知可得， 令，可得， 若，所以不符合题意，舍去； 因此，则，解得. 因为，所以，要让，必须满足， 所以，解得. 故选： 【例11.8.】 已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】通过求导得，设，求得，就参数分类讨论函数的单调性，即得函数的极值情况，从而求得参数的范围. 【详解】由可知函数的定义域为，则， 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则. ① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意； ② 当时，由解得， 因函数既有极大值也有极小值，故，解得. 由可得或；由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：D. 【例11.9.】 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 【例11.10.】 函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【详解】求得，令，求得，得到在上单调递减，由且，得到存在唯一的，使得，得出的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【解答过程】函数，求导可得， 令，可得， 当时，. 当时，可得，在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间且上存在极值， 所以的最大值为. 故选：B. 题型12：由导数求函数的最值 【例12.1.】 求下列函数的最值： (1)，； (2)，，为正常数． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，求出其极值，再与、比较大小，可得出函数在上的最大值和最小值； （2）利用导数分析函数在上的单调性，可得出函数在上最大值和最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 令，得，． 当变化时，、的变化情况如下表： 极大值 极小值 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由表格可以看出，函数的最大值为，最小值为． （2）因为，，为正常数，则对任意的恒成立， 故函数在上为减函数， 故函数在上的最大值为，最小值为. 【例12.2.】 已知函数，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而可求得的最大值. 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：D. 【例12.3.】 若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】求出导函数，利用极值点、极值列方程组求解可得，根据在区间上的单调性列表求值域即可. 【详解】由，所以， 因为函数在处取得极大值3， 所以， 所以，， 令，解得或， 当变化时，在的变化情况如表所示， 0 12 极小值 所以根据上表可知，在上的值域为， 故选：D 【例12.4.】 已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【详解】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时，在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时，)在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 题型13：已知函数最值求参数 【例13.1.】 已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 【例13.2.】 已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数、分段函数的单调性 【分析】由导函数得到分段函数的单调性，结合特殊点函数值，得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，， 令，则恒成立， 故在上单调递增， 注意到，故当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中， 当时，，其在上单调递增，且， 要想无最小值，需满足，即，解得， 故答案为： 【例13.3.】 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数、根据极值求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 【例13.4.】 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 故选：D. 【例13.5.】 已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数、根据极值求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立不等式，求解. 【详解】，令，即， 解得或， 要使函数在上既有最大值，又有最小值， 则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值； 若，此时，则需要，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即， 解得， 所以； 若，此时，则需要，解得； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即，无解； 若，则恒成立，所以函数在上单调递增， 无最大值和最小值， 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 题型14：构造法求解函数不等式 【例14.1.】 若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系 【分析】先构造函数，再由已知结合导函数运算律构造函数的导函数，再根据导函数得出函数单调性列式求解. 【详解】根据可得， 可知当时，，即， 所以可知函数在上是增函数，即， 从而得， 故选：A． 【例14.2.】 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，利用导数及题目信息证明函数在上单调递增，所求不等式可化为，利用单调性解不等式即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 对于不等式， 整理得，即， 根据函数的单调性及其定义域得， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 【例14.3.】 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式. 【详解】设，因为，所以，在上单调递减， ，的解为， 即的解为，即的解为， 解为. 故选：D 【例14.4.】 已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，利用导数，结合题目所给条件可得单调性及其奇偶性，再利用，可得，则可得及时的的取值范围，再分与计算即可得解. 【详解】令，则， 由时，，故， 即在上单调递减，又为偶函数，则， 则也是定义在的偶函数， 由，则， 则当时，，且， 当时，，且， 令，则有或， 对，解得；对，解得， 故的解集为. 故选：A. 【例14.5.】 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】构造函数、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由题意，构造函数，求出函数的导数，结合已知不等式可得在上单调递增，由函数为奇函数，可求得，然后结合函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，构造函数， 则， 因为对任意的，都有，所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为是奇函数， 所以令，得，所以， 所以， 不等式等价于，即， 又在上单调递增，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D. 题型15：利用导数研究恒（能）成立问题 【例15.1.】 已知不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】设，求导得其最大值，从而得到，解出即可. 【详解】令，则，令，则， 因为，，所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为对于恒成立，则有，即，且，解得. 故选：A. 【例15.2.】 若时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题可得，令，由已知可得，设，利用导数可得函数在上s单调递增，且有，从而得，，令，，利用导数求出函数的取值范围，即可得答案. 【详解】，即. 设，则. 由，得. 设，则， 所以在上单调递增， 由知，所以， 即，，，所以. 设，，则， 所以在单调递减，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 【例15.3.】 若，有成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、由函数的单调区间求参数 【分析】先化简已知不等式得出在上单调递减，再应用导函数结合恒成立转化为最值得出参数范围. 【详解】由题得， ∴在上单调递减， 恒成立，即恒成立， 又，所以． 故选：B. 【例15.4.】 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、根据二次函数的最值或值域求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域，根据题意可得两函数值域的关系，可得关于的不等式组，解不等式即可. 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 【例15.5.】 若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 【例15.6.】 已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先明确“任意-存在”型不等式的转化逻辑，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值解决问题. 【详解】，令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为对任意，存在，使， 所以在上有解，整理得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以， 所以. 故选：B 【点睛】 条件描述 等价最值关系 对任意，存在，使 对任意，任意，使 存在，存在，使 存在，任意，使 【例15.7.】 已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求二次函数的值域或最值、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】只需，根据导数求出的最小值，由二次函数单调性求出的最小值，即可求解. 【详解】，，使得成立， 则， 函数， ， 令得，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取极小值，也是最小值， 函数的最小值为， ， 则， 所以. 故选：A. 【例15.8.】 已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】构造函数、利用导数研究能成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】由题意可得，即有解，对式子进行等价变形，运用同构函数转化为，构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，，即 为的增函数，，，即， 由题意，只需， 记，，令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故，所以； 当时，，，符合题意. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 题型16：利用导数研究函数的零点 【例16.1.】 已知函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出的定义域，由函数在定义域内有零点，则有解．构造函数．利用导数法求出单调性，求出函数的最大值．从而得到a的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 因为函数在定义域内有零点，所以有解． 令．所以． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 所以．， 当时，，当时，， 故的值域为，又， 所以．则实数a的取值范围是. 故答案为： 【例16.2.】 函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】根据要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，根据导数极值列不等式组计算即可. 【详解】，则， 当时，则恒 成立，函数单调递增，至多一个零点，不合题意； 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，，当，， 所以，在，上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：C. 【例16.3.】 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究方程的根 【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围. 【详解】由方程变形为， 所以或， 当时，，所以当时，；当时，. 所以函数在上有极大值也是最大值，此时. 画出图像如下：    由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点. 所以，解得. 故选：B 【例16.4.】 函数有两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据题意转化为与直线有两个交点，求导画出大致图象即可判断. 【详解】由题函数定义域为， 函数有两个零点，等价于方程 有两个解， 即 与直线有两个交点. ， 因为，所以， 令， 易知在单调递增， 当时，，当时，， 令，则存在唯一的， 所以，即, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得最小值， ， 代入，， 当时，当时， 所以大致图象如图所示， 所以， 即. 故选：B. 【例16.5.】 已知函数在上存在零点，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数以及零点存在定理，含参讨论单调性即可. 【详解】， 令 ， ， 令， ， 所以 在 上单调递增， 端点值：，， 当 时：由 在 上单调递增，得， 又 ，故 在 上恒成立， 从而 ， 在上单调递增， 又 ，所以 对恒成立， 在上无零点； 当 时：由 在 上单调递增， 得， 又 ，故 恒成立， 从而 对恒成立， 在上单调递减， 又，所以对恒成立， 在上无零点； 当时：由，， 则存在唯一的使，即， 在上，递减，； 在上，递增，； 故在 上单调递减，又因， 可知在上恒为负，故， 要使在上存在零点， 只需：， 解得：， 综上：. 故答案为： 【例16.6.】 若函数存在唯一零点，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】根据函数零点和方程解的关系，判断方程解的个数，进而根据方程解与函数图像交点间的关系，求出存在唯一零点时的情况，根据函数导数的几何意义，求出直线相切时的参数值，求出结果. 【详解】由题意可得， 可知方程存在唯一解，即射线与曲线和共有一个交点. 当时，与交于一点，与无公共点，符合题意； 当时，若与曲线或相切，有唯一公共点， 可知曲线的导函数为， 设切点为，则切线斜率为，切线方程为， 当切线经过原点时，解得，此时斜率为，即； 可知曲线的导函数为 设切点为，则切线斜率为，切线方程为， 当切线经过原点时，解得，此时斜率为，即； 综上，. 【例16.7.】 关于的方程的一个正实数解为 ；若该方程只有唯一的正实数解，则的最大整数值是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数的零点 【分析】将代入方程，可得结论；考虑为正数的情形，当时，由可得，令，其中，则，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理和题意可得出关于的不等式，解出的范围，即可得出实数的最大整数值. 【详解】对于关于的方程， 当时，， 故关于的方程的一个正实数解为； 当时，由可得， 令，其中，则， 要求的最大整数值，先考虑，若时存在最大整数值，则不需考虑的情形， ， 令， 则， 当时，，，则，则， 当时，，，则，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， ①当时，即当时，对任意的恒成立， 当时，， 故函数在上单调递增，此时函数有且只有一个正零点，符合题意； ②当时，即当时，因为，且， 由零点存在定理可知存在， 使得当时，；当时，. 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，又因为， 由零点存在定理可知，存在使得， 此时函数至少有两个正零点，不符合题意. 故当时，函数有且只有一个正零点， 又因为，故的最大整数值为. 故答案为：；. 【例16.8.】 若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】先分离参数，转化为求两函数图像交点的问题，画出在区间的图像即可. 【详解】因为在区间各恰有一个零点，所以在区间各有一个解， 当时，，故可化为， 令，，则问题转化为与在各有一个交点. 设， ， 时，， 故，在单调递增， 又，所以时，，，在单调递增. 时，设， 故在上单调递增， 又，故存在使成立， ，，单调递减；，，单调递增. 又，，所以存在使成立， ，，单调递增；，，单调递减. 又, 所以大致图像如图所示， 故的取值范围为 故选：A. 【例16.9.】 关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围. 【详解】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为. 故选：D. 【例16.10.】 函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【分析】法一：函数图象有公共点得出方程有实根，再应用导函数得出单调性及最小值进而得出参数；法二：先设变量构造新函数，再应用导数得出最小值结合有解求参. 【详解】法一：函数，与图象有公共点，即关于x的方程有实根， 令，则， 令得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以； 为使关于x的方程有实根，只需，所以， 故选:C． 法二：由于，故令，即有解，等价于有解， 令，， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以， 故. 故选：C． 【例16.11.】 判断一元五次方程的实根个数为（   ） A．5 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究方程的根、求函数零点或方程根的个数 【分析】设，求导可得，利用一元二次方程的有关内容可得，进而证明函数的单调性，结合零点的存在性定理即可求解. 【详解】设， 则， 对于一元二次方程，， 所以，所以， 则函数在R上单调递增，且， 有，由零点的存在性定理知， 函数在上存在唯一的零点， 即方程有1个实数根. 故选：B 【例16.12.】 若关于的方程恰有四个不同的实根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究方程的根 【分析】令，可得或，构造函数，则，结合导数可得函数性质，从而得到与的根的关系，即可得间关系，从而可得与间关系；再借助作差法，结合导数计算可得与关系，即可得解. 【详解】由，则或， 则或，令，则， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 又当时，，， 故当或时，仅有一根，当时，有两根， 又，则最多有两根， 由题意可得与共有四个不同根， 故，设两根分别为、，且， 则两根分别为、，则， 则有或， 若，则、、、， 若，则、、、， 故，， 由，则，即有，故D正确，C错误； ，， 则， 令，则， 则当时，，则在上单调递增， 由，则，即， 即，即有，故A、B错误. 故选：D. 【例16.13.】 已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】首先判断是的一个解，当时，将问题转化为有三个不同的解，构造函数，根据导数研究函数的性质，分类讨论求解. 【详解】因为，所以， 所以是的一个解，则存在实数，使得有四个不同的解， 即当时，有三个不同的解. ，令， 当时，，且. 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，且，当时，， 在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图： 由图知： 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，存在实数，使得的图象与直线有三个交点，符合题意. 综上，. 故答案为：. 题型17：利用导数证明不等式 【例17.1.】 已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 【答案】(1)1 (2)最小项为 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求函数的零点、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）对求导，确定单调性即可求解； （2）由通过作差得到，构造函数利用其单调性，确定数列单调性即可求解； （3）令，求导确定单调性，得到，化简计算即可证. 【详解】（1）当时，，定义域为， 在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以有唯一零点1， 即； （2）由的零点为， 得， 两式相减得：， 即， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以由，得到， 所以，所以数列是递增数列， 所以数列中的最小项是； （3）令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即， 因为，所以, 所以， 所以， 所以， 所以. 【例17.2.】 已知函数 (1)若，求实数的值； (2)证明： 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）由题意可得，令，，求导根据导数可得，分，两种情况讨论求解即可； （2）由（1）可得，要证，即证，令，求导，根据导数证明即可. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为． ， 令，则对任意恒成立， 令，则． 令，得；令，得．     ∴函数在上单调递减，在上单调递增． ，即，当且仅当时，等号成立． 当时，，由，得． 当时，，由，得． 当时，不等式恒成立． 综上，实数的值为1； （2）由（1）知，当时，， 即． 要证明， 对两边同乘得 只需证明，即证， 令， 则． 易知当时，单调递增， ， 在上单调递减，． 当时，且，所以， 故对任意，都有， ，故原不等式成立． 【例17.3.】 已知，，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求a的取值范围； (3)若，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对进行求导，再通过导数的几何意义结合点斜式即可求出； （2）通过求的二阶导数判断的一阶导数的符号，进而求出的单调性，再求出的最小值即可求出a的取值范围； （3）通过不等式将原式化为只需证，再通过化简变形得到，对进行求导，最后令，对其进行求导即可证明. 【详解】（1），所以点处的切线斜率为， 又，所以切线方程为， 即． （2）， 因为在上均为增函数， 所以在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以． 若对任意，都有，则， 所以，a的取值范围为． （3）由（2）知，当时，，故， 所以 ， 所以只需证，只需证， 只需证， 只需证， 令， 则只需证． 因为， 所以令， 因为，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，所以在上单调递减， 又，所以， 故当时，． 【例17.4.】 已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、裂项相消法求和 【分析】（1）当时，，对函数求导，利用函数单调性及极值（最值）分析即可； （2）（i）设，对函数求导，对，，三种情况进行讨论得出，然后构造函数利用函数导数证明；（ii）根据（i）的结论分析得出，于是取，则，然后利用余弦的二倍角公式化简，得出相应的不等式，利用不等式性质证明得出即可. 【详解】（1）当时，， 设，则， 所以函数的单调性如下表所示： 0 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，即 （2）（i）设， 则， 情形1：，则，矛盾； 情形2：，则， 取正整数，使得， 则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最小的一个为， 那么对任意，恒有， 理由：假设存在实数使得， 于是在区间内函数存在至少一个零点，这与的定义矛盾， 故对任意，恒有， 故在区间上单调递减，于是，矛盾； 情形3：，则， 取负整数，使得， 则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最大的一个为， 同情况2可知，在区间上单调递增，于是，矛盾； 综上，只可能. 下面证明满足要求， 当时，，满足题目条件. 当时，先证明，． 设，则，故为增函数， 于是当时，， 故，所以，成立， 当时，，故，所以，成立． 当时，，成立. 综上知成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以 由函数在上单调递增， 所以， 当时，成立， 所以当时，， 即， 可见满足要求 （ii）由（i）知，用代替， 得，所以， 于是取， 则 又因为， 所以， 由于， 所以， 在不等式中，令， 可得：即， 所以，， 因此， 所以 ， 至此不等式得证． 题型18：利用导数解决双变量问题 【例18.1.】 已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【答案】(1)单调递减区间为和；单调递增区间为 (2)，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求出导函数，利用导数法求得的单调区间即可． （2）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系． 【详解】（1）的定义域为，，， 令得，令得且， 即在区间和上，单调递减， 在区间上，单调递增， 所以的增区间为，减区间为，． （2），证明如下： 令，则定义域为，， 令，则， 则当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 则，所以在，上单调递增， 因为且，所以或， 所以恒成立，即，所以. 【例18.2.】 已知函数与直线交于，两点． (1)求证：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导函数研究函数的单调性，作出大致图象得出范围，由，，得，再变形利用对数均值不等式可证； （2）构造中间函数，使得时，时，，再由，得到，从而得到进而得证不等式左边；再借助割线及切线，由时，时，利用函数图象交点坐标大小关系可证. 【详解】（1）由题意， ， 令，得， 当，，所以在区间上单调递减； 当，，所以在区间上单调递增； 所以当时，取到极小值． 当时，，；当时，，； 当时，，，当；当. 的大致图象如图所示， 函数的图象与直线交于，两点， 不妨设， 由图可知，，． 由，，可得①，②， ①②得:， 则③， ①②得:④， 根据对数均值不等式：， 可得 由，， 故上式简化为，所以． （2）①构造函数， 则， 则， 设，则，且， 由在恒正，即在内单调递增； 由在恒负，即在上单调递减； 故， 则在单调递减，由于， 故时，，即，； 时，，即，； 由于，， 则，故， 即，即， 又，即，原不等式左边得证； ②构造函数，， 则，令得， 当时，，在内单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，；当时，； 且，当； 故当时，，所以； 且当时，； 再构造函数， 则，令得， 当时，，在内单调递减； 当时，，在上单调递增； 故， 故当时，，所以； 在同一坐标系中分别作出的图象， 设直线与函数图象的交点横坐标分别为， 由，解得；由，解得， 如图可知，，则，故原不等式右边得证； 综上所述，. 【例18.3.】 已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有3个零点，，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)（i） （ii），证明见详解. 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究方程的根、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）通过求导得出切线斜率，找到切点坐标，再利用点斜式得到切线方程. （2）（i）明确函数定义域，分析导数构成，其分子为二次函数，函数有三个零点时，该二次函数有两个不同的正根，进而确定参数的范围. （ii）已知三个零点的大小关系，其中一个零点可直接确定，结合二次函数根的性质及函数单调性，分析零点之和的范围，进而比较所求表达式与二倍参数的大小. 【详解】（1）当时，， 则，即，切线的斜率为， 又，切点为， 故在点处的切线方程为，即. （2）（i）函数，则， ①当时，， 在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉. ②当时，， 在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉. ③当时，令，即，解得或， 令，得；令，得或， 在单调递减，在和单调递增， ，，，又， ，当时，,，在上恰有一个零点， ，当时，,因为一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度,所以，在上恰有一个零点， 又在上只有一个零点，故函数有三个零点， 综上所述，实数的取值范围为. （ii），且， 由以上可知，则， 且，， ，则，， 又，即， 而=， 令，，则， 故在上为增函数，， ，，， 故. 【例18.4.】 已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，，求的取值范围； (3)若在上有两个不同的极值点，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）对函数求导，根据函数单调递增的性质，得到关于的不等式，再结合辅助角公式和函数的有界性，进而求解的取值范围. （2）构造函数，对其求导，根据导数的性质和端点效应分析函数的单调性，从而确定的取值范围。 （3）先求出的导数，根据极值点的性质得到，再利用韦达定理、基本不等式以及正切函数的性质证明结论. 【详解】（1）对进行求导，则 ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 因为恒成立，所以恒成立，化简得， 令 ，得 ，由辅助角公式：， 即，即，则 ，两边平方， 因为恒成立，所以，即， 解得 ，∴ ，即的取值范围是 ． （2）由，代入， 则， 因为，所以，所以不等式两边同时除， 得 ．设， 则问题等价于当时， ， ①先求必要条件： ，由端点效应， ，即 ②再证充分性，即证明：当 时， ． 当时，因为，所以，即， 那么 设 ，则 ， ∴在 上单调递增，∴ ，得证． 故 的取值范围是 ， （3）令，则 ， 则 ， 整理得： ， 由于 ，显然， 由韦达定理：， ， 由基本不等式得 ， 当且仅当，等号成立， ， ，则 ， 即 . 【例18.5.】 设函数，其中． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，记为，且，求证：． (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）方法一：分和两种情况根据导函数得出函数单调性进而得出最值即可求解参数；方法二：先参数分离，再构造函数应用导函数得出函数最大值即可求解参数； （2）根据有两个极值点，将不等式转化为再结合已知构造函数，应用导数得出函数单调性即可证明； （3） 构造函数，根据导函数得出函数单调性结合赋值法及（2）计算证明不等式. 【详解】（1）法一：因为，， 所以，． ①当时，，函数在上单调递增， 且当时，．所以此时不可能恒成立． ②当时，由，得． 且当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减． 从而函数． 要使恒成立，则，解得． 综合上述：a的取值范围为． 法二：由题意对于恒成立，所以 令，，则． 由得,且当时，单调递增， 当时，单调递减． 所以的最大值为． 所以．即a的取值范围为． （2）因为，， 所以．又因为有两个极值点， 所以，且． 欲证，即证． 因为，所以上式等价于证明  ① 由，，得，则  ② 由①、②可知原问题等价于求证， 即证． 令，上式等价于求证． 令， 则， 所以在上单调递增．所以，即． 故原不等式成立，即． （3）， 则，函数在上单调递增， 所以，即有，令，则， 由（2）问证明过程可知，其中． 所以，． 综上所述， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $