5.3分式方程（第三课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学八年级下册

5.3分式方程（第三课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版《数学》八年级下册第五章分式与分式方程第 3 节第三课时，核心内容为运用分式方程解决实际生活中的实际问题，涵盖行程、工程、销售、比例等典型场景；掌握分式方程应用的完整解题步骤，能通过 “审、设、列、解、验、答” 解决实际问题，理解分式方程应用中双重验根的要求，体会分式方程在解决含 “未知量在分母” 实际问题中的价值，完成分式与分式方程知识体系的综合应用。 （二）教学内容解析 本节课是在学生掌握分式方程的概念、解法，理解增根的意义，且能运用整式方程解决实际问题的基础上的学习，是分式方程知识的综合应用与落地，也是初中阶段方程建模能力的进一步提升，其核心思想是数学建模思想，即把实际问题中的数量关系转化为分式方程模型，通过求解分式方程解决实际问题。 分式方程的应用是对分式运算、分式方程解法的综合考查，其关键在于两个核心环节：一是准确分析实际问题中的数量关系和等量关系，设未知数并列出分式方程，这是建模的核心；二是完成双重验根，既要检验解是否为原分式方程的解（分母不为 0），又要检验解是否符合实际问题的意义（如速度、数量、时间为正数），这是分式方程应用区别于整式方程应用的重要特征。 本节课的核心内容包括：1. 梳理分式方程应用的完整解题步骤：审→设→列→解→验→答；2. 能分析行程、工程、销售等典型实际问题的数量关系，找准等量关系并列出分式方程；3. 掌握分式方程应用中的双重验根方法，准确判断解的有效性；4. 能根据分式方程的解写出实际问题的完整答案。本节课以 “实际问题情境→数量关系分析→分式方程建模→求解检验→实际作答” 为研究主线，渗透数学建模思想、化归思想和数形结合思想，让学生体会数学与实际生活的密切联系，提升分析问题、解决问题的综合能力。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 教学重点：分析实际问题中的数量关系和等量关系，列出分式方程；掌握分式方程应用的 “审、设、列、解、验、答” 完整步骤；理解并完成双重验根。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 （1）能梳理并说出分式方程应用的完整解题步骤（审、设、列、解、验、答），理解每一步的核心要求，明确与整式方程应用的区别在于双重验根。 （2）能准确分析行程、工程、销售等典型实际问题的已知量、未知量和数量关系，找准等量关系，合理设未知数（直接设 / 间接设），列出符合题意的分式方程。 （3）能规范完成分式方程的求解，掌握双重验根的方法：先检验解是否为原分式方程的解（分母不为 0），再检验解是否符合实际意义，验根过程书写规范。 （4）能根据检验后的有效解，写出实际问题的完整答案，单位、表述符合实际场景要求。 （5）经历实际问题转化为分式方程模型的过程，培养数学建模能力、分析问题和解决问题的能力，感受分式方程在解决实际问题中的价值，增强数学应用意识和严谨的解题意识。 （二）教学目标解析 （1）学生能结合整式方程应用的解题步骤，自主梳理出分式方程应用的 “审、设、列、解、验、答” 六步流程，能清晰阐述 “验” 环节的双重要求，理解双重验根的必要性：一是满足分式方程的定义要求（分母不为 0），二是满足实际问题的客观规律（如速度不为负数、数量为正整数）。 （2）学生能针对行程问题（路程 = 速度 × 时间）、工程问题（工作总量 = 工作效率 × 工作时间）、销售问题（总价 = 单价 × 数量、利润率 = 利润 / 进价）等典型场景，梳理出 “已知量→未知量→相关量的代数式表示→等量关系” 的分析思路，能根据实际情况选择直接设未知数（求什么设什么）或间接设未知数（设与所求量相关的量），准确列出分式方程。 （3）学生能按照分式方程的解法，规范完成去分母、解整式方程、初步验根（分母不为 0）的过程，再结合实际问题的背景，检验解是否符合实际意义（如时间、速度、单价为正数，数量为正整数等），并规范书写验根过程，不遗漏任一检验环节。 （4）学生能根据检验后的有效解，结合设未知数时的单位和实际问题的提问，准确、完整地写出答案，做到单位统一、表述简洁明了，符合实际问题的作答要求。 （5）学生能在将实际问题转化为分式方程模型的过程中，提升数学建模能力和抽象概括能力；在分析数量关系、找准等量关系的过程中，培养分析问题、解决问题的能力；在双重验根和规范作答的过程中，强化严谨的数学解题意识；在解决实际生活问题的过程中，感受数学的实用性，增强数学应用意识。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 八年级学生已熟练掌握整式方程（一元一次方程）的应用，能通过 “审、设、列、解、答” 解决行程、工程等实际问题，具备基本的数学建模思路和数量关系分析能力；已全面掌握分式方程的解法，能规范解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根的概念，掌握验根的基本方法（检验分母不为 0）；已掌握分式的概念和运算，能准确用含未知数的代数式表示实际问题中的相关量（如速度、效率、单价等）；已掌握行程、工程、销售等实际问题的基本数量关系公式，这是分析实际问题、找准等量关系的基础。 （二）认知发展特点 八年级学生已具备一定的数学建模能力，能将简单的实际问题转化为方程模型，但在分析含 “未知量在分母” 的复杂数量关系时，仍需要教师的引导和梳理；已具备较强的类比迁移能力，能将整式方程应用的解题步骤迁移到分式方程的应用中，容易理解 “审、设、列、解、答” 的基本流程，但对 “双重验根” 的理解和落实需要强化；已具备基本的逻辑分析能力，能判断解是否符合实际意义，但在实际解题中易忽略这一检验环节；学生的解题规范意识正在形成，能完成基本的步骤书写，但在验根过程、作答环节的规范性上仍需提升。 （三）潜在学习困难 数量关系分析困难：在复杂实际问题中，无法清晰梳理已知量、未知量的关系，不能准确用含未知数的代数式表示相关量，导致建模受阻。 等量关系找错：对实际问题中的关键语句（如 “时间相等”“效率是几倍”“总价相同”）理解不清，找不准列方程的核心等量关系，列出错误的分式方程。 验根环节缺失或不完整：仅检验解是否为原分式方程的解，忽略检验解是否符合实际意义，或验根过程无书写，直接得出答案。 设未知数不规范：设未知数时未标注单位，或间接设未知数后，求解完成后未转化为所求量，导致答案错误。 作答不规范：答案未标注单位，或表述不符合实际问题的提问要求，如求速度仅写数字，未写单位 “km/h”。 对复杂场景的建模能力不足：面对含 “多主体、多过程” 的实际问题（如行程问题中的顺流 / 逆流、工程问题中的合作 / 单独做），无法分层分析数量关系，建模难度大。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为： 教学难点：分析复杂实际问题的数量关系，准确找准等量关系并列出分式方程；理解并落实分式方程应用的双重验根；规范完成设未知数和作答环节。 四、教学策略分析 （一）教学方法 采用 “建模引导法 + 范例示范法 + 问题驱动法”为主，结合 “讲练结合法”“分层探究法”“纠错反思法” 开展教学。以数学建模思想为核心引导，将实际问题的分析过程拆解为 “梳理数量关系→找准等量关系→构建分式方程模型”，降低建模难度；通过行程、工程、销售三类典型范例，分层示范分式方程应用的完整解题步骤，重点讲解数量关系分析、等量关系寻找、双重验根的关键环节；通过问题驱动引导学生自主分析实际问题，如 “已知量有哪些？”“要求的量是什么？”“哪些量可以用含未知数的代数式表示？”“等量关系是什么？”，培养分析问题的能力；通过讲练结合，让学生在实操中巩固建模思路和解题步骤；通过典型错题展示，引导学生纠错反思，强化验根意识和解题规范。 （二）学习方法指导 引导学生采用“六步解题法”“数量关系梳理法”“双重验根法”“规范作答法”学习。遵循 “审、设、列、解、验、答” 六步解题法，规范分式方程应用的解题流程；运用 “列表法 / 线段图法” 梳理数量关系，将抽象的数量关系直观化，找准等量关系；掌握 “先验分式方程有效性，再验实际意义” 的双重验根法，确保解的合理性；遵循 “设未知数标单位→解后对应所求量→答句标单位” 的规范作答法，提升解题的规范性。 （三）教学手段 借助多媒体课件、典型实际问题情境图、数量关系梳理表格、分式方程应用解题步骤清单、典型错题对比卡等教具辅助教学。利用课件展示实际问题情境，激发学生的学习兴趣；利用数量关系梳理表格，帮助学生清晰梳理已知量、未知量、相关量的代数式表示，突破数量关系分析的难点；利用解题步骤清单，强化学生的六步解题意识；利用线段图法分析行程问题，将抽象的路程、速度、时间关系直观化；利用错题对比卡，将正确解题过程与错误过程并列展示，让学生清晰识别建模、验根、作答中的错误。 五、教学过程分析 （一）情境引入 核心旧知回顾：以 “提问 + 小练 + 口答” 的形式梳理前置知识，强化基础：① 提问：解分式方程的完整步骤是什么？验根的核心要求是什么？整式方程应用的解题步骤是什么？② 小练：解分式方程，规范书写步骤（答案：x=5），强调验根环节（分母不为 0）。③ 口答：说出下列实际问题的基本数量关系：行程问题？工程问题？销售问题？（答案：路程 = 速度 × 时间；工作总量 = 工作效率 × 工作时间；总价 = 单价 × 数量）。④ 提问：用一元一次方程解决实际问题时，我们需要检验解的合理性吗？分式方程应用中，验根仅检验分母不为 0 即可吗？（引导学生思考：还需检验符合实际意义）。强调：整式方程应用的建模思路可迁移到分式方程应用中，分式方程应用的验根有双重要求，这是核心区别。 实际问题情境引入：呈现典型实际问题，引导学生尝试分析并建模：问题：为响应 “绿色出行”，小明骑自行车从家到图书馆，全程 12km。若小明骑车的速度比平时快 1km/h，那么所用时间比平时少 12 分钟，求小明平时骑车的速度。 揭示课题明确目标：教师总结：“在实际生活中，很多问题的数量关系无法用整式方程表示，需要借助分式方程建模，这就是我们今天要学习的分式方程的应用。解决这类问题的核心是‘建模’和‘双重验根’，我们将掌握完整的解题步骤，解决行程、工程等典型实际问题。” 明确本节课课题 ——《5.3 分式方程（第 3 课时：分式方程的应用）》，提出学习目标：掌握分式方程应用的六步解题步骤，能分析典型实际问题并列出分式方程，完成双重验根并规范作答。 设计意图：通过复习分式方程解法、整式方程应用、数量关系公式，为分式方程应用的学习搭建知识桥梁，实现旧知向新知的自然迁移；通过实际问题情境引入，让学生在解决问题的过程中自然列出分式方程，体会分式方程在解决实际问题中的必要性，激发探究兴趣；通过提问引导学生思考双重验根的要求，为后续核心环节的学习做好铺垫。 （二）主动参与、感悟新知 某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。 你能找出这一情景中的相等关系吗？ (1) 第二年房屋租金=第一年房屋租金+500元 (2) 第二年出租房屋间数=第一年出租房屋间数 (3) 出租房屋的总租金=每间房屋的租金×出租房屋间数 根据这一情景你能提出哪些问题？ (1) 求出租房屋的总间数 (2) 分别求两年每间出租房屋的租金 问题1：求每年出租的房屋总间数； 解:设出租的房屋总间数为x间，依题意，得 解得 x=12 经检验x=12是所列方程的根。 所以出租的房屋总间数为12间。 问题2：分别求这两年每间房屋的租金。 解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为(x+500)元，依题意，得 解得 x=8000 经检验x=8000是所列方程的根 x+500=8500 所以，第一年和第二年每间房屋的租金分别为8000元 和8500元。 列分式方程解应用题的一般步骤 审:清题意，并设未知数； 找:相等关系； 列:出方程； 解:这个分式方程； 验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意）； 写:答案. 例：师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。 分析：问题中有怎样的等量关系?如何分别用代数式表示师傅加工300个这种工艺品、徒弟加工120个这种工艺品所用的时间? 解：设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品(x+10)个，根据题意，得 解这个方程，得x=40 经检验x=40是原方程的解，且符合题意。 x+10=40+10=50 答：师傅每天加工50个这种工艺品，徒弟每天加工40个这种工艺品. （三）课堂总结 （1）知识梳理，体系构建：师生共同以思维导图的形式梳理本节课的核心知识，构建分式方程应用的完整知识体系，整合分式与分式方程的全章知识： 分式方程的应用→核心思想（数学建模思想）→解题步骤（审→设→列→解→验→答）→建模方法（列表法 / 线段图法）→核心环节（找准等量关系、双重验根）→验根要求（① 分母≠0，② 符合实际意义）→解题规范（单位统一、步骤完整、验根书写）→典型场景（行程、工程、销售）→全章知识整合（分式概念→分式运算→分式方程定义→分式方程解法→分式方程应用）。 （2）方法总结，能力提升：总结本节课的核心解题方法和技巧，形成能力体系： ① 六步解题法：审清题意、设元标单位、列方程、解分式方程、双重验根、答句标单位，规范解题全程； ② 建模技巧：用列表法 / 线段图法梳理数量关系，从关键语句中找准等量关系，这是列方程的核心； ③ 验根方法：先验分式方程有效性，再验实际意义，双重验根缺一不可，验根过程必须书写； ④ 规范技巧：设、答必标单位，方程无单位，代数式表示符合数量关系公式。 （3）思想提炼，素养深化：提炼本节课渗透的核心数学思想，让学生体会数学思想的价值： ① 数学建模思想：将实际问题转化为分式方程模型，体现数学与实际生活的密切联系，提升数学应用意识； ② 化归思想：将分式方程应用的问题化归为分式方程的解法问题，将复杂的实际问题化归为简单的数量关系分析问题，化繁为简； ③ 数形结合思想：用列表法、线段图法将抽象的数量关系直观化，体现数与形的结合，降低建模难度； ④ 严谨推理思想：双重验根的要求，体现数学推理的严谨性，让学生明白数学解题必须遵循 “定义要求” 和 “客观规律”。 （4）易错点回顾，规避误区：强调本节课的核心解题易错点，让学生重点关注并在后续解题中规避： ① 数量关系分析错误，代数式表示违背基本公式； ② 等量关系找错，列错方程，这是最核心的错误； ③ 验根环节缺失或不完整，未书面书写验根过程； ④ 设、答环节未标注单位，或单位不统一； ⑤ 间接设未知数后，未将解转化为所求量，作答错误。 （5）全章整合，知识升华：教师总结：“本节课我们完成了分式与分式方程全章知识的综合应用，从分式的概念、运算，到分式方程的定义、解法，再到分式方程的应用，形成了完整的知识体系。分式方程的应用是全章的重点，也是初中阶段方程建模能力的重要体现，其核心是‘建模’和‘严谨解题’。通过本节课的学习，大家不仅掌握了分式方程应用的方法，更提升了分析问题、解决问题的能力和数学应用意识，这将为后续学习一元二次方程的应用奠定坚实的基础。” 设计意图：思维导图的知识梳理，将分式方程应用的知识与全章知识整合，形成完整的分式与分式方程知识体系，避免知识碎片化；方法总结让学生提炼核心解题技巧，提升建模能力和解题规范；数学思想的提炼，深化学生的数学核心素养，让学生体会数学思想在解决实际问题中的指导作用；易错点回顾让学生明确本节课的常见错误，规避后续解题误区；全章知识的整合，让学生形成系统的知识认知，提升对分式与分式方程的整体理解，实现知识的升华。 （四）布置作业、巩固提高 1．某校八年级学生为探索千年陶瓷文明，计划前往距学校的丰城洪州窑研学基地开展非遗体验活动．一部分学生提前骑自行车出发，45分钟后，其余学生乘汽车沿同一路线前往，最终两队同时抵达基地．已知汽车的行驶速度是自行车的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用． 根据题意可得自行车和汽车的行驶时间，以行驶时间建立等量关系，列方程即可． 【详解】解：45分钟， ∵自行车的速度为， ∴汽车的速度为， ∴自行车行驶时间为，汽车行驶时间为， ∴． 故选：C． 2．一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．需先根据顺流、逆流速度的计算公式求出轮船的顺流和逆流速度，再结合“顺流航行与逆流航行所用时间相等”的等量关系建立方程． 【详解】解：∵顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度， ∴轮船顺流速度为，逆流速度为， ∵顺流航行的时间为，逆流航行的时间为，且二者时间相等， ∴可列方程． 故选：A． 3．过年回家对中国人而言，是刻在骨子里的文化执念与情感刚需，核心意义在于阖家团圆与辞旧迎新的仪式感．放寒假后，小陈爸爸驾驶汽车开往距离出发地的爷爷家，出发后的前按原计划的速度匀速行驶，后按原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达爷爷家．若设前的行驶速度为，则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程在行程问题中的应用，解题的关键是找出等量关系，列出方程．根据“实际比原计划提前到达”的条件，分析原计划与实际行驶剩余路程的时间关系来列方程． 【详解】解：∵设前的行驶速度为， ∴原计划中行驶后剩余路程的时间为， 又∵后速度变为， ∴实际行驶剩余路程的时间为， ∵实际比原计划提前到达，该提前时间为剩余路段原计划时间与实际时间的差值， ∴ 故选：A． 4．随着羽毛球成为当下全民健身的新风尚，甲、乙两名同学约定周末到某体育公园打羽毛球．甲选择步行前往，他家到体育公园的距离为1100米；乙选择骑自行车前往，他家到体育公园的距离为2100米，乙骑自行车的速度是甲步行速度的3倍．若两人同时到达体育公园，则甲需比乙提前8分钟出发，求甲步行的速度和乙骑自行车的速度． 【答案】甲步行的速度为50米/分钟，乙骑自行车的速度为150米/分钟 【分析】本题主要考查了分式方程在行程问题中的应用，熟练掌握根据时间差建立方程并检验解的合理性是解题的关键．设甲步行的速度为米/分钟，则乙骑自行车的速度为米/分钟．根据甲比乙提前8分钟出发且同时到达的时间差，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设甲步行的速度为米/分钟，则乙骑自行车的速度为米/分钟． ， ， ， ， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：甲步行的速度为米/分钟，乙骑自行车的速度为米/分钟． 5．八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米，根据时间差建立方程求解． 【详解】解：设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米， 由题意得，， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， 答：大巴的平均速度是． 6．某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线A的全程是，但交通比较拥堵；路线B比路线A的全程多，但平均速度比走路线A能提高，走路线B能比走路线A少用．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少． 【答案】走路线的平均速度是，走路线的平均速度是 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设走路线A的平均速度是x千米/小时，则走路线B的平均速度是千米/小时，利用时间路程速度，结合走路线B能比走路线A少用分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即走路线A的平均速度），再将其代入中，即可求出走路线B的平均速度． 【详解】解：设走路线A的平均速度是，则走路线B的平均速度是． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：走路线的平均速度是，走路线的平均速度是． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $