第五章分式与分式方程单元提升测试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第五章分式与分式方程单元提升测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．在式子中，分式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的式子，且π是常数不是字母． ∴、、的分母中不含字母，属于整式． 、、的分母中含有字母，属于分式． ∴分式的个数是3个， 故选：B． 2．下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 3．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除运算，通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边结果比较，只有D选项正确利用了相反数的性质进行简化，即可求解． 【详解】解：A：∵ ，∴ A错误； B：∵ ，∴ B错误； C：∵ ，∴ C错误； D：∵ ，∴ ，与右边相等，∴ D正确． 故选：D． 5．下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 6．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，需要通分和化简，选项A在计算过程中符号处理错误，导致等式不成立；选项B、C、D通过通分和化简后等式均成立． 【详解】解：A、∵ ，， ∴， 通分得 ， 又 ∵， ∴ ，但右边为，故等式不成立； B、∵ ，， ∴ 左边，与右边相等，故正确； C、∵ 分母相同， ∴，与右边相等，故正确； D、通分后公分母为， ∴，，， 左边 = ，与右边相等，故正确； 故选：A． 7．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 8．方程有解，则m应满足（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据原方程有解可得不能是原方程的增根，结合分式方程有增根的条件是分母为0求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程有解， ∴原方程不能有增根， ∴且， ∴且， ∴且， 故选：D． 9．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的积是（） x的取值 4 a 12 分式的值 无意义 0 b A． B．6 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等，利用分式无意义时分母为零求出，分式值为零时分子为零求出，再根据分式值求和，最后计算． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴，即， ∴． ∵当时，分式值为， ∴，即． ∴分式为． ∵当时，分式值为， ∴． 交叉相乘得，即， ∴． ∵当时，分式值为， ∴． ∴． 故选：C． 10．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分类讨论思想是解题的关键； 根据的符号分类讨论的值，列出方程，然后解方程即可，注意分母不为零的条件且． 【详解】解：∵且， 当时，， ∴ ， 两边乘以，得， 解得， 检验且，符合题意； 当时，， ∴， 两边乘以，得， 解得， 但与矛盾，故无解； 综上可知，方程的解为， 故选：A． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．填空： （1）分式，的最简公分母是 ； （2）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母，根据确定最简公分母的方法：①确定系数：确定各分母中系数的最小公倍数；②确定因式：分母中所有因式的最高次幂的积． （1）根据确定最简公分母的方法求解即可； （2）根据确定最简公分母的方法求解即可． 【详解】解：（1）分式，的最简公分母是； 故答案为： （2）分式，，的最简公分母是， 故答案为： 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先通分再化简即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，最后结果能约分的要约分． 13．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，正确计算是解题的关键． 将分子因式分解为完全平方式，分母提取公因式，然后约分简化表达式，最后将，代入求值即可． 【详解】解：原式 当 ，时， 原式， 故答案为：． 14．若分式值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 15．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键．设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高，结果提前了8天完成任务，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为米，原计划完成任务所需时间为天，实际所需时间为天，根据题意，得 ， 故答案为：． 16．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】1或或 【分析】分式方程无解的情况包括整式方程的解为增根，即使最简公分母为零．因此，先将分式方程化为整式方程，再令增根代入求解． 【详解】解：原方程化为： ， ：两边同乘最简公分母 ，得 ， 整理得 ：，即 ， 解得：． 方程无解时，整式方程的解为增根，即 或 ． 当 时，代入得 ，解得 ， 或 ； 当 时，代入得 ，解得 ，． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解决本题的关键是理解分式方程无解的含义． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 【详解】解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 19．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算、因式分解（平方差公式、完全平方公式、提取公因式），熟练掌握分式乘除的运算法则及因式分解的方法是解题的关键． （1）分式乘法，分子乘分子、分母乘分母后约分； （2）分式乘法，先约分再计算； （3）分式除法转乘法，因式分解后约分； （4）提取分子公因式，除法转乘法后约分； （5）先因式分解，再分式乘法约分； （6）先因式分解，除法转乘法后约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再把除法变成乘法，最后计算分式乘法即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案； （3）先把对应分式的分子和分母分解因式，再约分，最后计算分式减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 21．观察下列等式： ；① ；② ；③ … (1)请写出第四个等式：_____________； (2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】此题考查数字的变化规律，根据数字的特点，得出分式运算的规律；利用规律解决问题是解题的关键． （1）根据规律，进行解答便可； （2）把得出的规律用字母n表示出来，并运用分式的运算法则进行验证． 【详解】（1）解∶ ． 故答案为∶ ； （2）解：第个等式是． 左边右边， 等式成立． 22．综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 【答案】(1)， (2)方式二更省时 【分析】（）根据题意列式计算即可求解； （）利用作差法解答即可求解； 本题考查了分式的应用，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，完成这张祝福贺卡，方式一需要小时，方式二需要小时， 故答案为：，； （2）解：， ∵，，，， ∴，， ∴， 即， ∴方式二更省时． 23．按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)且 (2)且 (3)的值为或或 (4)或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【详解】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 24．学校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线l处开始运球，到达折返线m后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 小广在活动一中速度是活动二中速度的1.4倍，设小广在活动二中的速度为x米/秒． (1)若小广在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求小广在活动一中的速度； (2)活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． 若这条路线的总路程为36米，小广和小雅依次完成活动三后，小广说：“咱俩共用时42秒”，小雅说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”，求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】(1)4米/秒 (2)小广同学跑了15秒，小雅同学跑了27秒 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，读懂题意，准确列出分式方程是解决问题的关键． （1）根据“进行两项活动共用时28秒”列出分式方程，求解即可； （2）设小广跑了秒，则小雅跑了秒，则小雅的速度为米/秒，根据小雅的速度乘时间等于这条路线的总路程列出分式方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ， 答：小广在活动一中的速度4米/秒； （2）解：设小广跑了秒，则小雅跑了秒，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ， 答：小广同学跑了15秒，小雅同学跑了27秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章分式与分式方程单元提升测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．在式子中，分式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 6．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 7．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 8．方程有解，则m应满足（   ） A． B． C．或 D．且 9．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的积是（） x的取值 4 a 12 分式的值 无意义 0 b A． B．6 C．5 D．2 10．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．填空： （1）分式，的最简公分母是 ； （2）分式，，的最简公分母是 ． 12．计算的结果是 ． 13．若，，则的值为 ． 14．若分式值为负数，则的取值范围是 ． 15．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为 ． 16．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 18．判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 19．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．计算： (1)； (2)； (3)． 21．观察下列等式： ；① ；② ；③ … (1)请写出第四个等式：_____________； (2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 22．综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 23．按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 24．学校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线l处开始运球，到达折返线m后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 小广在活动一中速度是活动二中速度的1.4倍，设小广在活动二中的速度为x米/秒． (1)若小广在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求小广在活动一中的速度； (2)活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． 若这条路线的总路程为36米，小广和小雅依次完成活动三后，小广说：“咱俩共用时42秒”，小雅说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”，求这两名同学各跑了多少秒？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $