中考一轮复习11勾股定理与锐角三角函数易错点梳理及题型突破2025-2026学年人教版数学九年级下册（十二题型）

中考一轮复习11勾股定理与锐角三角函数易错点梳理及题型 突破2025-2026学年人教版九年级下册（十二题型） 易错点梳理 易错点01 利用勾股定理解题漏解 在题目中没有明确哪个角为直角时，常需要分类讨论，不可漏解。 易错点02 利用勾股定理弄错第三边 在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实第三边可能是斜边，也可能是直角边。 易错点03 不能正确理解坡度的概念 坡度是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值，而并非度数。 易错点04 误解仰角与俯角的概念 仰角和俯角是指视线与水平线的夹角，而非视线与铅垂线的夹角。 易错点05 忽略解直角三角形的前提条件 只有在直角三角形中才能解直角三角形，没有直角三角形时需要通过作辅助线构造直角三角形求解。 题型突破 题型一：判断三边是否构成直角三角形 1.在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 2.满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 3.下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 4.下列线段不能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5.三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 题型二：勾股数问题 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 2.下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 3.在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．0.6，0.8，1 4.下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 5.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．，， D．3，4，5 题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积 1.如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．64 B．136 C．72 D．16 3.如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 4.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为 ． 5.如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 题型四：勾股定理与无理数 1.如图，的直角边AC在数轴上，，点A表示的实数为－2，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交数轴的正半轴于点D．若，，则点D表示的实数为（    ） A．0.2 B． C． D． 2．如图，已知，数轴上点A 所表示的数为a，则 ． 3．如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以O为圆心，以为半径画圆，交数轴于点C，则长为 ． 4．如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为 ．    题型五：勾股定理和网格问题 1.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 3.如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 4.如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为 ． 题型六：勾股定理的应用 1.“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠A＝150°，AB＝30m，AC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（　　）元． A．36000 B．24000 C．18000 D．12000 2.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何?”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是（    ） A．尺 B．尺 C．5尺 D．4尺 3.一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙角4m，若梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端将滑动（    ） A．0m B．1m C． D． 4.如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 5.如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（　　） A．6cm B．5cm C．9cm D．（25﹣2）cm 6.如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 米． 7.某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．    8.如图，铁路和公路在点O处相交，公路上距离O点的点A到的直线距离为．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ． 9.如图，长方体的长为，宽为，高为．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 题型七：锐角三角函数的求值 1.如图，在中，，，则（    ）    A． B． C． D． 2.在中，，那么的值是（　　） A．2 B． C． D． 3.如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为(　　) A． B． C．2 D．2 4.已知在中，，若，则的值为 ． 题型八：锐角三角函数的边长 1.在中，，，，则（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 2.如图，在直角坐标平面内，点与原点的距离，线段与轴正半轴的夹角为，且，则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 3.在中，若，，，则 ． 4.如图，在中，，，，则 ． 题型九：特殊角的三角函数值 1.若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 2.在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3.，则 ． 4.计算：． 题型十：解直角三角形 1.如图，在中，，，． (1)求； (2)求． 2.如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使． （1）若，求的周长； （2）若，求的值． 题型十一：解非直角三角形 1.如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 2.如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 十二：三角函数的应用 1.爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（    ）    A．58J B．159J C．1025J D．1732J 2.无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 3.如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．    4.某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． 请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，） 5.小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径约为，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端 A处，测得仰角为 ，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为．若小智的目高为，求篮球筐距地面的高度．(结果精确到，参考数据：, , ,) 【答案】 中考一轮复习11勾股定理与锐角三角函数易错点梳理及题型 突破2025-2026学年人教版九年级下册（十二题型） 易错点梳理 易错点01 利用勾股定理解题漏解 在题目中没有明确哪个角为直角时，常需要分类讨论，不可漏解。 易错点02 利用勾股定理弄错第三边 在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实第三边可能是斜边，也可能是直角边。 易错点03 不能正确理解坡度的概念 坡度是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值，而并非度数。 易错点04 误解仰角与俯角的概念 仰角和俯角是指视线与水平线的夹角，而非视线与铅垂线的夹角。 易错点05 忽略解直角三角形的前提条件 只有在直角三角形中才能解直角三角形，没有直角三角形时需要通过作辅助线构造直角三角形求解。 题型突破 题型一：判断三边是否构成直角三角形 1.在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 2.满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 3.下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】D 4.下列线段不能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 5.三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 题型二：勾股数问题 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 【答案】B 2.下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 【答案】A 3.在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．0.6，0.8，1 【答案】A 4.下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 【答案】B 5.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．，， D．3，4，5 【答案】D 题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积 1.如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．64 B．136 C．72 D．16 【答案】C 3.如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 【答案】48 4.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为 ． 【答案】12 5.如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π） 【答案】 题型四：勾股定理与无理数 1.如图，的直角边AC在数轴上，，点A表示的实数为－2，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交数轴的正半轴于点D．若，，则点D表示的实数为（    ） A．0.2 B． C． D． 【答案】C 2．如图，已知，数轴上点A 所表示的数为a，则 ． 【答案】 3．如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以O为圆心，以为半径画圆，交数轴于点C，则长为 ． 【答案】 4．如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为 ．    【答案】/ 题型五：勾股定理和网格问题 1.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 【答案】D 3.如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 4.如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为 ． 【答案】/ 题型六：勾股定理的应用 1.“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠A＝150°，AB＝30m，AC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（　　）元． A．36000 B．24000 C．18000 D．12000 【答案】C． 2.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何?”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是（    ） A．尺 B．尺 C．5尺 D．4尺 【答案】A 3.一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙角4m，若梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端将滑动（    ） A．0m B．1m C． D． 【答案】D 4.如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 【答案】D 5.如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（　　） A．6cm B．5cm C．9cm D．（25﹣2）cm 【答案】B． 6.如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 米． 【答案】8 7.某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．    【答案】1020 8.如图，铁路和公路在点O处相交，公路上距离O点的点A到的直线距离为．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ． 【答案】16 9.如图，长方体的长为，宽为，高为．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 题型七：锐角三角函数的求值 1.如图，在中，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 2.在中，，那么的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 3.如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为(　　) A． B． C．2 D．2 【答案】A 4.已知在中，，若，则的值为 ． 【答案】 题型八：锐角三角函数的边长 1.在中，，，，则（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 2.如图，在直角坐标平面内，点与原点的距离，线段与轴正半轴的夹角为，且，则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 3.在中，若，，，则 ． 【答案】1或13 4.如图，在中，，，，则 ． 【答案】10 题型九：特殊角的三角函数值 1.若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 【答案】A 2.在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 3.，则 ． 【答案】30 4.计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 题型十：解直角三角形 1.如图，在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 2.如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使． （1）若，求的周长； （2）若，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F， ∵为垂直平分线， ∴， ∵， ∴． (2)设，∴， 又∵，∴， 在中，． ∴． 题型十一：解非直角三角形 1.如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1)(2)的面积为 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 2.如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）解：，， ， ， ，， ， ， 的面积=． 十二：三角函数的应用 1.爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（    ）    A．58J B．159J C．1025J D．1732J 【答案】B 2.无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 3.如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．    【答案】 4.某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． 请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】塔的高度为52米 【详解】（方案一）解：如图， 由题意可知，， ， ， ， 即， 解得， 答：塔的高度为52米； （方案二）解：如图， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 即． 米 答：塔的高度为52.5米． 5.小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径约为，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端 A处，测得仰角为 ，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为．若小智的目高为，求篮球筐距地面的高度．(结果精确到，参考数据：, , ,) 【答案】篮球筐距地面的高度约为 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点G，过点O作于点E，延长交 于点 F． 由题意得，，． 设，则． 在中，，， 解得， ∴． 在中，，， ∴, 解得， ∴， ∴． 答：篮球筐距地面的高度约为． 学科网（北京）股份有限公司 $