精品解析：湖南株洲市攸县健坤高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

株洲市健坤高中高二上学期第一次月考 数学 总分150分 时间120分钟 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．） 1. 以下有关命题的说法错误的是（ ） A. 命题“若，则”的逆否命题为“若x ≠ 1，则” B. 若pq为假命题，则p，q均为假命题 C. “”是“”的充要条件 D. 命题p：为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】先逐一分析各选项，A依据逆否命题定义判断，B根据“且”命题真假规则判断，C利用不等式性质验证充要性，D结合指数函数值域判断命题真假，最终确定错误选项. 【详解】对于A：原命题若则，逆否命题为若则，故A选项正确； 对于B：若pq为假命题，则包含三种情况：真假，假真，假假，故B选项错误； 对于C：根据不等式性质，可得C选项正确； 对于D：： ，根据指数函数图象性质可得该命题为真命题， 则命题为假命题，故D选项正确. 故选：B. 2. “”是“”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：时，成立，故是充分的，又当时，即，，故是必要的的，因此是充要条件．故选A． 考点：充分必要条件． 3. 已知命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析可得命题为真命题，命题为真命题，再由逻辑联结词“且”可得，两个命题同为真时，复合命题才能为真. 【详解】由题可知若，解得，即当时，，， 故命题为真命题，为假命题； 对于，，故，， 故命题为真命题，为假命题； 再根据逻辑联结词且联结的两个命题同真为真，有假则假，故为真命题. 故选：A. 4. 已知，则动点P的轨迹是（ ） A. 双曲线 B. 双曲线左边一支 C. 一条射线 D. 双曲线右边一支 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义直接得到结果. 【详解】且 动点的轨迹为双曲线的右边一支 故选： 【点睛】本题考查双曲线定义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误. 5. 焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆长轴长、短轴长的定义，结合椭圆焦点的位置进行求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，中心在原点， 所以设该椭圆的标准方程为， 因为该椭圆长轴长为10，短轴长为8， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：D 6. 曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求曲线在处的切线斜率，然后利用点斜式即可写出切线方程. 【详解】，，可得函数在处的导数是3， 即在处的切线斜率为3， 所以切线方程是：． 故选：D 7. 设双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据题意可求得a和b的关系式，进而利用c=求得c和b的关系，最后求得a和c的关系即双曲线的离心率． 解答：解：依题意可知=，求得a=2b ∴c==b ∴e== 故选C． 8. 双曲线的实轴长是( ) A. 2 B. C. 4 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：双曲线方程变形为，所以，实轴长为 考点：双曲线方程及性质 9. 若，且函数在处有极值，则等于 A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】，由题意，所以，故选C． 点睛：当在连续，如果在左侧有，右侧，则是的极大值点，若存在，则，类似有极小点定义，因此在中学里我们求极值点一般是解方程，但并不能保证是极值点，还需要在的两侧导数值异号，这在已知极值点求参数值时要特别注意，具体地求出参数值后要代入检验，否则可能出错． 10. 定义在上的可导函数满足：且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设，则，所以在上单调递减，又因为，所以不等式，根据在上单调递减，可知，故选B. 考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的单调性在求解不等式中的应用. 11. 下面四个图象中，至少有一个是函数（其中）的导函数的图象，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据二次函数性质确定可能图象，根据图象性质分类计算即可求解. 【详解】由题意可得， 因为是关于的一元二次函数，开口向上， 由题意可知，图①或图③可以是导函数的图象， 若为图①，由图可知图象关于轴对称，则，解得， 所以，则； 若为图③，由图象可知，解得， 所以，则； 综上：则等于或. 故选：D 12. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（ ） A. B. C. D. 与2的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果. 【详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点， 设圆C与直线的延长线、分别相切于点、， 则由切线的性质可知：，，， 所以， 所以， 所以. 故选A 【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型. 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 14. 函数的单调递增区间为______． 【答案】和 【解析】 【分析】先求函数的导数，再令，解集即为单调增区间. 【详解】由题知，令，即， 解得或， 所以单调递增区间为或 故答案为：和. 15. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则_____________． 【答案】3； 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，由抛物线的定义和三角形相似、可知，，进而可求得结果. 【详解】如图所示： 过点作交于点，利用抛物线定义得到. 设准线交x轴于点，因为， 所以，又焦点到准线的距离为4，所以， 所以. 故答案为：3 16. 已知在处取最大值，以下结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的序号为______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的单调性可得零点为，从而逐项判断. 【详解】函数的定义域为，求导得：， 令，显然在上单调递增， 又， 则函数有唯一零点，有， 当时，，有 ，当时，，有， 函数在上递增，在上递减，函数在处取得最大值， 因此，且， ，②正确，①③不正确； 显然，即，④正确，⑤不正确， 所以正确的序号是②④. 故答案为：②④ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知命题，或，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】将命题、对应集合、，则是的真子集，由集合关系列不等式求解的取值范围. 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 由题知若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即，又， 故的取值范围为. 18. 已知中心在坐标原点O的椭圆D经过点． （1）求椭圆D的方程； （2）已知圆M：，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质得，从而可得方程； （2）利用椭圆和双曲线的几何性质，得到双曲线的焦点，然后，列出的相关方程进行求解即可. 【小问1详解】 根据题意，得， 所以椭圆D的方程为； 【小问2详解】 椭圆：的焦点坐标为：，. 设双曲线方程为：, 如图： 直线与圆：相切， 设直线的倾斜角为，则. 所以双曲线焦点在轴上，且. 所以双曲线的标准方程为：. 19. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程 （2）若，求函数的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，进而得出切线方程； （2）先求出导函数，进而得出单调性，最后得出函数的最值. 【小问1详解】 由题，则切线的斜率为， 故曲线在点处的切线方程为，即为； 【小问2详解】 ∵，令，解得：或， 令，解得：， ∴在单调递增，在单调递减，在单调递增； ∴，， 又，，，， 所以在上的最大值为，最小值为. 20. 已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个顶点为，离心率． （1）求椭圆E的标准方程； （2）设运动直线L：与椭圆E相交于M、N两点，线段MN的中点为P，若，求k的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，进而求出椭圆方程； （2）设、，则，联立方程组，由根与系数的关系结合求解. 【小问1详解】 由题意可知，，所以， 则所求椭圆的方程为； 【小问2详解】 设、，则， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以， 则， 因为，所以， 解得，满足， 所以. 21. 已知抛物线C：上的一点到焦点F的距离为2． （1）求抛物线C的方程； （2）直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A，B两点，且都垂直于直线：，垂足为，直线与y轴的交点为Q，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明：由于，由题意知的斜率一定存在设，直线：， 设，, 则，得所以，， ， 又 = 所以为定值. AI 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义可得准线方程为，从而可解； （2）设与联立，利用韦达定理代入化简即可. 【小问1详解】 根据抛物线的定义， 点到焦点F的距离等于点到准线的距离， 则准线方程为，所以，解得， 从而抛物线C的方程为； 【小问2详解】 略. 22. 设函数 （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数存在两个极值点， ①求实数的范围； ②证明：. 【答案】（1）； （2）①， ②证明：由，得，则，，， 在区间上递减，， 所以 【解析】 【分析】第一问，将代入，对求导，切点的纵坐标为，斜率为，利用点斜式写出切线方程；第二问，对求导，令，将函数存在两个极值点，转化为方程有两个不同的正根，利用二次函数的图象分析列出不等式，解出a的取值范围；对求导，求出的根，得到的表达式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出最小值，即证明了结论． 【小问1详解】 当a＝2时，，， 则，，所以切线方程为．4分 【小问2详解】 ①（），令，得， 函数有两个极值点等价于方程有两个不同的正根， 设，所以， 所以函数有两个极值点， ，则， ②略 考点：利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求曲线的切线方程． 【方法点睛】1、导数的几何意义（求曲线的切线方程）：函数在在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即斜率为，过点P的切线方程为． 2．求函数的极值：设函数在点处连续，（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；（3）如果在附近左右两侧值同号，不是极值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市健坤高中高二上学期第一次月考 数学 总分150分 时间120分钟 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．） 1. 以下有关命题的说法错误的是（ ） A. 命题“若，则”的逆否命题为“若x ≠ 1，则” B. 若pq为假命题，则p，q均为假命题 C. “”是“”的充要条件 D. 命题p：为假命题 2. “”是“”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则动点P的轨迹是（ ） A. 双曲线 B. 双曲线左边一支 C. 一条射线 D. 双曲线右边一支 5. 焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 7. 设双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 8. 双曲线的实轴长是( ) A. 2 B. C. 4 D. 4 9. 若，且函数在处有极值，则等于 A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 10. 定义在上的可导函数满足：且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 11. 下面四个图象中，至少有一个是函数（其中）的导函数的图象，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（ ） A. B. C. D. 与2的大小关系不确定 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 抛物线的准线方程为______． 14. 函数的单调递增区间为______． 15. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则_____________． 16. 已知在处取最大值，以下结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的序号为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知命题，或，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 18. 已知中心在坐标原点O的椭圆D经过点． （1）求椭圆D的方程； （2）已知圆M：，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程． 19. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程 （2）若，求函数的最大值与最小值. 20. 已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个顶点为，离心率． （1）求椭圆E的标准方程； （2）设运动直线L：与椭圆E相交于M、N两点，线段MN的中点为P，若，求k的值． 21. 已知抛物线C：上的一点到焦点F的距离为2． （1）求抛物线C的方程； （2）直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A，B两点，且都垂直于直线：，垂足为，直线与y轴的交点为Q，求证：为定值． 22. 设函数 （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数存在两个极值点， ①求实数的范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $