第9章 因式分解单元达标测试卷-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期

第9章 因式分解单元达标测试卷（苏科版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握好相关知识是关键． 因式分解是指把一个多项式化为几个整式的积的形式，依据此定义逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：从整式的积转化为多项式，是整式乘法，不符合因式分解定义，故A错误； 对于选项B：右边是整式与常数的和，不是整式的积，不符合定义，故B错误； 对于选项C：将多项式转化为两个整式与的积，符合因式分解定义，故C正确； 对于选项D：右边的不是整式，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 3．下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 4．把多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法及公式法进行因式分解．先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 5．多项式能运用完全平方公式进行因式分解，则m为（   ） A．9 B．18 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，因式分解，结合完全平方式的结构特征分析二次三项式的构成即可得到答案. 【详解】解：∵完全平方式的形式为 ∴， ∴， 故选：D 6．已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：． 7．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 8．若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先求出的值，再代入求值即可． 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法.. 9．对于任何整数，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过因式分解判断整除性． 利用平方差公式将多项式分解因式，并化简，根据结果判断整除性． 【详解】解：原式 因为是整数，所以和也是整数． 因此，原式一定能被整除． 故选：A． 10．已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式求值，根据已知条件求出，，再把变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 两式相加得， 又， 所以； 由可得，解得， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．与的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取最小的． 根据公因式的定义进行解答． 【详解】解：与的公因式是． 故答案为：． 12．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．把看作是整体，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 13．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是 （填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，直接利用因式分解的意义分析得出答案． 【详解】解：①，是多项式乘法，故①不是因式分解； ②，是因式分解，； ③是单项式，不是因式分解； ④中不是整式，故④不是因式分解； ⑤，等式右边不是整式的乘积，故⑤不是因式分解， 故答案为：②． 14．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，将多项式分组为完全平方式与平方差形式，然后应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键． 经过观察发现：是这个大长方形的面积，观察图形得到这个大长方形的长和宽，得到大长方形的面积为长×宽，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：经过观察发现：是这个大长方形的面积， 而这个大长方形的长为，宽为，面积为， ∴， 故答案为：． 16．已知，， ∴， 计算 ． 【答案】145 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式和平方差公式将原式变形为计算即可． 【详解】解： ； ∴原式 ． 故答案为： 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．将下列各式分解因式． (1) (2) (3)（利用因式分解计算） 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）把原式利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．先因式分解，再求值． (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）提取公因式，将多项式因式分解后，代入和的值计算； （2）先将变形为，再提取公因式，因式分解后代入的值计算． 【详解】（1）解： 代入，： ． （2）解： 代入： ． 【点睛】本题考查了因式分解的提取公因式法及代数式求值，解题关键是通过提取公因式简化代数式，再代入已知值计算，避免复杂的直接运算． 19．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 20．如图，某化工厂计划用一块长为，宽为（单位：）的长方形铁皮制作一个无盖的长方体废料箱，用于存放工业废料．在长方形铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，焊接成一个长方体形状的废料箱． (1)当切去的正方形的边长为时，用含的式子表示该废料箱的容积； (2)充分考虑场地因素，该工厂现有如下两种切割方案： 方案一：切去的正方形的边长为； 方案二：切去的正方形的边长为； 若，为了使废料箱能存放更多的工业废料，判断哪种方案更符合该工厂的要求，并说明理由． 【答案】(1) (2)方案一符合要求 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体的表面展开图的特征以及容积的计算方法是正确解答的关键． （1）用含有的代数式表示废料箱的长，宽，高，再根据长方体容积的计算方法进行计算即可； （2）分别用含有、的代数式表示方案一，方案二的废料箱的容积，再比较容积的大小即可． 【详解】（1）解：当切去的正方形的边长为时，则该废料箱的长为，宽为，高为， ∴这个废料箱的容积为； （2）解：方案一：切去的正方形的边长为时，则该废料箱的长为，宽为，高为， ∴这个废料箱的容积为； 方案二：切去的正方形的边长为时，则该废料箱的长为，宽为，高为， ∴这个废料箱的容积为； ∵， ∵，即， ∴， ∴方案一的废料箱的容积大，即方案一符合要求． 21．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中________，________； (2)对于一元多项式，必定有f（________）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解； （1）根据题意，展开即可求解； （2）根据定义，可得奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，即可求解； （3）根据（2）的结论，设，进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设 ∴ 解得：， 故答案为：，． （2）解：∵ 其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为 ∴ （3）∵ ∴多项式中有因式 设 ∴ ∴， ∴ 22．教材中这样写道：“我们把及这样的式子叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式， ， ∴当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)求代数式的最小值； (3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)等腰三角形；理由见解析 【分析】本题考查了完全平方式的应用，等腰三角形的定义，平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）将原式化为，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （2）将原式配方得，即可解答； （3）原式可化为，进而得到的值，即可判断的形状． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∵， ∴的最小值是3． （3）解：等腰三角形，理由如下： ， ， ， ∵，，， 是等腰三角形． 23．瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 【答案】(1)②，① (2) (3)是等腰三角形或者直角三角形 【分析】本题考查了因式分解的方法，等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （3）根据平方差公式因式分解，再提公因式得出，进而可得或，结合等腰三角形的定义与勾股定理的逆定理，即可进行判定． 【详解】（1）解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法， 第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法， 故答案为：②，①； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 、b、c是的三边， ， 或， 或， 是等腰三角形或者直角三角形． 24．阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或． 【分析】本题考查整式的运算，掌握因式分解、平方差公式以及多项式乘以多项式是解题的关键，． （1）根据分解因式的方法-分组分解法分解因式即可； （2）不等式左边分解因式后，根据两边之和大于第三边验证即可； （3）先进行因式分解，然后解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解： （2）证明： ， ∵，， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴与也是整数， ∴， ∴或， ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 因式分解单元达标测试卷（苏科版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 3．下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．把多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 5．多项式能运用完全平方公式进行因式分解，则m为（   ） A．9 B．18 C． D． 6．已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 8．若，则（    ） A． B．8 C． D．6 9．对于任何整数，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 10．已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．与的最大公因式是 ． 12．因式分解： 13．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是 （填序号） 14．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为 ． 15．图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解 ． 16．已知，， ∴， 计算 ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．将下列各式分解因式． (1) (2) (3)（利用因式分解计算） 18．先因式分解，再求值． (1)，其中，． (2)，其中． 19．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 20．如图，某化工厂计划用一块长为，宽为（单位：）的长方形铁皮制作一个无盖的长方体废料箱，用于存放工业废料．在长方形铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，焊接成一个长方体形状的废料箱． (1)当切去的正方形的边长为时，用含的式子表示该废料箱的容积； (2)充分考虑场地因素，该工厂现有如下两种切割方案： 方案一：切去的正方形的边长为； 方案二：切去的正方形的边长为； 若，为了使废料箱能存放更多的工业废料，判断哪种方案更符合该工厂的要求，并说明理由． 21．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中________，________； (2)对于一元多项式，必定有f（________）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 22．教材中这样写道：“我们把及这样的式子叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式， ， ∴当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)求代数式的最小值； (3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状并说明理由． 23．瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 24．阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $