精品解析：内蒙古自治区通辽市开鲁县麦新中学2025-2026学年九年级上学期1月数学学情自测

2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 下列各届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件： ①通常温度降到时，纯净的水结冰； ②明天太阳从东方升起； ③打开电视，正在播放岚皋“村”． 其中必然事件有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 3. 如图，在以 为直径的半圆中，弦，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A. 2020 B. 2027 C. 2021 D. 2024 5. 有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( ) A. 9 B. 3 C. D. 6. 反比例函数（其中），当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 日晷仪简称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍的计时仪器．如图，日晷的晷盘是以点为圆心的圆，直线是日晷的底座，于点，交于点，为某一时刻晷针的影长，点在上，连接，交于点，若比小2，则的半径为（　　） A. 24 B. 25 C. 26 D. 8. 如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二．填空题（每小题3分，满分12分） 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为______． 10. 某厂计划用两年时间把某产品成本降低，若每年下降的百分数相同，设这个百分数为，则可列关于的方程为________________． 11. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，其图象如图所示．学生小华原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小华的镜片焦距调整到0.4米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 12. 如图，在平行四边形中，，，，以点B为圆心，为半径作圆，交边于点E，连接，则图中阴影部分的面积为___________． 三．解答题（共6小题，满分64分） 13. 如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为秒，如果点，的运动速度分别为和． （1）当为何值时，点，相距； （2）当为何值时，与相似． 14. 在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 15. 如图，在的网格中，，，均为格点（网格线的交点）． （1）点绕点顺时针旋转后与点重合，画出点的位置； （2）填空：__________； （3）仅用无刻度直尺过点作的平行线． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）结合图象请直接写出不等式的解集； （3）若点P在y轴上，且的面积为12，请直接写出点P的坐标． 17. 问题提出 （1）如图①，在四边形中，，若，则的度数为______； 问题探究 （2）如图②，在半径为2的扇形中，，P是上的一点，过点P作于点Q，求线段长的最大值； 问题解决 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中，，，，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域面积的最大值． 18. 如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． （3）如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 下列各届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使形绕该点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使形绕该点点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 2. 下列事件： ①通常温度降到时，纯净的水结冰； ②明天太阳从东方升起； ③打开电视，正在播放岚皋“村”． 其中必然事件有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：①通常温度降到时，纯净的水结冰，是必然事件； ②明天太阳从东方升起，是必然事件； ③打开电视，正在播放岚皋“村”，是随机事件， 则其中必然事件有2个， 故选：B． 3. 如图，在以 为直径的半圆中，弦，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及圆内接四边形的性质，连接，根据平行线的性质求出，利用三角形内角和求出，再利用圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A. 2020 B. 2027 C. 2021 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解与代数式求值，利用方程的解得到的值，再整体代入变形后的代数式即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴， 故选：D． 5. 有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( ) A. 9 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由位似图形的性质可得这两个正六边形相似；再由缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的可得相似比为1:，进而求解即可. 【详解】∵这两个正六边形是位似图形， ∴这两个正六边形相似. ∵缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的， ∴相似比为1:. ∵原正六边形的边长为3， ∴后来正六边形的边长为=. 故选C. 【点睛】本题考查本题考查位似图形的应用，需掌握位似图形的性质. 6. 反比例函数（其中），当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：反比例函数，当时，y随x的增大而增大， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数性质：图像为双曲线，当，图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小；当，图像分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大． 7. 日晷仪简称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍的计时仪器．如图，日晷的晷盘是以点为圆心的圆，直线是日晷的底座，于点，交于点，为某一时刻晷针的影长，点在上，连接，交于点，若比小2，则的半径为（　　） A. 24 B. 25 C. 26 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，过O作于E，设，则，根据垂径定理得出，进而求出，，半径，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，则， 【详解】解：过O作于E， 则， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵比小2， ∴， 又， ∴半径， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得，（此时，故舍去）， ∴半径， 故选：B． 8. 如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米， 故选：． 二．填空题（每小题3分，满分12分） 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 1 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键． 关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，据此列出方程求解和，再求它们的和即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ，． ． 故答案为：1． 10. 某厂计划用两年时间把某产品成本降低，若每年下降的百分数相同，设这个百分数为，则可列关于的方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】设这个百分数为，则一年后的成本为原来的，两年后的成本为原来的，再根据两年成本降低列出方程即可． 【详解】解：设这个百分数为， 由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 11. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，其图象如图所示．学生小华原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小华的镜片焦距调整到0.4米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．设函数的解析式为，由时，可求k，进而可求函数关系式，然后把及代入解析式，即可求得答案． 【详解】解：设函数的解析式为， ∵500度近视镜片的焦距为0.2米， ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∴当时，， ∴当时，， 则， ∴小雪的近视眼镜的度数减少了150度． 故答案为：150． 12. 如图，在平行四边形中，，，，以点B为圆心，为半径作圆，交边于点E，连接，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，求出处高，求出，分别求出平行四边形、扇形和的面积，即可得出答案． 【详解】解：过作于，则， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形和求扇形的面积，能分别求出平行四边形、扇形和的面积是解此题的关键． 三．解答题（共6小题，满分64分） 13. 如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为秒，如果点，的运动速度分别为和． （1）当为何值时，点，相距； （2）当为何值时，与相似． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练列出相关数据，并根据勾股定理和相似列式是解题的关键． （1）先列出，，利用，列式求解即可； （2）利用当时和当时，分别列式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 则， ∵，点，相距， ∴， 即， 化简得， 解得：，， 即或； 【小问2详解】 解：当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：． 14. 在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握． （1）利用概率公式求解； （2）利用画树状图或列表法求概率． 【小问1详解】 解：∵①；②0；③1；①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀， ∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图，如图： 共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种， ∴抽到的数与文字描述相符合的概率． 15. 如图，在的网格中，，，均为格点（网格线的交点）． （1）点绕点顺时针旋转后与点重合，画出点的位置； （2）填空：__________； （3）仅用无刻度直尺过点作的平行线． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求， （2）45 （3） 如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定、旋转的作图等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1）根据网格的特点并利用旋转的性质进行作图即可； （2）利用勾股定理及其逆定理进行求解即可； （3）如图，即为所求，根据正切相等证明，证明，得到，由得到，即可证明即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为： 【小问3详解】 理由：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）结合图象请直接写出不等式的解集； （3）若点P在y轴上，且的面积为12，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或； （3）或 ． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及函数图象的交点坐标直接写出不等式解集即可； （3）设，先求出直线与y轴交点C的坐标，再根据三角形面积公式底高，以为底，A、B横坐标差的绝对值为高来计算的面积，进而求出y的值． 【小问1详解】 解：将代入 ， 得， ∴， 把代入得 ， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 如图所示，一次函数的图象与反比例函数y的图象交于点、，A点为， 把B点代入反比例函数，即， ∴B点坐标为， ∴根据函数图象及函数图象的交点坐标可知，不等式解集为：或； 【小问3详解】 如图所示，与y轴交于C点， 在中，令，得， ∴直线与y轴交点， 已知，，根据三角形面积公式， ，， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或 ． 17. 问题提出 （1）如图①，在四边形中，，若，则的度数为______； 问题探究 （2）如图②，在半径为2的扇形中，，P是上的一点，过点P作于点Q，求线段长的最大值； 问题解决 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中，，，，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据，得点B、C、D在以点A为圆心，以长为半径的圆上，得； （2）当点P位于的中点时，根据，得过点O，证明，可得,根据，得，，为最大值； （3）连接，过点C作于点E，可知点C是在以为圆周角的的一段弧上，在另一侧圆上取点G，连接，得，，是等边三角形，得，当点C在中点时，最大，面积最大，此时直线过点O，取中点F，连接，可得，由，得是等边三角形，可得，，，得，，得绿化区域面积的最大值，． 【详解】解：（1）∵在四边形中，， ∴点B、C、D在以点A为圆心，以长为半径的圆上， ∵， ∴； 故答案为：； （2）当点P位于的中点时，最大， ∵， ∴直线过点O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：连接，过点C作于点E， ∵， ∴点C是在以为圆周角的圆弧上， 设圆心为O，在另一侧圆上取点G，连接， 则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）知，当点C在中点时，最大，面积最大，此时直线过点O， 取中点F，连接， ∵， ∴， ∵ ,∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故绿化区域面积的最大值为． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理，垂径定理推论，圆内接四边形性质，等边三角形判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 18. 如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． （3）如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为3，点D的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可解题； （3）利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似． 【小问1详解】 解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， 设，则， 过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：原拋物线向右平移1个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式为， 同理，求得，，， ①连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点为新拋物线上的一点，连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， ②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与二次函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $