20.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用-（配套课件）【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级下册数学（人教版2024）

该初中数学课件聚焦勾股定理逆定理的应用，通过复习勾股定理及逆定理的表达式和对应三角形，结合“快速填一填”巩固旧知，再以军事航海问题引入，搭建从知识回顾到实际应用的学习支架。 其亮点是依托航海、零件检验等实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过构建几何模型、推理计算发展数学思维，用数学语言表达问题。如例1通过航程计算和逆定理判定直角确定航行方向，助力学生提升应用能力，也为教师提供丰富实例和清晰教学方法。

勾股定理 第二十章 数学 人教版 八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 学习目标 1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点） 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问 题.（难点） 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 2 问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理 的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗? a2+b2=c2 (a,b为直角边，c斜边） Rt△ABC,∠C是直角 勾股定理 勾股定理的逆定理 a2+b2=c2 (a,b为较短边，c为最长边） Rt△ABC，且∠C是直角. 复习引入 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） (2)等腰△ ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC 边上的高是 cm. 8 (1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形 为 三角形， 是最大角. 直角 ∠A 快速填一填： 思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？ 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧. 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 1 2 例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 6 问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的 问题是什么？ 1 2 N E P Q R 16×1.5=24 12×1.5=18 30 “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航 向所成角. 勾股定理逆定理 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 归纳 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 东 北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD. 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 解：∵AC=10，AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2， 即△ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D，根据三 角形面积公式有 BC·AB= AC·BD， 即6×8=10BD，解得BD= 在Rt△BCD中， 又∵该船只的速度为12.8海里/时， 6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟）， ∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海. 东 北 P A B C Q D 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 例2 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图 图 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 11 在△BCD中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD中， ∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角. D A B C 4 3 5 13 12 图 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 1.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ A B C 5cm 12cm 13cm 解：∵ BC2+AB2=52+122=169， AC2 =132=169， ∴BC2+AB2=AC2， 即△ABC是直角三角形， ∠B=90°. 答：C在B地的正北方向． 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， ∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵AC2＝92＝81， ∴AB2＋BC2≠AC2， ∴∠ABC≠90°， ∴该农民挖的不合格． 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积. 解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形. A D B C 3 4 13 12 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 解：连接AC. A D B C 3 4 13 12 在Rt△ABC中， 在△ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， ∴△ACD是直角三角形， 且∠ACD=90°. ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36. 四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用. 归纳 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 【变式题1】 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积. 解：连接BD. 在Rt△ABD中, 由勾股定理得 BD2=AB2+AD2， ∴BD=5m. 又∵ CD=12cm，BC=13cm, ∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形. ∴S四边形ABCD=S△BCD－S△ABD= BD•CD－ AB•AD = ×(5×12－3×4)=24 (cm2)． C B A D 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 【变式题2】 如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积. 解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm. ∴ AC=5 cm. 又∵ ∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角. ∴ D C B A 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 例4 如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC2＝ 5 ，BD=2． （1）求证：△BCD是直角三角形； （2）求△ABC的面积． （1）证明：∵CD=1，BC2＝ 5 ，BD=2， ∴CD2+BD2=BC2， ∴△BDC是直角三角形； （2）解：设腰长AB=AC=x， 在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2， ∴x2=(x-1)2+22， 解得 用到了方程的思想 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向. 东 医院 公园 超市 北 65° 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　） A. B. C. D. D 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由. 解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)， 又∵A，B两组相距30km， 且有242+182=302， ∴A，B两组行进的方向成直角． 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC. 解：∵BC=16，AD是BC边上的中线， ∴BD=CD= BC=8. ∵在△ABD中， AD2+BD2=152+82=172=AB2， ∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°． ∴△ADC是直角三角形. 在Rt△ADC中， ∴AB=AC. 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里), OB=12×1.5=18(海里)， ∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900， ∴OB2+OA2=AB2， ∴∠AOB=90°. ∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进， ∴∠BOD=50°， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36，解得x=3. ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm. ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得 6.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 勾股定理的逆定理的应用 应用 航海问题 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 课堂小结 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 谢谢 ! 谢谢聆听 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） $