19.1 第2课时 二次根式的性质-（配套课件）【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级下册数学（人教版2024）

二次根式 第十九章 数学 人教版 八年级下册 第2课时 二次根式的性质 19.2 二根次式及其性质 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 学习目标 1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法.（重点） 2.会运用二次根式的性质进行化简计算.（难点） 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 2 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0； 当a=0时， 表示0的算术平方根， 因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 引入新课 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 4 问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？ 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a a≥0 1 我们都是非负数哟 情景引入 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？ 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 1 16 4 1 a a为任意数 我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数. 思考 你发现了什么？ 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ， 又∵面积为a， 即 . 活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？ 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？ ... 算术平方根 平方运算 0 2 4 ... a(a≥0) 02 = 0 ... 观察两者有什么关系？ 22 = 4 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 4 2 0 根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由： 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此 . 同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式. 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 9 的性质： 一般地， ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件. 探究新知 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 例2 计算： 解： (2)可以用到幂的哪条基本性质呢？ 积的乘方： （ab）2=a2b2 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 计算： 解: 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） ... 平方运算 算术平方根 2 0.1 0 ... a(a≥0) 2 ... 观察两者有什么关系？ 填一填： ＝a (a≥0). 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） ... 平方运算 算术平方根 -2 -0.1 ... 2 ... 观察两者有什么关系？ a(a＜0) 思考：当a＜0时， = ？ -a 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） a (a≥0) -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 的性质： 归纳小结 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 例3 化简： 解： ，而3.14＜π，要注意a的正负性. 注意 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 计算： 练一练 解: 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错． （ ） （ ） （ ） （ ） × × √ √ 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 例4 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，请你化简: 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. a b 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 【变式题】 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： . 解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a-b＞0， 则 =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b． 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号. 注意 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 例5 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简： 解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c， ∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c． 分析： 利用三角形三边关系 三边长均为正数，a+b＞c 两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 概念学习 数 表示数的字母 想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？ 代数式 整式 分式 二次根式 新知新探 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度； 例6 解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h． （2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长. （2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为 例题与练习 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 列代数式的要点： ①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确运算顺序； ③牢记一些概念和公式． 归纳小结 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 二次根式 性质 ＝a (a ≥0). 拓展性质 |a|（a为全体实数） 归纳小结 二次根式的双重非负性 ≥0（a≥0） 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） 谢谢 ! 谢谢聆听 数学 人教版 八年级下册（鼎成中考） $