1.3乘法公式第一课时同步练习2025-2026学年北师大版七年级数学下册

1.3.1平方差公式 一．选择题（共7小题） 1．计算（x﹣2y）（x+2y）的结果是（　　） A．x2﹣4xy+4y2 B．x2﹣2y2 C．x2﹣4y2 D．x2+4xy﹣4y2 2．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2b﹣a）B．（x+1）（x﹣1） C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n） 3．下列各式中，计算结果不正确的是（　　） A．（﹣3a+2b）（3a+2b）＝4b2﹣9a2 B．（1﹣m）（﹣m﹣1）＝m2﹣1 C．（3x﹣4y2）（﹣4y2﹣3x）＝16y4﹣9x2 D．（5a+2bc）（﹣5a﹣2bc）＝25a2﹣4b2c2 4．若等式（3a+5b）（　　）＝9a2﹣25b2成立，则括号内所填的代数式是（　　） A．3a+5b B．﹣3a+5b C．3a﹣5b D．﹣3a﹣5b 5．利用平方差公式计算20262﹣2027×2025的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 6．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（　　） A．22 B．24 C．30 D．34 7．（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝8，则x2+y2的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 二．填空题（共4小题） 8．若m2﹣n2＝﹣8，m﹣n＝﹣2，则代数式m+n的值是 　 　 ． 9．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝15，则a+b＝　 　 ． 10．计算：2025×2027﹣20262＝　 　 ． 11．已知x+y＝5，则x2﹣y2+10y＝　 　 ． 三．解答题（共7小题） 12．计算：（1）（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）． （2）； （3）（x+y）（x﹣y）+y2． （4）a（1﹣2a）﹣（1+2a）（﹣2a+1）． 13． 计算：（1）a4﹣（1﹣a）（1+a）（1+a2）． （2）（2x+y﹣6）（2x﹣y+6）． （3） （a+2b﹣3c）（a﹣2b+3c） 14．观察下列各等式： 第1个：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； 第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； 第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4； … （1）这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+⋯+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝ 　 　 ； （2）利用（1）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+⋯+23+22+21+1（n为大于1的正整数）； （3）拓展与应用：计算（﹣3）n﹣1+（﹣3）n﹣2+（﹣3）n﹣3⋯+（﹣3）2+（﹣3）1+1（n为大于1的正整数）． 1.3.1平方差公式 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D D C B B A 一．选择题（共7小题） 1．计算（x﹣2y）（x+2y）的结果是（　　） A．x2﹣4xy+4y2 B．x2﹣2y2 C．x2﹣4y2 D．x2+4xy﹣4y2 【分析】根据（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2求解即可． 【解答】解：根据平方差公式可得： （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握该知识点是关键． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（x+1）（x﹣1） C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n） 【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2逐一分析判断即可． 【解答】解：∵（2a+b）（2b﹣a）不符合平方差公式的特点，∴选项A不符合题意； ∵（x+1）（x﹣1）＝﹣（x+1）2，∴选项B不符合题意； ∵（3x﹣y）（﹣3x+y）＝﹣（3x﹣y）2，∴选项C不符合题意； ∵（﹣m+n）（﹣m﹣n）＝（﹣m）2﹣n2，∴选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键． 3．下列各式中，计算结果不正确的是（　　） A．（﹣3a+2b）（3a+2b）＝4b2﹣9a2 B．（1﹣m）（﹣m﹣1）＝m2﹣1 C．（3x﹣4y2）（﹣4y2﹣3x）＝16y4﹣9x2 D．（5a+2bc）（﹣5a﹣2bc）＝25a2﹣4b2c2 【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算判断即可． 【解答】解：A、（﹣3a+2b）（3a+2b）＝（2b﹣3a）（2b+3a）＝4b2﹣9a2，故此选项不符合题意； B、（1﹣m）（﹣m﹣1）＝（﹣m+1）（﹣m﹣1）＝m2﹣1，故此选项不符合题意； C、（3x﹣4y2）（﹣4y2﹣3x）＝（﹣4y2+3x）（﹣4y2﹣3x）＝16y4﹣9x2，故此选项不符合题意； D、（5a+2bc）（﹣5a﹣2bc）＝﹣（5a+2bc）（5a+2bc）＝﹣（5a+2bc）2＝﹣25a2﹣20abc﹣4b2c2，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键． 4．若等式（3a+5b）（　　）＝9a2﹣25b2成立，则括号内所填的代数式是（　　） A．3a+5b B．﹣3a+5b C．3a﹣5b D．﹣3a﹣5b 【分析】根据平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（3a+5b）（3a﹣5b）＝9a2﹣25b2， 故选：C． 【点评】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．利用平方差公式计算20262﹣2027×2025的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】先将2027×2025化为（2026+1）（2026﹣1）的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【解答】解：原式＝20262﹣（2026+1）×（2026﹣1） ＝20262﹣（20262﹣1） ＝20262﹣20262+1 ＝1， 故选：B． 【点评】本题考查平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 6．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（　　） A．22 B．24 C．30 D．34 【分析】根据题意设这两个连续奇数分别为：2n﹣1，2n+1，其中n是正整数，则“凤凰数”＝8n，经过计算，只有24是8的倍数，即可得出结果． 【解答】解：设这两个连续奇数分别为：2n﹣1，2n+1，其中n是正整数， ∴“凤凰数”＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1 ＝8n， A、22÷8＝2⋯⋯6，故选项A不符合题意； B、24÷8＝3，故选项B符合题意； C、30÷8＝3⋯⋯6，故选项C不符合题意； D、34÷8＝4⋯⋯2，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 7．（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝8，则x2+y2的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【分析】设x2+y2＝t，则（t+1）（t﹣1）＝8，解得：，再根据x2+y2＝t≥0，即可得出答案． 【解答】解：设x2+y2＝t，则原方程转化为（t+1）（t﹣1）＝8， 整理得t2＝9， 解得：， ∴x2+y2＝3， 故选：A． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握该知识点是关键． 二．填空题（共4小题） 8．若m2﹣n2＝﹣8，m﹣n＝﹣2，则代数式m+n的值是 　4　 ． 【分析】根据平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝﹣8，且m﹣n＝﹣2， ∴﹣2（m+n）＝﹣8， ∴m+n＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查因式分解，掌握平方差公式，利用整体思想求解是关键． 9．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝15，则a+b＝　±2　 ． 【分析】将原式变形后利用平方差公式计算，然后求得a+b的值即可． 【解答】解：∵（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝15， ∴[（2a+2b）+1][（2a+2b）﹣1]＝15， ∴（2a+2b）2﹣1＝15， ∴4（a+b）2＝16， 则（a+b）2＝4， 那么a+b＝±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10．计算：2025×2027﹣20262＝　﹣1　 ． 【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：原式＝（2026﹣1）×（2026+1）﹣20262 ＝20262﹣1﹣20262 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握平方差公式． 11．已知x+y＝5，则x2﹣y2+10y＝　25　 ． 【分析】根据题意，把x2﹣y2+10y变形为：（x+y）（x﹣y）+10y，把x+y＝5代入可得：5（x﹣y）+10y，整理即可得出答案． 【解答】解：∵x+y＝5， ∴x2﹣y2+10y ＝（x+y）（x﹣y）+10y ＝5（x﹣y）+10y ＝5x﹣5y+10y ＝5x+5y ＝5（x+y） ＝5×5 ＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了平方差，掌握平方差公式是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 12．计算：（x+y）（x﹣y）+y2． 【分析】将原式利用平方差公式展开后合并同类项即可． 【解答】解：（x+y）（x﹣y）+y2 ＝x2﹣y2+y2 ＝x2． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 13．计算：a（1﹣2a）﹣（1+2a）（﹣2a+1）． 【分析】先运用单项式乘多项式和平方差公式进行整式的乘法计算，再计算整式的加减． 【解答】解：a（1﹣2a）﹣（1+2a）（﹣2a+1） ＝a﹣a•2a+（2a+1）（2a﹣1） ＝a﹣2a2+4a2﹣1 ＝2a2+a﹣1． 【点评】此题考查了运用单项式乘多项式和平方差公式进行整式乘法和加减混合运算能力，关键是能准确理解法则并能对题目准确变形、求解． 14．计算： （1）（2x+y﹣6）（2x﹣y+6）． （2）（m﹣3n+2）2． 【分析】（1）用平方差公式来简化计算即可； （2）用完全平方公式来展开即可． 【解答】解：（1）（2x+y﹣6）（2x﹣y+6） ＝[2x+（y﹣6）][2x﹣（y﹣6）] ＝（2x）2﹣（y﹣6）2 ＝4x2﹣（y2﹣12y+36） ＝4x2﹣y2+12y﹣36； （2）（m﹣2n+2）2 ＝[（m﹣2n）+2]2 ＝（m﹣3n）2+2•（m﹣3m）•2+22 ＝（m2﹣6mn+9n2）+4m﹣12n+4 ＝m2﹣6mn+9n2+4m﹣12n+4． 【点评】这两道题主要考查了乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的灵活运用以及整体代换的数学思想．熟练掌握乘法公式的结构特征，并能通过添括号、合理分组构造出公式的形式，是解题的关键． 15．（a+2b﹣3c）（a﹣2b+3c） 【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果． 【解答】解：原式＝a2﹣（2b﹣3c）2＝a2﹣4b2+12bc﹣9c2． 【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 16．计算： （1）（2ab）3； （2）（﹣4x2）（2x﹣1）； （3）（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）． 【分析】（1）根据积的乘方计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据平方差公式求解即可． 【解答】解：（1）根据积的乘方计算法则求解可得： （2ab）3＝8a3b3； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解可得： （﹣4x2）（2x﹣1） ＝﹣8x3+4x2； （3）根据平方差公式求解可得： （﹣x+2y）（﹣x﹣2y） ＝（﹣x）2﹣（2y）2 ＝x2﹣4y2． 【点评】本题主要考查了积的乘方计算，平方差公式，单项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 17．计算： （1）； （2）a4﹣（1﹣a）（1+a）（1+a2）． 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算后再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝（2yx）（2yx） ＝4y2x2； （2）原式＝a4﹣（1﹣a2）（1+a2） ＝a4﹣（1﹣a4） ＝a4﹣1+a4 ＝2a4﹣1． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．观察下列各等式： 第1个：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； 第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； 第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4； … （1）这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+⋯+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn ； （2）利用（1）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+⋯+23+22+21+1（n为大于1的正整数）； （3）拓展与应用：计算（﹣3）n﹣1+（﹣3）n﹣2+（﹣3）n﹣3⋯+（﹣3）2+（﹣3）1+1（n为大于1的正整数）． 【分析】（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）令（1）中的a＝2，b＝1即可解决问题． （3）令（1）中的a＝﹣3，b＝1即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4； …， 所以用含n的等式可表示为：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+⋯+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn． 故答案为：an﹣bn． （2）由（1）知， 当a＝2，b＝1时， （2﹣1）×（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+⋯+23+22+21+1）＝2n﹣1， 所以2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+⋯+23+22+21+1＝2n﹣1． （3）由（1）知， 当a＝﹣3，b＝1时， （﹣3﹣1）×[（﹣3）n﹣1+（﹣3）n﹣2+（﹣3）n﹣3⋯+（﹣3）2+（﹣3）1+1]＝（﹣3）n﹣1， 所以（﹣3）n﹣1+（﹣3）n﹣2+（﹣3）n﹣3⋯+（﹣3）2+（﹣3）1+1． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律、多项式乘多项式及平方差公式，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 学科网（北京）股份有限公司 $