4.3 第2课时 用完全平方公式进行因式分解-（配套课件）【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级下册数学（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦运用完全平方公式因式分解，通过回顾提取公因式法和平方差公式导入新课，引导学生观察多项式特点，建立新旧知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于结合整式乘法与因式分解的互逆关系，通过例题解析和分层练习培养学生的推理意识与运算能力，如例4中首项负号处理强化符号意识，随堂练习中代数式值的判断发展应用意识，助力学生形成数学思维，提升教师教学效率。

北师版 八年级下册 第四章 因式分解 3 公式法 第2课时 运用完全平方公式因式分解 新课导入 因式分解我们学了哪些方法? 提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 运用平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b) 新课推进 你能将多项式 a2+2ab+b2 与a2-2ab+b2 分解因式吗？这两个多项式有什么特点？ 完全平方式的特点：项数是三项，其中两个平方项的符号是正，积的2倍的项的符号可正可负. 把乘法公式中的完全平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 ，(a-b)2 = a2-2ab+b2 反过来，就得到： a2+2ab+b2 = (a+b)2 ， a2-2ab+b2 = (a-b)2. a2+2ab+b2 = (a+b)2 ， a2-2ab+b2 = (a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 整式乘法 因式分解 a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 练习 下列多项式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4 （2）x2 + 4x + 4y2 （3）4a2 + 2ab + b2 1 4 （4）a2 - ab + b2 （5）x2 - 6x - 9 （6）a2 + a+ 0.25 是 不是 是 不是 不是 是 例3 把下列完全平方式因式分解： （1）x2+ 14x + 49; （2）(m + n)2 – 6(m + n) + 9. 解：（1）x2+ 14x + 49 = x2+2×7x+72 = (x+7)2; （2）(m + n)2 – 6(m + n) + 9 = [(m + n) - 3]2 = (m + n - 3)2. 完全平方式的特点： （1）是一个三项式； （2）三项中有两项是两式的平方和，另一项是这两式乘积的2倍. 例4 把下列各式因式分解： （1）3ax2 + 6axy + 3ay2; （2）– x2 – 4y2 + 4xy. 解：（1）3ax2 + 6axy + 3ay2 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2; （2）- x2 - 4y2 + 4xy = - (x2 + 4y2 - 4xy) = - (x2 - 4xy + 4y2) = - [x2 - 2·x·2y + (2y)2] = - (x - 2y)2. 首项有“负号”要先提 因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； （2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 随堂练习 1.如果 100x2 + kxy + y2 可以分解为(10x - y)2，那么k的值是（ ） A. 20 B. -20 C. 10 D. -10 B 2.如果x2 + mxy + 9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A. 6 B. ±6 C. 3 D. ±3 B 3.分解因式： (1) x2 + 12x + 36; (2) - 2xy - x2 - y2; (3) a2 + 2a + 1; (4) 4x2 - 4x + 1; (5) ax2 + 2a2x + a3; (6) - 3x2 + 6xy - 3y2. 解：（1）(x + 6)2;（2）- (x + y)2； （3）(a + 1)2；（4）(2x - 1)2； （5）a(x + a)2；（6）- 3(x - y)2. 4.若n为整数，试说明(2n + 1)2 - 25能被4整除. 解 ：(2n + 1)2 – 25 = (2n+1+5)(2n+1-5) = 4(n-2)(n+3) . 因为n是整数，所以4(n-2)(n+3) 能被4整除，即(2n + 1)2 – 25能被4整除. 5.因式分解： (x + 3y)2 + (2x + 6y)(3y - 4x) + (4x - 3y)2. 解：原式 = (x + 3y)2 - 2(x + 3y)(4x - 3y) + (4x - 3y)2 = (x + 3y - 4x + 3y)2 = (- 3x + 6y)2 = 9(x - 2y)2. 6.小明在纸上写了一个算式为4x2 +8x+11，并对小刚说:“无论x取何值，这个代数式的值都是正值，你不信试一试?” 解： 4x2 + 8x + 11 = (2x + 2)2 + 7. ∵ (2x + 2)2 + 7 > 0， ∴无论 x 取何值，这个代数式的值都是正值. $