第1章 三角形的证明及其应用 章末复习-（配套课件）【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级下册数学（北师大版2024）

章末复习 北师版八年级数学下册 回顾与思考 1. 说说作为证明基础的几条基本事实. 公理：同位角相等，两直线平行； 公理：两直线平行，同位角相等； 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； 公理：三边对应相等的两个三角形全等； 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； 公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2. 等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？ 定理 等腰三角形的两底角相等. 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合. 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 3. 等腰三角形和等边三角形分别有哪些判定条件？ 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 4. 直角三角形有什么性质？它有什么判定条件？ 定理 直角三角形的两个锐角互余. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 5. 说说两个直角三角形全等的判定条件. 6. 说说线段垂直平分线的性质及其逆定理. 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 7. 说说线段角平分线的性质及其逆定理. 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 　　三角形的三个内角的平分线交于一点， 这一点到三角形三边的距离相等. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.我们把它叫作反证法. 8. 什么是反证法？ 9. 什么是互逆命题？ 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 随堂演练 1. 已知：如图，D 是△ABC 的 BC 边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是 E，F，且 DE = DF. 求证：△ABC 是等腰三角形. A B C D E F A B C D E F 证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是 E，F， 且 DE = DF， 又∵ D 是△ABC 的 BC 边上的中点， ∴BD = CD. ∴Rt△BDF ≌Rt△CDE（HL）. ∴∠B = ∠C. ∴ AB = AC（等角对等边） . ∴△ABC 是等腰三角形. 2 . 如图，在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，已知△BCE 的周长为 8，AC – BC = 2. 求 AB 与 BC 的长. A B C D E A B C D E 证明： ∵AB 的垂直平分线交 AC 于点 E， ∴ AE = BE. ∵△BCE 的周长为 8， ∴ BC + CE + BE = 8. ∴ BC + CE + AE = 8 ，即 AC + BC = 8. 又∵ AC – BC = 2， ∴ AC = 5，BC = 3. ∴ AB = AC = 5. 3. 在△ABC 中，AB = 2AC，∠1 =∠2，DA = DB. 求证：DC⊥AC. 1 A C F D B 2 证明：取 AB 的中点 E，连接 DE. ∵DA = DB，AE = BE， ∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一）. ∵AB = 2AC，E 为 AB 的中点， ∴AE = AC. 在 △AED 和 △ACD 中， AE = AC，∠1 =∠2，AD = AD， ∴△AED ≌△ACD（SAS）. ∴∠AED =∠ACD = 90°，即 AC⊥DC. 1 A C E F D B 2 4. 如图，△ABC，△CDE 是等边三角形. （1）求证：AE = BD； （2）若 BD 和 AC 交于点 M，AE 和 CD 交于点 N，求证：CM = CN. A B C D E M N 证明：（1）∵△ABC 是等边三角形 ，  ∴∠ACB = 60°.   ∵△CDE 是等边三形 ， ∴∠DCE = 60°.   ∴∠BCD =∠ACE. ∵CE = CD，CB = CA， ∴△CBD ≌△CAE.（SAS）   ∴AE = BD. A B C D E M N （2）由（1），得△CBD ≌△CAE， ∴∠CAE =∠CBD. ∵AB = AC， ∠MCB =∠NCA = 60°， ∴△MCB ≌△NCA. ∴CM = CN. A B C D E M N 5. 已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为 N，M，且 OM = ON. 求证：PM = PN. A B O P M N 证明：连接OP，∵AN⊥OB，BM⊥OA， ∴∠OMP =∠ONP. 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中， OM = ON，OP = OP， ∴Rt△OMP ≌ Rt△ONP（HL）， ∴ PM = PN. A B O P M N 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $