1.2 第2课时 等腰三角形的判定及反证法-（配套课件）【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级下册数学（北师大版2024）

第2课时 等腰三角形的判定及反证法 北师版八年级数学下册 第一章 三角形的证明及其应用 2 等腰三角形 新课导入 等腰三角形性质定理的内容是什么？ 等腰三角形的两个底角相等. 我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？ 思考 新课探究 A B C 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 已知：在△ABC 中，∠B =∠C， 求证：AB = AC. A B C 证明：作 AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB =∠ADC = 90°， 又∵∠B =∠C，AD = AD， ∴△ADB ≌ △ADC（AAS）， ∴AB = AC（全等三角形的 对应边相等）. D 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 这一定理可以简述为：等角对等边. A B C 几何语言： ∵∠B =∠C （已知）， ∴ AB = AC（等角对等边）. 例 2 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E.求证：△AED 是等腰三角形. 证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA， ∴△ABD ≌ △DCA（SSS）. ∴∠ADB = ∠DAC（全等三角形的 对应角相等）. ∴AE = ED（等角对等边）. ∴△ AED 是等腰三角形. 练习 1　如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？ 练习 A B C D 3个 练习 2 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角， AD∥BC 且∠1 =∠2．求证：AB = AC． A B C D E 1 2 证明：∵ AD∥BC ， ∴∠1 = ∠B，∠2 = ∠C， 又∵∠1 = ∠2， ∴∠B = ∠C， ∴AB = AC（等角对等边）. 想一想 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ A B C A B C 如图，在△ABC 中，已知∠B ≠∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等. 假设 AB = AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C =∠B，这与已知条件∠B ≠∠C 相矛盾，因此 AB ≠ AC. 小明是这样想的： 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.我们把这种证明方法称为反证法. 例 3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B 是直角，即∠A = 90°， ∠B = 90°. 于是 ∠A +∠B +∠C =90°+90°+∠C ＞180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B 是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 随堂演练 1. 下列两个图形是否是等腰三角形？ 75° 30° 40° 40° 是 是 2. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，交AC 于点 D，过点 D 作 BC 的平行线，交 AB 于点E，请判断△BDE 的形状，并说明理由. 解：△BDE 是等腰三角形，理由如下： ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD = ∠DBC. 又∵DE∥BC， ∴∠DBC = ∠EDB. ∴∠ABD =∠EDB. ∴BE=DE（等角对等边）. ∴△BDE 是等腰三角形. 3. 如图，上午 10 时，一条船从 A 处出发以20 海里每小时的速度向正北航行，中午 12 时到达 B 处，分别从 A、B 望灯塔 C，测得∠NAC = 40°，∠NBC = 80°，求从 B 处到灯塔 C 的距离. 80° 40° N B A C 北 80° 40° N B A C 北 解：由题意，得 ∠C = ∠CBN – ∠A = 80°– 40°= 40°. ∵∠A= 40°， ∴∠C = ∠A. ∴AB = BC， AB = 20×（12 – 10）= 40（海里）. ∴BC = 40 海里. 4. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 证明：假设∠A___60°，∠B ___60°，∠C___60°, 于是 ∠A +∠B +∠C ＞180 °. 这与_____________________相矛盾， 因此______不成立，所以，在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. ＞ ＞ ＞ 三角形内角和等于180° 假设 5. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于 . 1 5 证明：假设这五个数是a1，a2，a3，a4，a5全部小于 ，那么这五个数的和 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 就小于 1.这与已知这五个数的和等于 1 相矛盾.因此假设不成立，所以这五个数中至少有一个大于或等于 . . 1 5 1 5 课堂小结 今天你学到了什么? 1. 等腰三角形的判定定理：等角对等边. 2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行计算和证明. $