1.2 第1课时 等腰三角形的性质-（配套课件）【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级下册数学（北师大版2024）

第一章 三角形的证明及其应用 2 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 北师版八年级数学下册 新课导入 我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？ 边边边（SSS）： 三边对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS）： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. 角角边（ASA）： 想一想 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 新课探究 已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF. 求证：△ABC≌△DEF. A B C D E F 证明： ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∠D +∠E +∠F = 180°（三角形内角和等于180°）. ∴∠C = 180°－（∠A +∠B）， ∠F = 180°－（∠D +∠E）， ∵∠A =∠D，∠B =∠E（已知） . ∴∠C =∠F（等量代换）. ∵BC = EF（已知）. ∴△ABC ≌ △DEF（ASA）. A B C D E F 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS） 根据全等三角形的定义，我们可以得到 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 议一议 （1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ （2）请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流. A B C 顶角 底角 底角 腰 腰 底边 先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足. A B C （B） 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角. 练习 在△ABC 中，AB = AC. （1）若∠A = 40°，则∠C 等于多少度？ （2）若∠B = 72°，则∠A 等于多少度？ A B C （1）70° （2）36° 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. A B C 证明：取 BC 的中点 D，连接 AD. 在△ABD 和△ACD 中， ∵ AB = AC，BD = CD，AD = AD， ∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）. ∴ ∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）. 证法一： D A B C D 证法二： 证明：作△ABC 顶角∠A 的角平分线 AD. 在△ABD 和△ACD 中， ∵ AB = AC，∠BAD =∠CAD，AD = AD ， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）. ∴ ∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）. 证法三： A B C 证明：在△ABC 和△ACB 中， ∵ AB = AC，∠A = ∠A，AC = AB， ∴ △ABC ≌△ACB（SAS）. ∴ ∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）. 想一想 A B C D 在图中，线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 定理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合. 可分解成下面三个方面来理解： 1. 等腰三角形顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。 ∵AB ＝ AC， ∠1 ＝∠2（已知）， ∴BD ＝ DC， AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. A B C D 1 2 2. 等腰三角形底边上的中线，既是底边上的高，又是顶角的平分线。 ∵AB ＝ AC ， BD ＝ DC （已知）， ∴AD⊥BC ， ∠1 ＝∠2 （等腰三角形三线合一）. A B C D 1 2 3. 等腰三角形底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角的平分线。 ∵AB＝AC， AD⊥BC （已知）， ∴BD＝DC， ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）. A B C D 1 2 想一想 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如图，在△ABC 中，AB = BC = AC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. 证明：∵AB = AC， ∴∠B =∠C（等边对等角）. 又∵AC=BC， ∴∠A =∠B（等边对等角）. ∴∠A =∠B =∠C（等量代换）. 又∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. A B C 随堂演练 1.（1）已知等腰三角形的一个角为 40°，则其它两个角分别为 。 （2）已知等腰三角形的一个外角为 70°，则这个三角形的三个内角分别为 。 70°、 70°或40°、100° 110°、35°、35° 2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 上，且 BD = AD，DC = AC，求∠B 的度数. A B C D 解：∵AB = AC， ∴∠B =∠C（等边对等角）. 同理可得∠B =∠BAD，∠CDA =∠CAD. 设∠B = x，则∠C =∠BAD = x， ∴∠CAD =∠CDA = 2x. 在△ADC 中，∠C +∠CDA +∠CAD =180°， 即 x + 2x +2x = 180°，∴ x = 36°，即∠B =36°. 3. 等边三角形 ABC 的周长等于21cm， 求：（1）各边的长； （2）各角的度数. A B C 解：（1）∵AB = BC = CA， 又 ∵AB + BC + CA = 21 cm（已知）. 　　∴AB = BC = CA = 21÷3 = 7（cm）. （2）∵AB = BC = CA，（已知） ∴∠A =∠B =∠C = 60°（等边三角形的每个内角都等于60°）. 4. 已知：如图，点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF. 求证：∠A =∠D. A D B E C F A D B E C F 证明： ∵BE= CF， ∴BE + CE= CF + EC， ∴BC = EF. 又∵AB = DE AC = DF， ∴△ABC ≌△DEF（SSS）. ∴∠A =∠D. 5. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 都在边 BC 上，且 AD = AE，那么 BD 与 CE 相等吗？请证明你的结论. A B C D E A B C D E 解：BD与CE相等，证明如下： ∵AB = AC， ∴∠B =∠C（等边对等角）. 同理可得∠ADE =∠AED. ∴∠ADB =∠AEC. ∴△ABD ≌ △ACE（AAS）. ∴BD = CE. 课堂小结 1.等腰三角形的两底角相等； 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合. 等腰三角形的性质： 等边三角形的性质： 1.等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60 °。 $