6.2 平面向量的运算（教材课后题 全解与加练）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2 平面向量的运算（教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 -----------------【教材习题·精要】------------------- 📝【习题考向】 意义类：向量加减运算的实际位移意义辨析（基础入门，贴合生活场景） 作图类：向量加减的三角形法则、平行四边形法则作图（基础核心，必考基础） 合成类：向量加减在物理位移、速度场景的合成应用（基础应用，高频考点） 化简类：向量线性加减的代数化简（核心基础，后续运算必备） 📝【解题通法】 定法则：加法运算优先使用三角形法则、平行四边形法则；减法运算遵循 “共同起点，连接终点，指向被减向量” 的规则 简运算：化简时优先重组向量顺序，牢记向量加减的核心简化规则 建模型：物理应用场景先转化为向量模型，位移、速度分别对应对应向量，再用加减法则完成合成计算 【提分易错】 易错点：向量加减的方向混淆（作差向量的终点指向判断错误）、化简时向量首尾顺序颠倒 巧解法：所有加减运算先画示意图具象化，首尾相接定加法，共同起点定减法，复杂运算先分组抵消相反向量 📝思维创新 拓视角：建立向量运算的数形结合认知框架 典示例：完成作业时可重点关注本节第 3 题、第 4 题，尝试用三角形法则与平行四边形法则两种方法解题，深化对向量加减运算本质的理解 -------------------【教材习题·全解】-------------------- 📘【复习巩固】 1. (题型：向量加法运算的实际意义辨析) 【审题关键】紧扣向量 “大小 + 方向” 两大核心要素，明确每个基础向量的位移方向与模长，结合向量加法的运算法则，分析合向量的最终位移大小与方向，准确描述其实际意义. 【题目】如果a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km”，那么下列向量具有什么意义? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【核心技法】向量加法实际意义类题目，核心是先分类处理向量：先合并同方向、反方向的共线向量，再处理垂直方向的向量；共线向量直接叠加，垂直向量用平行四边形法则结合勾股定理计算合模长，最终必须同时明确合向量的大小与方向，完整描述位移意义. 【易错警示】① 混淆东西、南北的相反方向，导致合向量的方向判断完全错误；②多向量运算时未先合并同方向向量，步骤混乱导致模长、方向计算出错；③忽略向量的方向要素，仅描述位移的大小，未说明方向，不符合向量的定义要求. 2. (题型：向量加法的位移合成应用) 【审题关键】路程是只有大小的标量，直接代数求和即可；位移是既有大小又有方向的向量，需用向量加法的三角形法则合成. 【题目】一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行400km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成. 【核心技法】向量先通过三角形法则构建几何模型，垂直位移优先用勾股定理计算合模长，再通过三角函数确定合位移的方向（如正北、正南方向）. 【易错警示】 ①未明确夹角的参考方向，仅描述 “偏西”“偏北”，方向表述不规范、不精准； ② 忽略位移的向量属性，仅计算合位移的大小，未说明位移的方向，不符合向量的定义要求. 3. (题型：向量加法的速度合成应用) 【审题关键】船的静水航行速度与水流速度为互相垂直的向量，合速度为两向量的和，用勾股定理计算合速度大小，三角函数确定航行方向. 【题目】一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16km/h，同时河水流速的大小为4km/h.求船实际航行的速度的大小与方向（精确到1°）. 【核心技法】 垂直方向的速度合成，核心是构建直角向量模型，用勾股定理算合模长，三角函数定方向，明确夹角参考基准. 【易错警示】① 混淆静水速度与实际合速度；② 夹角参考方向选错，方向描述错误. 4. (题型：向量加减运算的代数化简) 【审题关键】紧扣向量加法的三角形法则、多边形法则与相反向量的核心性质，通过重组向量顺序、分组衔接首尾字母、优先抵消相反向量，规范完成向量加减的化简运算. 【题目】化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）. 【核心技法】 向量加减化简核心遵循两大规则：加法用 “首尾相接，和向量从首到尾” 的三角形法则，减法用 “共起点，连终点，指向被减向量” 的核心规则；优先分组让向量首尾衔接，利用相反向量抵消简化运算. 【易错警示】 ① 向量减法的终点指向判断错误，混淆差向量的方向；② 重组向量时字母顺序颠倒，导致向量方向相反；③ 零向量书写不规范，遗漏向量符号；④ 多向量运算未分组化简，步骤混乱引发符号错误. 5. (题型：向量数乘与加减混合运算的作图验证) 【审题关键】紧扣向量数乘的规则、向量加减的平行四边形、三角形法则，通过规范作图呈现向量线性运算的全过程，验证等式两侧向量的大小、方向完全一致. 【题目】作图验证： （1）；（2）. 【核心技法】 以任意两个不共线的向量为邻边作平行四边形，利用平行四边形对角线分别对应和向量与差向量，通过数乘取对角线的一半，再用加减法则作图，验证运算结果与原向量重合. 【易错警示】 ① 数乘向量的缩放比例错误，混淆二分之一的长度伸缩规则；② 向量加减的作图法则用错，混淆和向量与差向量的对应对角线；③ 作图时向量起点不统一，导致运算结果的方向、长度出现偏差. 6. (题型：向量加减运算的作图与三角形构成条件判定) 【审题关键】第一问紧扣相反向量的定义与向量加法的三角形法则，通过规范作图得到满足等式的向量；第二问紧扣向量共线与三角形三边关系的核心条件，分情况讨论判定结果. 【题目】（1）已知向量a，b，求作向量c，使. （2）（1）中表示a，b，c的有向线段能构成三角形吗? 【核心技法】第一问利用向量加法首尾相接的法则，先作出和向量，再作其相反向量即为所求向量；第二问分向量共线与不共线两种情况，结合三角形构成条件完成判定. 【易错警示】① 作图时向量首尾衔接错误，导致所求向量的方向、大小出现偏差；② 忽略向量共线的特殊情况，判定结果考虑不全面. 7. (题型：向量和差运算的作图与模长关系判定) 【审题关键】第一问紧扣向量加减的平行四边形法则、三角形法则，规范作出和向量与差向量；第二问结合和差向量的几何意义，分析两个向量的位置关系. 【题目】已知a，b为两个非零向量， （1）求作向量，； （2）当向量a，b成什么位置关系时，满足?（不要求证明） 【核心技法】和差向量作图优先用平行四边形法则，以两个向量为邻边作平行四边形，对角线分别对应和向量与差向量；模长相等的几何意义对应平行四边形对角线相等，以此推导向量位置关系. 【易错警示】① 作图时向量起点不统一，混淆和向量与差向量的对应对角线；② 差向量的方向判断错误，作图出现偏差；③ 忽略和差向量的几何意义，无法准确对应向量的位置关系. 8. (题型：向量数乘与加减混合运算的代数化简) 【审题关键】紧扣向量数乘的分配律、线性运算的运算法则，先去括号，再合并同类向量，规范完成向量的线性化简运算. 【题目】化简： （1）； （2）； （3）； （4）. 【核心技法】 向量线性化简遵循 “先去括号，再合并同类项” 的核心步骤，利用数乘分配律展开括号，再将相同向量前的系数分别合并，简化运算. 【易错警示】 ① 去括号时符号出错，漏乘括号内的项；② 数乘运算时系数计算错误，缩放比例偏差；③ 合并同类向量时混淆不同向量，导致化简结果错误. 9. (题型：向量数乘运算与共线定理的平面几何证明) 【审题关键】紧扣向量减法的三角形法则，结合数乘运算的分配律，将目标向量转化为已知向量的线性组合，完成等式证明. 【题目】如图，.求证. 【核心技法】 利用三角形法则将目标向量拆解为两个共起点向量的差，代入已知的数乘关系，通过数乘分配律提取公因子，推导出与目标边向量的数乘关系. 【易错警示】 ① 向量减法的起点终点对应错误，导致目标向量的表达式方向颠倒；② 数乘运算的分配律应用错误，系数提取出现偏差. 10. (题型：向量和的模长最值与夹角平分线的向量条件判定) 【审题关键】第一问紧扣向量加法的三角不等式，结合向量共线的特殊情况，分析和向量模长的最值范围；第二问结合向量加法的平行四边形法则，依托角平分线的几何性质，推导两个向量需满足的核心条件. 【题目】填空： （1）若a，b满足，，则的最大值为__________，最小值为____________. （2）当非零向量a，b满足___________时，平分a与b的夹角. 【核心技法】第一问利用向量和的模长三角不等式，结合向量同向、反向共线的特殊情况，确定模长的最值；第二问利用平行四边形的几何特征，角平分线对应菱形的对角线，以此推导向量的核心条件. 【易错警示】① 忽略向量共线的特殊情况，无法准确锁定模长最值的对应场景；② 混淆三角不等式的等号成立条件，最大值与最小值的对应情况颠倒. 11. (题型：平面向量数量积的运算与和差向量模长计算) 【审题关键】紧扣平面向量数量积的定义公式、数量积的运算律，以及和差向量模长的平方等于向量自身平方的核心关系，分步完成对应运算. 【题目】（1）已知，，且a与b的夹角，求，，； （2）已知，，且，求，. 【核心技法】先通过数量积定义求出两个向量的数量积，再利用完全平方公式展开和差向量的平方，结合向量平方等于模长的平方的性质，计算得到和差向量的模长. 【易错警示】① 计算数量积时，夹角的余弦值符号或数值计算错误；② 展开完全平方公式时，遗漏数量积项的系数；③ 计算模长时，忘记对平方结果开平方. 12. (题型：平面向量数量积的数乘结合律证明) 【审题关键】紧扣平面向量数量积的定义，结合数乘向量的模长与方向变化规律，分情况讨论实数的取值，完成等式的严谨证明. 【题目】求证：. 【核心技法】 利用数量积的定义，将等式两侧的数量积展开为模长与夹角余弦的乘积，结合数乘向量的模长性质、夹角的对应关系，分λ>0、λ<0、λ=0 三种情况，分步证明三组表达式两两相等. 【易错警示】 ① 忽略实数 λ 的符号对向量夹角的影响，证明过程不完整、不严谨；② 数乘向量的模长计算错误，遗漏系数的绝对值处理；③ 数量积定义应用不规范，混淆向量夹角的对应关系. ♻【综合运用】 13. (题型：平面向量线性运算在四边形形状判定中的应用) 【审题关键】紧扣相等向量、数乘向量的几何意义，结合特殊四边形的判定定理，通过向量关系分析四边形对边的位置与长度关系，进而判定四边形的形状. 【题目】根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明. （1）； （2）； （3），且. 【核心技法】 利用相等向量对应对边平行且相等、数乘向量对应对边平行且长度成比例的几何意义，先判定对边的平行关系，再结合长度关系匹配对应四边形的判定条件，完成形状判定. 【易错警示】 ① 混淆相等向量与数乘向量的几何差异，误将梯形判定为平行四边形；② 忽略向量相等同时包含平行与长度相等两个要素，判定条件不完整；③对特殊四边形的判定定理掌握不牢，混淆菱形与平行四边形的判定边界. 14. (题型：平面向量线性运算的平面几何应用，用指定基底表示向量) 【审题关键】紧扣平行线分线段成比例定理、三角形中线的核心性质，结合向量线性运算的三角形法则，以指定向量为基底，将目标向量逐步转化为基底的线性组合. 【题目】在中，，，且与边AC相交于点E，的中线 AM与DE相交于点N.设，，用a，b分别表示向量，，，，，，. 【核心技法】先利用平行线的性质确定线段的比例关系，得到对应向量的数乘关系，再通过向量加减的三角形法则，将目标向量拆解为基底向量的和或差，完成用基底表示目标向量的转化. 【易错警示】① 平行线分线段成比例的对应比例关系搞错，导致向量的数乘系数错误；② 三角形中线的向量性质应用错误；③ 向量加减的三角形法则中，起点终点对应错误，引发向量方向、符号偏差. 15. (题型：平面向量线性运算的四边形向量恒等式证明) 【审题关键】紧扣向量中点的线性表示性质，结合向量加法的多边形法则，将等式两侧的向量拆解为以中点为节点的向量和，通过等量代换完成恒等式的严谨证明. 【题目】如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证：. 【核心技法】 利用向量加法的三角形法则，将目标向量拆分为含中点对应向量的表达式，结合中点对应的相等向量关系，通过多组向量表达式相加消元，推导出最终的恒等关系. 【易错警示】 ①中点对应的向量相等关系应用错误，混淆相等向量与相反向量；②多组向量相加消元时，遗漏项或符号处理错误，导致推导逻辑断裂. 16. (题型：平面向量位移的实际应用，解三角形方位角问题) 【审题关键】紧扣方位角的几何定义，结合位移的向量属性，分析三角形的边角关系，通过特殊三角形的判定求解位移的大小与方位. 【题目】飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地.画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向?丙地距甲地多远? 【核心技法】先根据方位角确定三角形的内角，结合两段位移的长度相等判定三角形形状，再通过角度运算确定相对方位，同步得到两地距离. 【易错警示】① 北偏西、南偏东的方位角方向判断错误；② 方位角的角度对应关系混淆，无法正确推导三角形夹角；③ 特殊三角形的判定条件应用错误，引发距离与方位的计算失误. 17. (题型：平面向量加法的多边形法则应用与推广证明) 【审题关键】紧扣向量加法的三角形法则，也就是多边形法则，利用首尾相接的向量和的运算规律，从三角形、四边形的特殊情况，推广到 n 边形的一般情况，完成向量运算与结论证明. 【题目】（1）如图（1），在中，计算； （2）如图（2），在四边形ABCD中，计算； （3）如图（3），在n边形中，证明你的结论. 【核心技法】利用向量加法的三角形法则，逐步合并首尾相接的向量，推导闭合多边形的向量和规律；n 边形的结论可通过逐步合并向量，或数学归纳法完成严谨证明，提炼通用结论. 【易错警示】① 向量加法的首尾衔接顺序错误，导致向量合并结果偏差；② 混淆向量的起点与终点，错误判断向量和的最终结果；③ n 边形推广证明时，归纳逻辑不严谨，遗漏闭合向量的关键作用. 18. (题型：平面向量数量积的运算与向量夹角求解) 【审题关键】紧扣平面向量数量积的运算律、数量积的定义公式，先展开数量积的多项式运算，结合向量平方等于模长平方的性质，求出两个向量的数量积，再通过数量积定义反解夹角的余弦值，最终确定夹角大小. 【题目】已知，，且，求a与b的夹角. 【核心技法】先利用多项式乘法展开数量积的表达式，代入已知的模长求出，再根据求解，结合向量夹角的取值范围确定最终的夹角. 【易错警示】① 展开数量积多项式时，漏乘项或符号计算错误；② 混淆向量平方与模长平方的关系，数值计算偏差；③ 忽略向量夹角的取值范围，导致夹角结果错误. 19. (题型：平面向量和的模长运算与向量夹角求解) 【审题关键】紧扣和向量模长的平方等于向量自身平方的核心性质，结合平面向量数量积的定义，先展开模长的平方求出两个向量的数量积，再反解夹角的余弦值，最终通过常见角度的余弦值对应关系或计算工具确定符合精度要求的夹角大小. 【题目】已知，，且，求a与b的夹角（精确到1°）.（可用计算工具） 【核心技法】先对两边同时平方，利用完全平方公式展开，代入已知的模长求出，再根据求解，结合常见角度的余弦值对应关系或计算工具（如计算器的余弦值反查功能），得到符合精度要求的夹角，同时严格遵循向量夹角的取值范围. 【易错警示】① 对和向量模长平方展开时，遗漏数量积项的系数 2，导致计算错误；② 向量平方与模长平方的转换失误，数值代入出现偏差；③ 计算余弦值后，未结合常见角度的余弦值对应关系或计算工具，导致角度确定错误. 20. (题型：平面向量数量积的运算与垂直关系的等价证明) 【审题关键】紧扣平面向量数量积的分配律，以及向量垂直的充要条件（数量积为零），分充分性和必要性两部分，完成等价关系的严谨证明. 【题目】已知a是非零向量，，求证：. 【核心技法】 充分性（⇒）：由利用数量积分配律得，结合为非零向量，推得. 必要性（⇐）：由，根据垂直充要条件得，展开后即得. 【易错警示】① 忽略为非零向量的条件，导致垂直关系的推导不严谨；②数量积分配律应用时符号或项数出错；③ 混淆充分性与必要性的证明方向，导致逻辑链条断裂. 🔍【拓广探索】 21. (题型：平面向量投影向量计算与三角形外接圆性质综合应用) 【审题关键】紧扣向量加法的平行四边形法则、外接圆的几何性质，以及投影向量的定义公式，通过向量关系推导出三角形的边角特征，再代入投影公式计算. 【题目】已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为( ). A. B. C. D. 【核心技法】先利用向量加法的平行四边形法则确定外接圆圆心的位置，结合外接圆性质判定三角形的形状与角度，再根据投影向量的定义公式，代入已知的模长与角度计算投影向量. 【易错警示】① 对向量加法的平行四边形法则应用错误，无法正确确定外接圆圆心的位置；② 忽略外接圆直径所对圆周角为直角的性质，导致三角形角度判断失误；③ 投影向量的定义公式混淆，分子分母的模长与点积关系处理错误. 22. (题型：平面向量线性运算在平行四边形中的应用，用指定基底表示向量) 【审题关键】紧扣平行四边形对边向量相等的核心性质，结合向量减法的三角形法则，将目标向量转化为已知向量的线性组合，完成基底表示. 【题目】如图，O是平行四边形ABCD外一点，用，，表示. 【核心技法】利用平行四边形中AD=BC的性质，通过向量减法将其转化为OD−OA=OC−OB，再整理得到OD的表达式. 【易错警示】① 混淆平行四边形中向量的方向，导致向量相等关系应用错误；② 向量减法的起点终点对应错误，引发符号偏差；③ 整理表达式时移项符号处理失误，导致结果错误. 23. (题型：平面向量线性运算与四边形形状判定的综合应用) 【审题关键】紧扣向量加法的平行四边形法则，将向量等式转化为四边形对边向量的关系，进而判定四边形的形状. 【题目】已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式. （1）作出满足条件的四边形ABCD. （2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想. 【核心技法】将向量等式变形为，即，利用向量相等对应对边平行且相等的性质，判定四边形为平行四边形. 【易错警示】① 向量等式变形时符号处理错误，导致对边向量关系判断失误；② 忽略向量相等同时包含平行与长度相等两个要素，判定条件不完整. 24. (题型：平面向量数量积与圆的几何性质综合应用，数量积可求性判断) 【审题关键】紧扣平面向量数量积的定义，结合圆的半径、弦长与三角形的几何关系，分析数量积的表达式是否仅依赖半径或弦长，判断其可求性. 【题目】如图，在中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出的值? 【核心技法】利用向量数量积的定义，结合圆中△CAB为等腰三角形（CA=CB 为半径）的性质，通过余弦定理或投影法将数量积转化为半径或弦长的表达式，进而判断是否可求. 【易错警示】① 混淆向量数量积的定义，错误认为仅需一个量即可求出数量积；② 忽略圆中三角形的几何关系，无法正确转化数量积表达式；③ 对等腰三角形的性质应用不熟练，导致角度或边长关系判断失误，进而影响可求性判断. -------------------【素养强化·专练】------------------- 一、单选题 1.如图，在正六边形ABCDEF中，( ) A.0 B. C. D. 2.化简得( ) A. B. C. D. 3.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则( ) A. B. C. D. 4.八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了很多自然、社会现象.图1所示的是八卦模型图，其外轮廓可看成图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则( ) A. B. C. D. 5.如图所示，在正方形中，E为的中点，F为的中点，则( ) A. B. C. D. 6.若，，向量与向量的夹角为120°，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 7.已知非零向量满足的夹角的余弦值为，且，则实数k的值为( ) A.18 B.24 C.32 D.36 二、多选题 8.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列计算错误的是( ) A. B. C. D. 9.下列结果为零向量的是( ) A. B. C. D. 10.已知，，下列叙述正确的是( ) A. B.与a方向相同 C.是单位向量 D.若，则 三、填空题 11.如图所示，在梯形ABCD中，，AC与BD交于O点，则____. 12.如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为点P，且，则____________. 13.如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数___________. 四、解答题 14.已知为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足. （1）将用表示； （2）证明：四边形ABCD为梯形. 15.已知非零向量满足，且. （1）求. （2）当时，求向量与的夹角的值. 16已知中，延长BA到C，使，D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC与OA交于点E，设，. （1）用a，b表示向量，； （2）若，求实数的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 平面向量的运算（教材课后题 全解与加练讲义） 【人教A版】 -----------------【教材习题·精要】------------------- 📝【习题考向】 意义类：向量加减运算的实际位移意义辨析（基础入门，贴合生活场景） 作图类：向量加减的三角形法则、平行四边形法则作图（基础核心，必考基础） 合成类：向量加减在物理位移、速度场景的合成应用（基础应用，高频考点） 化简类：向量线性加减的代数化简（核心基础，后续运算必备） 📝【解题通法】 定法则：加法运算优先使用三角形法则、平行四边形法则；减法运算遵循 “共同起点，连接终点，指向被减向量” 的规则 简运算：化简时优先重组向量顺序，牢记向量加减的核心简化规则 建模型：物理应用场景先转化为向量模型，位移、速度分别对应对应向量，再用加减法则完成合成计算 【提分易错】 易错点：向量加减的方向混淆（作差向量的终点指向判断错误）、化简时向量首尾顺序颠倒 巧解法：所有加减运算先画示意图具象化，首尾相接定加法，共同起点定减法，复杂运算先分组抵消相反向量 📝思维创新 拓视角：建立向量运算的数形结合认知框架 典示例：完成作业时可重点关注本节第 3 题、第 4 题，尝试用三角形法则与平行四边形法则两种方法解题，深化对向量加减运算本质的理解 -------------------【教材习题·全解】-------------------- 📘【复习巩固】 1. (题型：向量加法运算的实际意义辨析) 【审题关键】紧扣向量 “大小 + 方向” 两大核心要素，明确每个基础向量的位移方向与模长，结合向量加法的运算法则，分析合向量的最终位移大小与方向，准确描述其实际意义. 如果a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km”，那么下列向量具有什么意义? 【题目】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【解析】（1）向东走20km； （2）向东走5km； （3）向东北走； （4）向西南走； （5）向西北走； （6）向东南走； 【核心技法】向量加法实际意义类题目，核心是先分类处理向量：先合并同方向、反方向的共线向量，再处理垂直方向的向量；共线向量直接叠加，垂直向量用平行四边形法则结合勾股定理计算合模长，最终必须同时明确合向量的大小与方向，完整描述位移意义. 【易错警示】① 混淆东西、南北的相反方向，导致合向量的方向判断完全错误；②多向量运算时未先合并同方向向量，步骤混乱导致模长、方向计算出错；③忽略向量的方向要素，仅描述位移的大小，未说明方向，不符合向量的定义要求. 2. (题型：向量加法的位移合成应用) 【审题关键】路程是只有大小的标量，直接代数求和即可；位移是既有大小又有方向的向量，需用向量加法的三角形法则合成. 【题目】一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行400km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成. 【解析】飞机飞行的路程为700km；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行500km. 【核心技法】向量先通过三角形法则构建几何模型，垂直位移优先用勾股定理计算合模长，再通过三角函数确定合位移的方向（如正北、正南方向）. 【易错警示】 ①未明确夹角的参考方向，仅描述 “偏西”“偏北”，方向表述不规范、不精准； ② 忽略位移的向量属性，仅计算合位移的大小，未说明位移的方向，不符合向量的定义要求. 3. (题型：向量加法的速度合成应用) 【审题关键】船的静水航行速度与水流速度为互相垂直的向量，合速度为两向量的和，用勾股定理计算合速度大小，三角函数确定航行方向. 【题目】一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16km/h，同时河水流速的大小为4km/h.求船实际航行的速度的大小与方向（精确到1°）. 【解析】设船的航行速度为，水流速度为，船的实际航行速度为v，v与的夹角为，则 .由，得. 船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角. 【核心技法】 垂直方向的速度合成，核心是构建直角向量模型，用勾股定理算合模长，三角函数定方向，明确夹角参考基准. 【易错警示】① 混淆静水速度与实际合速度；② 夹角参考方向选错，方向描述错误. 4. (题型：向量加减运算的代数化简) 【审题关键】紧扣向量加法的三角形法则、多边形法则与相反向量的核心性质，通过重组向量顺序、分组衔接首尾字母、优先抵消相反向量，规范完成向量加减的化简运算. 【题目】化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）. 【答案】（1）0（2）（3）（4）0（5）0（6）（7）0 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. （5）原式. （6）原式. （7）原式. 【核心技法】 向量加减化简核心遵循两大规则：加法用 “首尾相接，和向量从首到尾” 的三角形法则，减法用 “共起点，连终点，指向被减向量” 的核心规则；优先分组让向量首尾衔接，利用相反向量抵消简化运算. 【易错警示】 ① 向量减法的终点指向判断错误，混淆差向量的方向；② 重组向量时字母顺序颠倒，导致向量方向相反；③ 零向量书写不规范，遗漏向量符号；④ 多向量运算未分组化简，步骤混乱引发符号错误. 5. (题型：向量数乘与加减混合运算的作图验证) 【审题关键】紧扣向量数乘的规则、向量加减的平行四边形、三角形法则，通过规范作图呈现向量线性运算的全过程，验证等式两侧向量的大小、方向完全一致. 【题目】作图验证： （1）； （2）. 【解析】如图，在平行四边形ABCD中，设，，则，. （1）因为，所以. （2）因为，所以. 【核心技法】 以任意两个不共线的向量为邻边作平行四边形，利用平行四边形对角线分别对应和向量与差向量，通过数乘取对角线的一半，再用加减法则作图，验证运算结果与原向量重合. 【易错警示】 ① 数乘向量的缩放比例错误，混淆二分之一的长度伸缩规则；② 向量加减的作图法则用错，混淆和向量与差向量的对应对角线；③ 作图时向量起点不统一，导致运算结果的方向、长度出现偏差. 6. (题型：向量加减运算的作图与三角形构成条件判定) 【审题关键】第一问紧扣相反向量的定义与向量加法的三角形法则，通过规范作图得到满足等式的向量；第二问紧扣向量共线与三角形三边关系的核心条件，分情况讨论判定结果. 【题目】（1）已知向量a，b，求作向量c，使. （2）（1）中表示a，b，c的有向线段能构成三角形吗? 【解析】（1）略. （2）当a，b共线时，不能构成三角形，当a，b不共线时能构成三角形. 【核心技法】第一问利用向量加法首尾相接的法则，先作出和向量，再作其相反向量即为所求向量；第二问分向量共线与不共线两种情况，结合三角形构成条件完成判定. 【易错警示】① 作图时向量首尾衔接错误，导致所求向量的方向、大小出现偏差；② 忽略向量共线的特殊情况，判定结果考虑不全面. 7. (题型：向量和差运算的作图与模长关系判定) 【审题关键】第一问紧扣向量加减的平行四边形法则、三角形法则，规范作出和向量与差向量；第二问结合和差向量的几何意义，分析两个向量的位置关系. 【题目】已知a，b为两个非零向量， （1）求作向量，； （2）当向量a，b成什么位置关系时，满足?（不要求证明） 【解析】（1）略. （2）当时，满足. 【核心技法】和差向量作图优先用平行四边形法则，以两个向量为邻边作平行四边形，对角线分别对应和向量与差向量；模长相等的几何意义对应平行四边形对角线相等，以此推导向量位置关系. 【易错警示】① 作图时向量起点不统一，混淆和向量与差向量的对应对角线；② 差向量的方向判断错误，作图出现偏差；③ 忽略和差向量的几何意义，无法准确对应向量的位置关系. 8. (题型：向量数乘与加减混合运算的代数化简) 【审题关键】紧扣向量数乘的分配律、线性运算的运算法则，先去括号，再合并同类向量，规范完成向量的线性化简运算. 【题目】化简： （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）；（2）；（3）；（4）. 【核心技法】 向量线性化简遵循 “先去括号，再合并同类项” 的核心步骤，利用数乘分配律展开括号，再将相同向量前的系数分别合并，简化运算. 【易错警示】 ① 去括号时符号出错，漏乘括号内的项；② 数乘运算时系数计算错误，缩放比例偏差；③ 合并同类向量时混淆不同向量，导致化简结果错误. 9. (题型：向量数乘运算与共线定理的平面几何证明) 【审题关键】紧扣向量减法的三角形法则，结合数乘运算的分配律，将目标向量转化为已知向量的线性组合，完成等式证明. 【题目】如图，.求证. 【解析】因为，而，， 所以. 【核心技法】 利用三角形法则将目标向量拆解为两个共起点向量的差，代入已知的数乘关系，通过数乘分配律提取公因子，推导出与目标边向量的数乘关系. 【易错警示】 ① 向量减法的起点终点对应错误，导致目标向量的表达式方向颠倒；② 数乘运算的分配律应用错误，系数提取出现偏差. 10. (题型：向量和的模长最值与夹角平分线的向量条件判定) 【审题关键】第一问紧扣向量加法的三角不等式，结合向量共线的特殊情况，分析和向量模长的最值范围；第二问结合向量加法的平行四边形法则，依托角平分线的几何性质，推导两个向量需满足的核心条件. 【题目】填空： （1）若a，b满足，，则的最大值为__________，最小值为____________. （2）当非零向量a，b满足___________时，平分a与b的夹角. 【答案】（1）5，1；（2）. 【解析】（1），当且仅当a，b同向时取等号，. 又，当且仅当a，b反向时取等号，. （2）当时，为以a，b为邻边的平行四边形的对角线，此时的平行四边形为菱形，对角线恰好平分a与b的夹角. 【核心技法】第一问利用向量和的模长三角不等式，结合向量同向、反向共线的特殊情况，确定模长的最值；第二问利用平行四边形的几何特征，角平分线对应菱形的对角线，以此推导向量的核心条件. 【易错警示】① 忽略向量共线的特殊情况，无法准确锁定模长最值的对应场景；② 混淆三角不等式的等号成立条件，最大值与最小值的对应情况颠倒. 11. (题型：平面向量数量积的运算与和差向量模长计算) 【审题关键】紧扣平面向量数量积的定义公式、数量积的运算律，以及和差向量模长的平方等于向量自身平方的核心关系，分步完成对应运算. 【题目】（1）已知，，且a与b的夹角，求，，； （2）已知，，且，求，. 【解析（1）； ； . （2）. . 【核心技法】先通过数量积定义求出两个向量的数量积，再利用完全平方公式展开和差向量的平方，结合向量平方等于模长的平方的性质，计算得到和差向量的模长. 【易错警示】① 计算数量积时，夹角的余弦值符号或数值计算错误；② 展开完全平方公式时，遗漏数量积项的系数；③ 计算模长时，忘记对平方结果开平方. 12. (题型：平面向量数量积的数乘结合律证明) 【审题关键】紧扣平面向量数量积的定义，结合数乘向量的模长与方向变化规律，分情况讨论实数的取值，完成等式的严谨证明. 【题目】求证：. 【解析】（1）设a，b的夹角为，当时，，， ，，成立. （2）当时，与a同向，与b同向，与b的夹角为，a与的夹角为. ， ，， 成立. （3）当时，与a反向，与b反向，与b的夹角为，a与b的夹角为. ， ， ，成立. 综上可知，原等式成立. 【核心技法】 利用数量积的定义，将等式两侧的数量积展开为模长与夹角余弦的乘积，结合数乘向量的模长性质、夹角的对应关系，分λ>0、λ<0、λ=0 三种情况，分步证明三组表达式两两相等. 【易错警示】 ① 忽略实数 λ 的符号对向量夹角的影响，证明过程不完整、不严谨；② 数乘向量的模长计算错误，遗漏系数的绝对值处理；③ 数量积定义应用不规范，混淆向量夹角的对应关系. ♻【综合运用】 13. (题型：平面向量线性运算在四边形形状判定中的应用) 【审题关键】紧扣相等向量、数乘向量的几何意义，结合特殊四边形的判定定理，通过向量关系分析四边形对边的位置与长度关系，进而判定四边形的形状. 【题目】根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明. （1）； （2）； （3），且. 【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，证明如下：，且， 且四边形ABCD是平行四边形. （2）四边形ABCD是梯形，证明如下： ，，.又，，即.四边形ABCD是梯形. （3）四边形ABCD是菱形，证明如下： ，且，且，四边形ABCD是平行四边形. 又，，四边形ABCD是菱形. 【核心技法】 利用相等向量对应对边平行且相等、数乘向量对应对边平行且长度成比例的几何意义，先判定对边的平行关系，再结合长度关系匹配对应四边形的判定条件，完成形状判定. 【易错警示】 ① 混淆相等向量与数乘向量的几何差异，误将梯形判定为平行四边形；② 忽略向量相等同时包含平行与长度相等两个要素，判定条件不完整；③对特殊四边形的判定定理掌握不牢，混淆菱形与平行四边形的判定边界. 14. (题型：平面向量线性运算的平面几何应用，用指定基底表示向量) 【审题关键】紧扣平行线分线段成比例定理、三角形中线的核心性质，结合向量线性运算的三角形法则，以指定向量为基底，将目标向量逐步转化为基底的线性组合. 【题目】在中，，，且与边AC相交于点E，的中线 AM与DE相交于点N.设，，用a，b分别表示向量，，，，，，. 【解析】如图， ，，，，，， . 【核心技法】先利用平行线的性质确定线段的比例关系，得到对应向量的数乘关系，再通过向量加减的三角形法则，将目标向量拆解为基底向量的和或差，完成用基底表示目标向量的转化. 【易错警示】① 平行线分线段成比例的对应比例关系搞错，导致向量的数乘系数错误；② 三角形中线的向量性质应用错误；③ 向量加减的三角形法则中，起点终点对应错误，引发向量方向、符号偏差. 15. (题型：平面向量线性运算的四边形向量恒等式证明) 【审题关键】紧扣向量中点的线性表示性质，结合向量加法的多边形法则，将等式两侧的向量拆解为以中点为节点的向量和，通过等量代换完成恒等式的严谨证明. 【题目】如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证：. 【解析】连接EB，EC（图略）. ， . 【核心技法】 利用向量加法的三角形法则，将目标向量拆分为含中点对应向量的表达式，结合中点对应的相等向量关系，通过多组向量表达式相加消元，推导出最终的恒等关系. 【易错警示】 ①中点对应的向量相等关系应用错误，混淆相等向量与相反向量；②多组向量相加消元时，遗漏项或符号处理错误，导致推导逻辑断裂. 16. (题型：平面向量位移的实际应用，解三角形方位角问题) 【审题关键】紧扣方位角的几何定义，结合位移的向量属性，分析三角形的边角关系，通过特殊三角形的判定求解位移的大小与方位. 【题目】飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地.画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向?丙地距甲地多远? 【答案】丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km. 【解析】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km. 【审题关键】紧扣方位角的几何定义，结合位移的向量属性，分析三角形的边角关系，通过特殊三角形的判定求解位移的大小与方位. 【核心技法】先根据方位角确定三角形的内角，结合两段位移的长度相等判定三角形形状，再通过角度运算确定相对方位，同步得到两地距离. 【易错警示】① 北偏西、南偏东的方位角方向判断错误；② 方位角的角度对应关系混淆，无法正确推导三角形夹角；③ 特殊三角形的判定条件应用错误，引发距离与方位的计算失误. 17. (题型：平面向量加法的多边形法则应用与推广证明) 【审题关键】紧扣向量加法的三角形法则，也就是多边形法则，利用首尾相接的向量和的运算规律，从三角形、四边形的特殊情况，推广到 n 边形的一般情况，完成向量运算与结论证明. 【题目】（1）如图（1），在中，计算； （2）如图（2），在四边形ABCD中，计算； （3）如图（3），在n边形中，证明你的结论. 【解析】（1）. （2）. （3）. 证明如下： …. 【核心技法】利用向量加法的三角形法则，逐步合并首尾相接的向量，推导闭合多边形的向量和规律；n 边形的结论可通过逐步合并向量，或数学归纳法完成严谨证明，提炼通用结论. 【易错警示】① 向量加法的首尾衔接顺序错误，导致向量合并结果偏差；② 混淆向量的起点与终点，错误判断向量和的最终结果；③ n 边形推广证明时，归纳逻辑不严谨，遗漏闭合向量的关键作用. 18. (题型：平面向量数量积的运算与向量夹角求解) 【审题关键】紧扣平面向量数量积的运算律、数量积的定义公式，先展开数量积的多项式运算，结合向量平方等于模长平方的性质，求出两个向量的数量积，再通过数量积定义反解夹角的余弦值，最终确定夹角大小. 【题目】已知，，且，求a与b的夹角. 【解析】， 于是可得，，所以. 【核心技法】先利用多项式乘法展开数量积的表达式，代入已知的模长求出，再根据求解，结合向量夹角的取值范围确定最终的夹角. 【易错警示】① 展开数量积多项式时，漏乘项或符号计算错误；② 混淆向量平方与模长平方的关系，数值计算偏差；③ 忽略向量夹角的取值范围，导致夹角结果错误. 19. (题型：平面向量和的模长运算与向量夹角求解) 【审题关键】紧扣和向量模长的平方等于向量自身平方的核心性质，结合平面向量数量积的定义，先展开模长的平方求出两个向量的数量积，再反解夹角的余弦值，最终通过常见角度的余弦值对应关系或计算工具确定符合精度要求的夹角大小. 【题目】已知，，且，求a与b的夹角（精确到1°）. （可用计算工具） 【解析】，，， ，用计算器算得. 【核心技法】先对两边同时平方，利用完全平方公式展开，代入已知的模长求出，再根据求解，结合常见角度的余弦值对应关系或计算工具（如计算器的余弦值反查功能），得到符合精度要求的夹角，同时严格遵循向量夹角的取值范围. 【易错警示】① 对和向量模长平方展开时，遗漏数量积项的系数 2，导致计算错误；② 向量平方与模长平方的转换失误，数值代入出现偏差；③ 计算余弦值后，未结合常见角度的余弦值对应关系或计算工具，导致角度确定错误. 20. (题型：平面向量数量积的运算与垂直关系的等价证明) 【审题关键】紧扣平面向量数量积的分配律，以及向量垂直的充要条件（数量积为零），分充分性和必要性两部分，完成等价关系的严谨证明. 【题目】已知a是非零向量，，求证：. 【解析】证法1：. 证法2：设，，. 先证.，. 由得.即. 而，所以. 再证.由得， 即，因此. 【核心技法】 充分性（⇒）：由利用数量积分配律得，结合为非零向量，推得. 必要性（⇐）：由，根据垂直充要条件得，展开后即得. 【易错警示】① 忽略为非零向量的条件，导致垂直关系的推导不严谨；②数量积分配律应用时符号或项数出错；③ 混淆充分性与必要性的证明方向，导致逻辑链条断裂. 🔍【拓广探索】 21. (题型：平面向量投影向量计算与三角形外接圆性质综合应用) 【审题关键】紧扣向量加法的平行四边形法则、外接圆的几何性质，以及投影向量的定义公式，通过向量关系推导出三角形的边角特征，再代入投影公式计算. 【题目】已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，由知O为BC的中点， 又O为的外接圆圆心，.，. 为正三角形，，在上的投影向量为，故选A. 【核心技法】先利用向量加法的平行四边形法则确定外接圆圆心的位置，结合外接圆性质判定三角形的形状与角度，再根据投影向量的定义公式，代入已知的模长与角度计算投影向量. 【易错警示】① 对向量加法的平行四边形法则应用错误，无法正确确定外接圆圆心的位置；② 忽略外接圆直径所对圆周角为直角的性质，导致三角形角度判断失误；③ 投影向量的定义公式混淆，分子分母的模长与点积关系处理错误. 22. (题型：平面向量线性运算在平行四边形中的应用，用指定基底表示向量) 【审题关键】紧扣平行四边形对边向量相等的核心性质，结合向量减法的三角形法则，将目标向量转化为【题目】已知向量的线性组合，完成基底表示. 如图，O是平行四边形ABCD外一点，用，，表示. 【答案】 【解析】. 【核心技法】利用平行四边形中AD=BC的性质，通过向量减法将其转化为OD−OA=OC−OB，再整理得到OD的表达式. 【易错警示】① 混淆平行四边形中向量的方向，导致向量相等关系应用错误；② 向量减法的起点终点对应错误，引发符号偏差；③ 整理表达式时移项符号处理失误，导致结果错误. 23. (题型：平面向量线性运算与四边形形状判定的综合应用) 【审题关键】紧扣向量加法的平行四边形法则，将向量等式转化为四边形对边向量的关系，进而判定四边形的形状. 【题目】已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式. （1）作出满足条件的四边形ABCD. （2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想. 【答案】（1）平行四边形 （2）四边形ABCD为平行四边形，证明见解析 【解析】（1）作图略，通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形. （2）四边形ABCD为平行四边形. 证明：因为，所以，因为，， 所以，即，因此四边形ABCD为平行四边形. 【核心技法】将向量等式变形为，即，利用向量相等对应对边平行且相等的性质，判定四边形为平行四边形. 【易错警示】① 向量等式变形时符号处理错误，导致对边向量关系判断失误；② 忽略向量相等同时包含平行与长度相等两个要素，判定条件不完整. 24. (题型：平面向量数量积与圆的几何性质综合应用，数量积可求性判断) 【审题关键】紧扣平面向量数量积的定义，结合圆的半径、弦长与三角形的几何关系，分析数量积的表达式是否仅依赖半径或弦长，判断其可求性. 【题目】如图，在中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出的值? 【答案】 【解析】只与弦AB的长度有关，与半径无关.理由如下：设的半径为r，AB的长度为2a， 取AB的中点D，连接CD，则. 在中，，，， . 【核心技法】利用向量数量积的定义，结合圆中△CAB为等腰三角形（CA=CB 为半径）的性质，通过余弦定理或投影法将数量积转化为半径或弦长的表达式，进而判断是否可求. 【易错警示】① 混淆向量数量积的定义，错误认为仅需一个量即可求出数量积；② 忽略圆中三角形的几何关系，无法正确转化数量积表达式；③ 对等腰三角形的性质应用不熟练，导致角度或边长关系判断失误，进而影响可求性判断. ---------------------------【素养强化·专练】------------------------ 一、单选题 1.如图，在正六边形ABCDEF中，( ) A.0 B. C. D. 【答案】D 【解析】由正六边形ABCDEF得，， 所以. 故选D. 2.化简得( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】. 故选：C. 3.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，设，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量，则a与长度相等，方向相同，所以. 故选C. 4.八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了很多自然、社会现象.图1所示的是八卦模型图，其外轮廓可看成图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题图可得. 故选B. 5.如图所示，在正方形中，E为的中点，F为的中点，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】利用向量的三角形法则，可得，， 为的中点，F为的中点，则，， ， 又，. 故选D. 6.若，，向量与向量的夹角为120°，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在的投影向量是. 故选D. 7.已知非零向量满足的夹角的余弦值为，且，则实数k的值为( ) A.18 B.24 C.32 D.36 【答案】A 【解析】由可设，则.因为，所以. 故选A. 二、多选题 8.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列计算错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，得，所以A不符合题意；，所以B符合题意； ，所以C符合题意；，所以D不符合题意. 故选BC. 9.下列结果为零向量的是( ) A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】A项，； B项，； C项，； D项，. 故选BCD. 10.已知，，下列叙述正确的是( ) A. B.与a方向相同 C.是单位向量 D.若，则 【答案】AC 【解析】因为，，所以由向量数乘的概念知，A项正确；当时，的方向与a的方向相同；当时，的方向与a的方向相反；当时，，故B项错误；因为，故C项正确；由得，又，所以，解得或，故D项错误. 选AC. 三、填空题 11.如图所示，在梯形ABCD中，，AC与BD交于O点，则_______. 【答案】 【解析】. 12.如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为点P，且，则_____________. 【答案】18 【解析】设AC与BD交于点O，，则.由可知，在上的投影的数量为，故，即. 13.如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数___________. 【答案】 【解析】因为，所以，故，因为B，P，N三点共线，所以，解得. 四、解答题 14.已知为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足. （1）将用表示； （2）证明：四边形ABCD为梯形. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】(1). (2)因为，所以根据数乘向量的定义知与同向， 且，所以在四边形ABCD中，，且，所以四边形ABCD为梯形. 15.已知非零向量满足，且. （1）求. （2）当时，求向量与的夹角的值. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)因为，即.所以，故. (2)因为，又，故. 16已知中，延长BA到C，使，D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC与OA交于点E，设，. （1）用a，b表示向量，； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）由题意知A是BC的中点，则，所以， 易知，则. （2）因为，，且， 所以，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $