1.2 整式的乘法 同步练习 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

1.2整式的乘法 一．单项式乘单项式（共10小题） 1．计算：2x•（﹣3x2）＝（　　） A．﹣6x2 B．﹣6x3 C．6x2 D．6x3 2．如果单项式﹣3man2a+b与m3n2b+2是同类项，那么这两个单项式的积是（　　） A．﹣3m6n20 B．3m6n20 C．﹣3m3n10 D．﹣9m3n20 3．若单项式﹣3x3ya+4与是同类项，则这两个单项式的积是　 　 ． 4．计算： 　 　 ． 5．在等式a•（﹣a）•（　　）＝a10中，括号内的代数式应是（　　） A．a6 B．（﹣a）6 C．﹣a8 D．（﹣a）7 6．计算： （1）3ab2•（a2b）•2abc； （2）﹣（a2b）3+2a2b•（﹣3a2b）2； （3） （﹣3a3）2•3a3+（﹣4a）2•a7+（﹣5a3）3；（4）（﹣x）2•2x3•（﹣2y）3+（﹣2xy）2•（﹣x）3y． 7．小明计算一道整式乘法题：﹣2x3m+1y2n•7xn+6y5，由于小明将第一个单项式中的3m+1抄成了2m+1，将第二个单项式中的n+6抄成了6﹣n，结果得到﹣14x8y11． （1）根据上述信息，分别计算出m，n的值； （2）请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 8．定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则3n⊗n的运算结果是　 　 ． 9．计算： （1）m2•3m4•（m2）3； （2）（﹣a）3•（b3）2+（2ab2）3． 10． 已知单项式﹣2x3m+1y2n与7x﹣3y﹣3﹣m的积与5x4y是同类项，求m，n的值． 二．单项式乘多项式（共9小题） 11．计算：5x（2x2﹣3x）＝　 　 ． 12．已知一个多项式与单项式﹣7x5y4的积为7y•（2x6y3）﹣28x7y4，则这个多项式为　 　 ． 13．已知mn2＝﹣2，则mn•（﹣n﹣mn3+m2n5）＝　 　 ． 14．计算： （1）（x﹣3y）（﹣xy3）2； （2）（3x+1）（x﹣2）． 15．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式x（x﹣2）+3的值为　 　 ． 16．已知M＝x2﹣ax，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5，若M•N+P的值与x的取值无关，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．5 D．4 17．如图，将一边为m，另一边分别为a，b，c的三个长方形拼在一起组成一个新长方形，用不同的方法表示新长方形的面积可以说明下列等式成立的是（　　） A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）m＝（b+c）m C．a（a+b+c）＝a2+ab+ac D．ma+mb+mc＝a2+b2+c2 18．若﹣5x2（x2+ax）+5x2+2的展开式中不含x3项，则a＝　 　 ． 19．计算：（﹣4x2）（3x+1）＝　 　 ． 三．多项式乘多项式（共12小题） 20．计算：（x﹣3）（2x+1）＝　 　 ． 21．计算（2m﹣n）（m+3n）的结果正确的是（　　） A．2m2+5mn+3n2 B．2m2﹣5mn﹣3n2 C．2m2+5mn﹣3n2 D．2m2+7mn﹣3n2 22．若，则p+q的值为　 　 ． 23．若（x+a）（x+b）＝x2﹣9x+14，则a，b的值分别是（　　） A．﹣2，﹣7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．2，7 24．若（x2﹣3x﹣2）（ax+1）的结果中不含有x的一次项，则a的值为　 　 ． 25．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于把a抄错成了4，得到的结果为6x2+10x﹣4；乙由于把b抄错成了6，得到的结果为6x2+3x﹣18．则a﹣b＝　 　 ． 26．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的长方形，需要B类卡片（　　） A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 27．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式（x+8）（x﹣■）时，得到了以下4个不相同的结果，甲：x2﹣7x+120；乙：x2+7x﹣120；丙：x2﹣7x﹣120；丁：x2﹣23x+120．已知四位同学中只有1人计算正确，且“■”处的数字是正数，则计算结果正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 28．计算： （1）﹣2a2（3ab2﹣5ab3+1）； （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）； （3）4xy（3x2+2xy﹣1）； （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）． 29． 若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12，求xy的值． 30．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的两个正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图3可以解释的等式是　 　 ； （2）用9张边长为a的正方形纸片，12张长为b、宽为a的长方形纸片，4张边长为b的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长； （3）用5张长为b，宽为a的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为S1、S2．通过观察可以发现，CD的长度固定不变，BC的长度会发生改变．若无论BC取何值，2S2﹣3S1的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽a与长b需要满足的数量关系． 31．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为 　 　 ；（a+b）21展开式共有 　 　 项，第19项系数为 　 　 ； （2）根据上面的规律，写出（a+b）7的展开式：　 　 ； （3）利用上面的规律计算：35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1． 一．选择题（共9小题） 题号 1 2 5 16 17 21 23 26 27 答案 B A C A A C A D C 一．单项式乘单项式（共10小题） 1．计算：2x•（﹣3x2）＝（　　） A．﹣6x2 B．﹣6x3 C．6x2 D．6x3 【分析】根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加． 【解答】解：根据单项式乘法法则可得： 原式＝2×（﹣3）×x1×x2＝﹣6×x1+2＝﹣6x3， 故选：B． 【点评】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是关键． 2．如果单项式﹣3man2a+b与m3n2b+2是同类项，那么这两个单项式的积是（　　） A．﹣3m6n20 B．3m6n20 C．﹣3m3n10 D．﹣9m3n20 【分析】先根据同类项的定义求出a、b的值，再根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：∵单项式﹣3man2a+b与m3n2b+2是同类项， ∴a＝3，2a+b＝2b+2， ∴b＝4， ∴2a+b＝10， ∴这两个单项式是﹣3m3n10、m3n10， ∴﹣3m3n10•m3n10＝﹣3m6n20， 故选：A． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，同类项，正确计算是解题的关键． 3．若单项式﹣3x3ya+4与是同类项，则这两个单项式的积是　﹣x6y8 ． 【分析】先根据同类项的定义写出这两个单项式，再根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：根据题意得b﹣3＝3，a+4＝4， ∴这两个单项式是﹣3x3y4、， ∴x6y8， 故答案为：﹣x6y8． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．计算： 　﹣4x3y3z ． 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：4x3y3z， 故答案为：﹣4x3y3z． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．在等式a•（﹣a）•（　　）＝a10中，括号内的代数式应是（　　） A．a6 B．（﹣a）6 C．﹣a8 D．（﹣a）7 【分析】先求出等号左边的已知部分，再用同底数幂的乘法法则进行选择． 【解答】解：等式可以化简为： ﹣a2•（　　）＝a10， ∴（　　）＝﹣a10﹣2， （　　）＝﹣a8， 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，运用同底数幂的除法进行求解． 6．计算： （1）3ab2•（a2b）•2abc； （2）﹣（a2b）3+2a2b•（﹣3a2b）2； （3）（﹣3a3）2•3a3+（﹣4a）2•a7+（﹣5a3）3； （4）（﹣x）2•2x3•（﹣2y）3+（﹣2xy）2•（﹣x）3y． 【分析】（1）根据单项式乘单项式的计算方法进行计算即可； （2）根据幂的乘方，单项式乘单项式以及合并同类项法则进行计算即可； （3）根据幂的乘方，单项式乘单项式以及合并同类项法则进行计算即可； （4）根据幂的乘方，单项式乘单项式以及合并同类项法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝3×（）×2a•a2a•b2•b•bc ＝﹣2a4b4c； （2）原式＝﹣a6b3+2a2b•9a4b2 ＝﹣a6b3+18a6b3 ＝17a6b3； （3）原式＝9a6•3a3+16a2•a7﹣125a9 ＝27a9+16a9﹣125a9； ＝﹣82a9； （4）原式＝x2•2x3•（﹣8y3）+（4x2y2）•（﹣x3y） ＝﹣16x5y3+（﹣4x5y3） ＝﹣20x5y3． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式以及合并同类项，掌握幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式以及合并同类项法则是正确解答的关键． 7．小明计算一道整式乘法题：﹣2x3m+1y2n•7xn+6y5，由于小明将第一个单项式中的3m+1抄成了2m+1，将第二个单项式中的n+6抄成了6﹣n，结果得到﹣14x8y11． （1）根据上述信息，分别计算出m，n的值； （2）请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【分析】（1）由题意得﹣2x2m+1y2n•7x6﹣ny5＝﹣14x8y11，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解方程即可； （2）将m，n的值代入原式中计算即可． 【解答】解：（1）由题意得﹣2x2m+1y2n•7x6﹣ny5＝﹣14x8y11， 则﹣14x2m+7﹣ny2n+5＝﹣14x8y11， 那么2m+7﹣n＝8，2n+5＝11， 解得：m＝2，n＝3； （2）∵m＝2，n＝3， ∴原式＝﹣2x7y6•7x9y5＝﹣14x16y11． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则3n⊗n的运算结果是　5n2 ． 【分析】根据新定义运算即可求解． 【解答】解：∵a⊗b＝2ab﹣b2， ∴3n⊗n＝2•3n•n﹣n2＝6n2﹣n2＝5n2． 故答案为：5n2． 【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式，合并同类项的定义是关键． 9．计算： （1）m2•3m4•（m2）3； （2）（﹣a）3•（b3）2+（2ab2）3． 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘单项式即可得到答案； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【解答】解：（1）原式＝m2•3m4•m6＝3m12； （2）原式＝﹣a3b6+8a3b6＝7a3b6． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，掌握相关计算法则是关键． 10．已知单项式﹣2x3m+1y2n与7x﹣3y﹣3﹣m的积与5x4y是同类项，求m，n的值． 【分析】根据单项式的乘法，可得单项式，根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案． 【解答】解：（﹣2x3m+1y2n）•（7x﹣3y﹣3﹣m） ＝﹣14x3m+1﹣3y2n﹣3﹣m， ＝﹣14x3m﹣2y2n﹣3﹣m． 由同类项， 得， 解得：． 【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式运算法则以及同类项的定义，得出关于m，n的等式是解题关键． 二．单项式乘多项式（共9小题） 11．计算：5x（2x2﹣3x）＝　10x3﹣15x2 ． 【分析】去括号，运用单项式乘多项式即可求值． 【解答】解：根据单项式乘多项式运算法则可得： 5x（2x2﹣3x）＝10x3﹣15x2， 故答案为：10x3﹣15x2． 【点评】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是关键． 12．已知一个多项式与单项式﹣7x5y4的积为7y•（2x6y3）﹣28x7y4，则这个多项式为　4x2﹣2x ． 【分析】根据题意，所求多项式等于已知积除以给定的单项式，利用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵一个多项式与单项式﹣7x5y4的积为7y•（2x6y3）﹣28x7y4， ∴所求的多项式为：[7y•（2x6y3）﹣28x7y4]÷（﹣7x5y4） ＝（14x6y4﹣28x7y4）÷（﹣7x5y4） ＝14x6y4÷（﹣7x5y4）﹣28x7y4÷（﹣7x5y4） ＝﹣2x+4x2 ＝4x2﹣2x． 故答案为：4x2﹣2x． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 13．已知mn2＝﹣2，则mn•（﹣n﹣mn3+m2n5）＝　﹣10　 ． 【分析】将原式展开后，再根据幂的乘方、积的乘方逆运算变形，然后将mn2＝﹣2进行代入计算． 【解答】解：原式＝mn•（﹣n）+mn•（﹣mn3）+mn•（m2n5）＝﹣mn2﹣m2n4+m3n6， 由已知mn2＝﹣2，得m2n4＝（mn2）2＝4， m3n6＝（mn2）3＝﹣8， 代入上式：﹣（﹣2）﹣4+（﹣8）＝2﹣4﹣8＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 14．计算： （1）（x﹣3y）（﹣xy3）2； （2）（3x+1）（x﹣2）． 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法即可求解； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（x﹣3y）x2y6 ＝x•x2y6﹣3y•x2y6 ＝x3y6﹣3x2y7； （2）原式＝3x•x﹣3x•2+x﹣2 ＝3x2﹣6x+x﹣2 ＝3x2﹣5x﹣2． 【点评】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． 15．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式x（x﹣2）+3的值为　2　 ． 【分析】先把x（x﹣2）+3变形为x2﹣2x+3，然后利用整体代入求值即可． 【解答】解：∵x2﹣2x+1＝0， ∴x2﹣2x＝﹣1， ∴x（x﹣2）+3 ＝x2﹣2x+3 ＝﹣1+3 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，代数式求值，掌握相应的运算法则是关键． 16．已知M＝x2﹣ax，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5，若M•N+P的值与x的取值无关，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．5 D．4 【分析】把已知条件中的M，N和P代入M•N+P进行化简，根据M•N+P的值与x的取值无关，列出关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：∵M＝x2﹣ax，N＝﹣x，P＝x3+3x+5， ∴M•N+P ＝﹣x（x2﹣ax）+x3+3x2+5 ＝﹣x3+ax2+x3+3x2+5 ＝（a+3）x2+5， ∵M•N+P的值与x的取值无关， ∴a+3＝0， 解得：a＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则． 17．如图，将一边为m，另一边分别为a，b，c的三个长方形拼在一起组成一个新长方形，用不同的方法表示新长方形的面积可以说明下列等式成立的是（　　） A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）m＝（b+c）m C．a（a+b+c）＝a2+ab+ac D．ma+mb+mc＝a2+b2+c2 【分析】用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【解答】解：m（a+b+c）＝ma+mb+mc， 故选：A． 【点评】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 18．若﹣5x2（x2+ax）+5x2+2的展开式中不含x3项，则a＝　0　 ． 【分析】根据题意先将原式展开，然后将含x3的项进行合并，最后令其系数为0即可求出a的值． 【解答】解：原式＝﹣5x4﹣5ax3+5x2+2， 因为不含x3项， 所以﹣5a＝0， 解得：a＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查单项式乘以多项式，关键是根据题意先将原式展开． 19．计算：（﹣4x2）（3x+1）＝　﹣12x3﹣4x2 ． 【分析】利用多项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：（﹣4x2）（3x+1） ＝（﹣4x2）•3x+（﹣4x2）•1 ＝﹣12x3﹣4x2． 故答案为：﹣12x3﹣4x2． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式法则是解决本题的关键． 三．多项式乘多项式（共12小题） 20．计算：（x﹣3）（2x+1）＝　2x2﹣5x﹣3　 ． 【分析】直接根据多项式乘多项式的运算法则求解即可． 【解答】解：原式＝2x2﹣6x+x﹣3 ＝2x2﹣5x﹣3， 故答案为：2x2﹣5x﹣3． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则是关键． 21．计算（2m﹣n）（m+3n）的结果正确的是（　　） A．2m2+5mn+3n2 B．2m2﹣5mn﹣3n2 C．2m2+5mn﹣3n2 D．2m2+7mn﹣3n2 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【解答】解：原式＝2m2+6mn﹣mn﹣3n2＝2m2+5mn﹣3n2， 故选：C． 【点评】本题考查了多项式乘多项式．熟练掌握运算法则是关键． 22．若，则p+q的值为　　 ． 【分析】先利用多项式乘多项式的运算法则展开左式，再根据多项式相等的条件求出p、q的值，进而代入代数式计算即可求解． 【解答】解：， 由条件可知， ∴，q＝2， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，多项式相等的条件，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 23．若（x+a）（x+b）＝x2﹣9x+14，则a，b的值分别是（　　） A．﹣2，﹣7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．2，7 【分析】a+b为一次项系数，ab是常数项解答即可． 【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2﹣9x+14， ∴a+b＝﹣9，ab＝14， ∴a，b的值可能分别是﹣2，﹣7． 故选：A． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 24．若（x2﹣3x﹣2）（ax+1）的结果中不含有x的一次项，则a的值为　　 ． 【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x2﹣3x﹣2）（ax+1）＝ax3+（1﹣3a）x2+（﹣2a﹣3）x﹣2不含x的一次项， ∴﹣2a﹣3＝0， 解得a． 故答案为：． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 25．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于把a抄错成了4，得到的结果为6x2+10x﹣4；乙由于把b抄错成了6，得到的结果为6x2+3x﹣18．则a﹣b＝　﹣2　 ． 【分析】求出（2x+a）（3x+b）＝6x2+（3a+2b）x+ab．先根据多项式乘多项式运算法则求出（2x+a）（3x+b）＝6x2+（3a+2b）x+ab，再分别求出b＝﹣1，a＝﹣3，最后求出结果即可． 【解答】解：甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于把a抄错成了4，得到的结果为6x2+10x﹣4； （2x+a）（3x+b）＝6x2+（3a+2b）x+ab， ∵甲把a抄错成了4，得到的结果为6x2+10x﹣4， ∴4b＝﹣4， 解得：b＝﹣1， ∵乙把b抄错成了6，得到的结果为6x2+3x﹣18， ∴6a＝﹣18， 解得：a＝﹣3， ∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣3+1＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． 26．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的长方形，需要B类卡片（　　） A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 【分析】根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得． 【解答】解：∵拼成的长方形的长为：2a+b、宽为：a+2b， ∴长方形的面积为： （2a+b）（a+2b） ＝2a2+4ab+ab+2b2 ＝2a2+5ab+2b2， ∴需要B类卡片的张数为5ab÷（ab）＝5（张）． 故选：D． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 27．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式（x+8）（x﹣■）时，得到了以下4个不相同的结果，甲：x2﹣7x+120；乙：x2+7x﹣120；丙：x2﹣7x﹣120；丁：x2﹣23x+120．已知四位同学中只有1人计算正确，且“■”处的数字是正数，则计算结果正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据题意求出“■”处的数，进而得出答案． 【解答】解：由题意可知，“■”处的数为120÷8＝15， 则（x+8）（x﹣15）＝x2﹣7x﹣120． 故选：C． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，理解题意是解题的关键． 28．计算： （1）﹣2a2（3ab2﹣5ab3+1）； （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）； （3）4xy（3x2+2xy﹣1）； （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）． 【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）根据多项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣6a3b2+10a3b3﹣2a2． （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y） ＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy ＝﹣3x2+xy﹣6y2． （3）4xy（3x2+2xy﹣1） ＝4xy×3x2+4xy×2xy﹣4xy×1 ＝12x3y+8x2y2﹣4xy． （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6） ＝（2x+4）（2x+3）﹣（3﹣3x）（x+6） ＝4x2+6x+8x+12﹣（3x+18﹣3x2﹣18x） ＝4x2+14x+12﹣（18﹣3x2﹣15x） ＝4x2+14x+12﹣18+3x2+15x ＝7x2+29x﹣6． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 29．若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12，求xy的值． 【分析】先将（x+2）（y+2）展开，再利用已知条件x+y＝3整体代入，即可求解xy的值． 【解答】解：（x+2）（y+2）＝12， xy+2x+2y+4＝12， xy+2（x+y）＝8， 又∵x+y＝3， ∴xy＝8﹣2（x+y）＝2． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 30．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的两个正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图3可以解释的等式是　（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b ； （2）用9张边长为a的正方形纸片，12张长为b、宽为a的长方形纸片，4张边长为b的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长； （3）用5张长为b，宽为a的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为S1、S2．通过观察可以发现，CD的长度固定不变，BC的长度会发生改变．若无论BC取何值，2S2﹣3S1的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽a与长b需要满足的数量关系． 【分析】（1）根据图示，大长方形的面积为两个小正方形（边长为a），一个大正方形（边长为b），三个长方形（长为b、宽为a）的面积和，由此即可求解； （2）边长为a的正方形纸片a2，长为b、宽为a的长方形纸片的面积为ab，边长为b的正方形纸片的面积为b2，用不同数量的纸片拼成大正方形，由此即可求解； （3）设BC的长为x，根据图示可知，S1＝b（x﹣3a），S2＝2a（x﹣b），由此即可求2S2﹣3S1，根据题意有4a﹣3b＝0，由此即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知，大长方形的面积为：（2a+b）（a+b）， 两个小正方形（边长为a），一个大正方形（边长为b），三个长方形（长为b、宽为a）的面积和为：2a2+b2+3ab， ∴（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2． 故答案为：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2； （2）根据题意可知，9张边长为a的正方形纸片的面积为：9a2， 12张长为b、宽为a的长方形纸片的面积为：12ab， 4张边长为b的正方形纸片的面积为：4b2， ∴拼成一个大正方形的面积为：9a2+12ab+4b2， ∴大正方形的边长为：， ∵a＞0，b＞0， ∴3a+2b＞0， ∴． ∴大正方形的边长为3a+2b； （3）根据题意，设BC的长为x， ∴S1＝b（x﹣3a）＝bx﹣3ab，S2＝2a（x﹣b）＝2ax﹣2ab， ∴2S2﹣3S1 ＝2（2ax﹣2ab）﹣3（bx﹣3ab） ＝4ax﹣4ab﹣3bx+9ab ＝4ax﹣3bx﹣4ab+9ab ＝（4a﹣3b）x+5ab， ∴2S2﹣3S1＝（4a﹣3b）x+5ab， ∵无论无论BC取何值，即x取任何实数，2S2﹣3S1的结果始终保持不变， ∴（4a﹣3b）x+5ab中含x项的系数为零， ∴4a﹣3b＝0，即4a＝3b． 【点评】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 31．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为 　6　 ；（a+b）21展开式共有 　22　 项，第19项系数为 　1330　 ； （2）根据上面的规律，写出（a+b）7的展开式：a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7 ； （3）利用上面的规律计算：35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1． 【分析】（1）根据表中数据特点即可求出括号内数字；先找出规律，再求解即可； （2）根据图示顺推即可得到（a+b）7展开式； （3）根据（a+b）5展开式，令a＝3，b＝﹣1时代入展开式即可得到所求代数式的值． 【解答】解：（1）此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律， 图中括号内的数为3+3＝6， （a+b）1＝a+b展开式有1+1＝2项， （a+b）2＝a2+2ab+b2，展开式有2+1＝3项， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，展开式有3+1＝4项， （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，展开式有4+1＝5项， （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5展开式有5+1＝6项，第 4项为； 以此类推，（a+b）n展开式中共有（n+1）项， ∴（a+b）21展开式共有 22项，第4项系数为，根据对称性可知第19项系数为1330， 故答案为：6；22；1330； （2）根据图示，（a+b）7＝a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7． 故答案为：a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7； （3）∵（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 当a＝3，b＝﹣1时，（3﹣1）5＝35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1， ∴原式＝32． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，数字的变化规律，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/18 23:02:06；用户：18806632931；邮箱：18806632931；学号：21352465 学科网（北京）股份有限公司 $