专题 1.16 整式的乘除（单元培优卷）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.16 整式的乘除（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 4．（25-26七年级上·重庆·期末）若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26八年级上·山西长治·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 7．（20-21七年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河北邢台·期末）下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 10．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算： ． 12．（25-26七年级上·上海·期末）若的展开式中不含x的一次项，则 ． 13．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于 ． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 15．（24-25八年级上·河南周口·月考）已知 ，则 的值为 ． 16．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）下列说法；①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的说法是 ． 17．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图1，将长方形纸片裁成形状、大小都相同的八块直角三角形，用其中四块拼成如图2所示的大正方形，经测量，图1中长方形纸片的周长为32，面积为56．则图2最中间的小正方形的面积为 ． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2) 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)； (3) 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，已知满足． 23．（本小题满分10分）（22-23八年级上·北京西城·期中）探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ， ， ， …… (1)设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______； (2)小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程： ，，，…… ①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______； ②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）； ③利用发现的规律计算： ______； ④请用所学知识证明②中的规律． 24．（本小题满分12分）（22-23七年级下·辽宁沈阳·月考）材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________； ②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________； 材料二：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 问题： （3）若，则的值为________； （4）试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.16 整式的乘除（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，计算正确，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘、除法法则是解决问题的关键． 利用幂的乘方法则，同底数幂的乘、除法法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 4．（25-26七年级上·重庆·期末）若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题． 【详解】解：， ∵展开的结果中不含项， ∴，解得：， 故选：A． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。 【详解】解：∵代数式是完全平方式， ∴ ①当时， ， ∴ ②当时， ， ∴ 综上，的值为或． 故答案为：C． 6．（25-26八年级上·山西长治·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先简化代数式，发现它等于，然后代入已知条件即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 7．（20-21七年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查整式除以的应用，完全平方公式的计算，由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为4，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】解：设拼成的矩形一边长为x， 则依题意得：， 解得，， 故选：C． 8．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 9．（25-26八年级上·河北邢台·期末）下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，负整数指数幂，零指数幂，多项式的除法．逐一检查每道题，第一题指数运算错误，第二题科学记数法计算错误，第三题和第四题正确． 【详解】解：∵① ，∴错误； ∵② ，∴错误； ∵③ ，，，∴正确； ∵④ 宽 = ，∴正确； ∴共做对2道题． 故选：C． 10．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误。 通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 由图可得展开式的系数依次为：1，4，6，4，1， 因此展开式的系数依次为：1，5，10，10，5，1， 所以， 所以展开式中含项为从左向右第4项，系数为10． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方逆运算，利用指数运算法则，将原式化为同指数幂的乘积，再计算底数乘积的幂． 【详解】解： 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海·期末）若的展开式中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过多项式乘法，确定展开式中x的一次项系数，并令其为零求解． 【详解】解：的展开式中，的一次项由与相乘、与相乘得到， 即的一次项系数为：， 因不含的一次项， 故， 解得． 故答案为． 13．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了正方体相对面上的文字，倒数的定义，负整数指数幂； 先根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个正方形，且没有公共边和公共顶点，以此来找相对面，再根据相对面上的两个数字互为倒数求出a，b，c的值，最后代入计算即可求解． 【详解】解：由图可得：“a”与“4”相对， “b”与“2”相对， “c”与“”相对， ∵相对面上的两个数互为倒数， ∴，，， ∴， 故答案为：． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的应用、有理数的乘法运算．利用平方差公式对每一个式子因式分解，再把结果相乘即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河南周口·月考）已知 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，以及求代数式的值，先计算积的乘方运算，再根据单项式除以单项式得出，，进而求出a，b的值，再计算单项式除以单项式，最后再代入a，b的值计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， 解得：，， ∴ ， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）下列说法；①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的说法是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了幂的运算的逆用和利用完全平方公式、平方差公式变形求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．①根据，即可判断；②根据，即可判断；③由，即可判断；④由，易知，进而可得，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴，故①错误； ∵，， ∴，故②正确； ∵，则，故③正确； ∵， ∴，即， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 17．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图1，将长方形纸片裁成形状、大小都相同的八块直角三角形，用其中四块拼成如图2所示的大正方形，经测量，图1中长方形纸片的周长为32，面积为56．则图2最中间的小正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多项式的运算与图形面积，涉及完全平方公式的灵活运用，准确理解题意是解题的关键． 用a、b分别表示每个直角三角形的直角边，则所求小正方形的面积即为两直角边差的平方，依据题意可列出代数式的关系式，再经过适当的变形与整体代入即可求得结果． 【详解】大小都相同的八块直角三角形中，较短的直角边长度设为a，较长的直角边长度设为b，如图． 根据题意得：，即 ∴小正方形的面积． 故答案为：8． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先用幂的乘方，再计算同底数幂相乘，然后合并同类项； （2）先计算积的乘方、幂的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式法则计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先逆用积的乘方计算，根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，已知满足． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）先根据整式的运算法则和乘法公式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解； （）先根据整式的运算法则和乘法公式进行化简，再根据非负数的性质求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的混合运算化简求值，非负数的性质，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， ， ∴，， ，， ∴原式． 23．（本小题满分10分）（22-23八年级上·北京西城·期中）探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ， ， ， …… (1)设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______； (2)小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程： ，，，…… ①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______； ②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）； ③利用发现的规律计算： ______； ④请用所学知识证明②中的规律． 【答案】(1) (2)①相同，；②，；③；④见解析 【分析】（1）根据题目式子得出其规律即可； （2）①根据题意可知两位数的十位上的数字相同，个位上的数字的和等于； ②若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为，将两数的积拆成一个四位数和一个两位数的和，然后找出其规律即可； ③直接运用②中得出的规律计算即可； ④运用整式的混合运算法则进行计算，然后分别提取公因式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：； （2）①由题意可得：两位数的十位上的数字相同，个位上的数字的和等于， 故答案为：相同，； ②由①得：若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n， 则另一个两位数的个位上的数字为， ∵， ， ∴以上两位数相乘的规律是， 故答案为：，； ③， 故答案为：； ④ 【点睛】本题考查了规律型中的数字变化类，整式的混合运算，读懂题意，根据题目所给式子得出其规律是解本题的关键． 24．（本小题满分12分）（22-23七年级下·辽宁沈阳·月考）材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________； ②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________； 材料二：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 问题： （3）若，则的值为________； （4）试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）①；②；（3）4；（4）存在，，，原式最小值为2023 【分析】（1）将整个图形当作一个正方形和作为9个长方形或正方形求面积即可得解； （2）根据（1）可得，进而整体代入即可求解； （3）将原式变形为两个完全平方式与一个常数的和，利用偶次方的非负性即可求解y的值，进而求解； （4）将原式变形为两个完全平方式的和，利用偶次方的非负性即可求解； 【详解】解：（1）将整个图形当作一个正方形，则面积为， 将整个图形当作9个长方形或正方形，则面积为， ∴， 故答案为，，； （2）①∵，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴故答案为 ②∵， ∴， ∴即， ∵， ∴， 故答案为； （3）∵， ∴即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （4）存在， 原式    当，时，原式最小 ，，原式最小值为2023． 【点睛】本题主要考查了完全平方式与几何图形的关系以及求代数式的值，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $