2.6.1 函数的单调性（2)含参函数的单调性课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦含参函数单调性研究，系统覆盖导函数为一元一次、二次、指数、对数、三角型的分类讨论，通过情境引入衔接导数正负与单调性的基础，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“四步曲”分类标准和五步解题通法构建逻辑框架，结合数学思维的推理意识与数学语言的规范表达，如一元二次型按“系数-判别式-根”有序讨论，助力学生形成严谨思维，教师可直接利用典例与分层练习提升教学实效。

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第二章 导数及其应用 互动设计 2.6.1 函数的单调性（2） （研究含参函数的单调性） 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【知识要点】 【典型例题】 导函数为「一元一次型」（最简单） 导函数为「一元二次型」（考试最常考） 导函数为「指数型」 导函数为「对数型」 导函数为「三角型」 导函数为「一元一次型」（最简单） 导函数为「一元二次型」（考试最常考） 导函数为「指数型」 导函数为「对数型」 导函数为「三角型」 互动设计课程 学 习 目 标 含参求区间分类讨论 返回主页 利用导数研究函数的单调性，其核心是分析导函的正负性。当函数中含有参数时，导函数的符号可能会随参数取值的变化而变化，因此需要进行分类讨论。 探 求 新 知 返回主页 导函数为「一元一次型」（最简单） 导函数为「一元二次型」（考试最常考） 导函数为「指数型」 导函数为「对数型」 导函数为「三角型」 解题通法 求定义域：确定函数 f(x) 的定义域 D。 求导函数：计算 并尽可能进行因式分解或化简。 分析导函数：分的符号变化情况，关键在于研究其分子（主导函数）的符号。 分类讨论：根据参数在导函数中的位置，确定分类标准，做到“不重不漏”。 写结论：综合所有情况，写出函数 f(x) 的单调区间。 分类讨论的“四步曲” 最高次项系数：若导函数为二次型，且二次项系数含参，需先讨论系数为零、大于零、小于零的情况。 判别式 ∆：讨论方程 0 有无实根。 根的大小：若有两个根，需讨论两根的大小关系。 根与定义域：讨论根是否在函数的定义域内。 5 类精讲：一元一次型、一元二次型、指数型、对数型、三角型 导函数为「一元一次型」（最简单） 特征：f'(x)=kx+b（含参一次函数） 讨论核心：一次项系数是否为 0 → 定斜率 → 定单调性 ,, 导函数为「一元二次型」（考试最常考） 特征：f'(x)=a+bx+c 讨论顺序（固定模板）： 1. 二次项系数是否为 0（是否真二次） 2. 开口方向 3. 判别式 Δ（有无零点） 4. 两根大小、与定义域关系 零点： 讨论： - （即 ）： - （即 ）： ， 在 单调递增 - （即 ）： 已知函数 ， 。讨论 的单调区间。 求导： 。这是一个二次函数，需按“系数-判别式-根”的顺序讨论。 2.讨论判别式： 。 情况一：当 即 时， 恒成立（开口向上），故 在 上单调递增。 情况二：当 即 或 时， 有两个不等实根： 。 此时 的解集为 或 ； 的解集为 。 写结论： 当 时， 在 上单调递增； 当 或 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减。 变式训练1 已知函数 （ ）。讨论 的单调区间。 导函数为「指数型」 特征：含 、 核心：指数恒正，只讨论剩下的多项式/常数 ：， 上递增 ：令 ，，递减 ，，递增 导函数为「对数型」 特征：含 ，定义域优先 核心：通分、因式分解，只看分子符号 ：， 递增 ： ，，递减 ，，递增 导函数为「三角型」 特征：含 核心：值域 + 周期性 + 给定区间讨论 典 例 铺 路 导数为一元一次型 导数为一元二次型 含指数函数型 含对数函数型 含三角函数型 导数为一元一次型 已知函数 ，讨论 的单调性。 提示： 。 - 当 时， 恒成立， 在 上单调递增。 - 当 时，令 得 ，则 在 和 上递增，在 上递减。 导数为一元一次型 2. 设函数 ，求 的单调区间。 提示： 定义域 ，。 - 当 时， 恒成立， 在 上递增。 - 当 时，令 得 ，则 在 上递增，在 上递减。 导数为一元二次型 3. 已知函数 ，讨论 的单调性。 提示： ，判别式 。 - 当 即 时，， 恒成立， 在 上递增。 - 当 或 时，， 有两根 ，则 在 和 上递增，在 上递减。 导数为一元二次型 4. 函数 ，求 的单调区间。 。 - 当 时，， 在 上递增。 - 当 时， 得 或 ，递增区间为 和 ，递减区间为 。 - 当 时，递增区间为 和 ，递减区间为 。 含指数函数型 5. 已知函数 ，讨论 的单调性。 。 - 当 时， 恒成立， 在 上递增。 - 当 时，令 得 ，则 在 上递减，在 上递增。 含指数函数型 6. 设函数 ，其中 ，求 的单调区间。 。 令 ，判别式 。由于 恒成立， 有两根 。则 在 和 上递增，在 上递减。 含对数函数型 7. 已知函数 ，讨论 的单调性。 。 令 ，判别式 。由于 恒成立， 有两根 。则 在 和 上递增，在 上递减。 含对数函数型 7. 已知函数 ，讨论 的单调性。 定义域 ，。 令 得 ，即 。 - 当 时，；当 时，。 所以 在 上递减，在 上递增。 含对数函数型 已知函数 ，求单调区间。 当 时， 恒成立， 递增。 - 当 时，令 得 ，则 在 上递增，在 上递减。 含三角函数型 9.已知函数 在区间 上单调，求 的取值范围。 ，在 上 。 若 在 上递增，则 恒成立，即 恒成立，需 ； 若递减，则 。所以 或 。 含三角函数型 10. 设函数 ，求 在 上的单调性（讨论 ）。 。在 上，， 从 递减到 ，所以 的值域需分析。由于 递增，乘积复杂，通常需要讨论 与最值的关系。可简化为：令 ，求其最值，然后根据 判断 的符号。 随 堂 演 练 返回主页 【1】 题目：已知函数 ，讨论 在区间 上的单调性。 分析提示：求导后导数为一次函数，按对称轴与区间的位置关系分类。 【2】 练习二：二次函数型导数（开口方向不定） 题目：设函数 ，其中 ，讨论 的单调性。 分析提示：，需比较两根 和 的大小。 【3】 练习三：导数含参且定义域受限 题目：已知函数 ，其中 。 - (1) 讨论 的单调性； - (2) 若 在 上单调递减，求 的取值范围。分析提示：注意定义域 ，。 【4】 练习四：指数/对数混合型（较难） 题目：设函数 ，其中 。 - (1) 讨论 的单调性； - (2) 若 对任意 恒成立，求 的值。 分析提示：，需讨论 和 两种情况。 【5】 练习五：综合应用（双参数或隐含条件） 题目：已知函数 ，其中 。 - (1) 当 时，求 的单调区间； - (2) 讨论 的单调性； - (3) 若 在 上单调递增，求 的取值范围。 分析提示： 1 步骤 内容 第一步 求定义域 第二步 计算 ，尽量因式分解 第三步 找临界点（ 的根或导数不存在的点） 第四步 按参数分类讨论，画出导数符号图 第五步 确定原函数的单调区间 41 2. 常见分类标准： 二次型导数：开口方向、判别式、根的大小、根与定义域/区间的关系 一次型导数：斜率正负、根的位置 42 $