8.3 实数及其简单运算 知识点专项训练 2025-2026学年下人教版七年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期七年级数学 8.3 实数及其简单运算 知识点专项训练答案解析 一、单选题 1．下列实数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，实数分有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数），据此对各选项判断即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数 B．，2是整数，属于有理数 C．是无限不循环小数，属于无理数 D．，4是整数，属于有理数 故选C． 2．下列各数中，绝对值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义及实数的大小比较． 先求出各数的绝对值，再比较大小即可得出结果． 【详解】解：∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是， ，，，， 又， 绝对值最小的数是． 故选：C． 3．实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义．先求给定实数的倒数，再求该倒数的相反数，即可得到结果， 【详解】解：实数的倒数， 则的相反数是2， 即实数的倒数的相反数是2， 故选：C． 4．下列各数：3.1415，，0，，，3.253553555…（相邻两个3之间5的个数逐次加1），其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：3.1415是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；是无限循环小数，属于有理数；中是无限不循环小数，故是无限不循环小数，属于无理数；3.253553555…（相邻两个3之间5的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数 ∴无理数共有2个， 故选：B． 5．已知整数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，关键是找到与50相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而求出m的值． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵，且m为整数， ∴； 故选：D. 6．下列选项正确的是（   ） A．的平方根是 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 【答案】D 【分析】本题需根据平方根、算术平方根、立方根的定义，以及实数的除法运算，解题关键在于需熟练掌握相关定义．根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、，4的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，即有理数除以无理数的商不一定是无理数，原说法错误，不符合题意； D、，原说法正确，符合题意． 故选：D． 7．如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴；根据开方估算出在哪两个整数之间，再结合数轴得出答案即可． 【详解】解：， ， 数轴上表示实数的可能是Q点； 故选：B． 8．下列各组实数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题需依据算术平方根、立方根、绝对值的定义，分别计算每组中的两个实数，再判断是否相等，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，，故，符合题意； B、，，故，不符合题意； C、，故，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 9．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，通过找到与被开方数相邻的两个平方数，确定无理数的范围，再进行简单运算得到最终式子的范围． 【详解】解： 即 即 的值在和之间 故选：B． 10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到数字变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、 ，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是， ∵ ∴表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 同理可得， 可知以，两个数循环出现， ∵， ∴， 故选：B． 11．对于正数，规定，例如：，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，由已知可得，即得，根据规律将式子分组配对计算，再加上的值即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 从到与到共有对，每对和为，和为， 又∵， ∴原式， 故选：． 12．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 13．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 14．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 二、填空题 15．在实数，，，，0，中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】根据无理数的定义，逐个判断每个实数： 是有理数； 是无理数； 是无理数； 是有理数；0 是有理数； 是有理数，因此无理数有 2 个 【详解】- 是分数，分子和分母都是整数，因此属于有理数； - 是无理数， 是无理数，因为有理数与无理数之和为无理数； - = = ， 是无理数，因此 是无理数； - = -4，是整数，因此属于有理数； - 0 是整数，因此属于有理数； - 是循环小数，可化为分数 ，因此属于有理数； 无理数有 2 个， 故答案为2 16．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，算术平方根的定义与性质，掌握转化思想是解题关键． 将转化为​，再根据“被开方数大，算术平方根大”的性质比较与的大小，进而得出与的大小关系． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 17． ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算加法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 18．在三个数中，最大的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，正数大于零，负数小于零；对于负数，绝对值大的反而小．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 19．已知a是的整数部分，则 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算．利用夹逼法求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴的整数部分是7，即， 故答案为：7． 20．对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据新定义的运算规则，先计算内层运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：首先计算 ， 然后计算 ， 故答案为：． 21．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 22．规定一种新的运算，那 ． 【答案】 【分析】本题考查新运算的定义，解题关键在于理解新运算的规则，将行列式中的元素代入公式 进行计算即可求解. 【详解】解：由运算定义，， 故答案为：. 23．已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，整式的加减，利用绝对值的性质化简绝对值是解题的关键．根据点的位置，可得,，根据绝对值的性质化简绝对值，然后可得答案． 【详解】解：根据数轴可得，,， ∴ ∴ 故答案为：． 24．规定：用表示大于m的最小整数，例如：；用表示不大于m的最大整数，例如：，，．如果整数x满足关系式：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，定义新运算，根据，，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 25．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于 ． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 三、解答题 26．请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，根据立方根，算术平方根的性质进行化简，进行解答即可； （2）根据立方根，算术平方根的性质进行化简，进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】（1）10或26（2） 【分析】本题考查的是相反数，倒数，平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分的含义． （1）先求解，，，再进一步代入计算即可． （2）先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1） 由题意可得：，，， 原式 当时，原式； 当时，原式． （2）∵， ∴整数部分为4， ∴； ∵， ∴整数部分为3， ∴， ∴． 29．阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为 (2)6 【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值． （1）根据题干中的方法即可求出结果； （2）根据题意可得，，，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分是3，小数部分为． （2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分， ∴，，， ∴. 30．对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)10 (2)14 (3)15或或10 【分析】本题考查了整式加减，有理数的混合运算，绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题的关键． （1）根据新运算定义，先判断的奇偶性，再列式计算； （2）先判断的奇偶性，再列式计算； （3）先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，为偶数， ∴ ． （2）解：∵，为奇数， ∴， ∴， ∵整数a，b，， ∴，， ∴， 整理得， ∴． （3）解：∵一定为偶数， ∴是偶数， 当a为奇数时， ， ①当a为负奇数时得， ∴， 解得舍去； ②当a为正奇数时，得， ∴， 解得； 当a为偶数时， ， ①当a为负偶数时得 ， ∴， 解得， ②当a为正偶数时得 ， ∴， 解得， 综上所述：a的值为15或或10． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期七年级数学 8.3 实数及其简单运算 知识点专项训练 一、单选题 1．下列实数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各数中，绝对值最小的是（    ） A． B． C． D． 3．实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 4．下列各数：3.1415，，0，，，3.253553555…（相邻两个3之间5的个数逐次加1），其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知整数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．下列选项正确的是（   ） A．的平方根是 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 7．如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 8．下列各组实数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．对于正数，规定，例如：，，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 13．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 14．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 二、填空题 15．在实数，，，，0，中，无理数有 个． 16．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 17． ． 18．在三个数中，最大的是 ． 19．已知a是的整数部分，则 20．对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 21．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是 ． 22．规定一种新的运算，那 ． 23．已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 24．规定：用表示大于m的最小整数，例如：；用表示不大于m的最大整数，例如：，，．如果整数x满足关系式：，则 ． 25．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于 ． 三、解答题 26．请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 27．计算： (1)； (2)． 28．（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 29．阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 30．对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $