第8章 四边形单元达标测试卷-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期

第8章 四边形单元达标测试卷（苏科版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列关于特殊四边形性质的说法，正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形 2．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 4．在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 5．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 6．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 7．如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 8．已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 9．如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 10．如图，在正方形中，点E，F分别为边上两点，满足，过点作于点，过点作于点，作的角平分线交于点．若，，则a，b，c满足下列哪个选项中的数量关系（   ） A．B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图，在中，平分，，，则的长是 ． 12．下列说法正确的有 ．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 13．如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为 ． 14．如图，四边形为长方形，点A在x轴上，点C在y轴上，B点的坐标为，将沿翻折，点A的对应点为点E，交于点D，则线段的长为 ． 15．如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④若平分，则． 其中正确结论的序号是 ． 16．如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕 ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 18．在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 19．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 20．如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 21．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 22．如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 23．如图，，，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积； (3)如图，延长交于点，点为直线左侧一点，且，，连接．求证：． 24．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 四边形单元达标测试卷（苏科版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列关于特殊四边形性质的说法，正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是平行四边形及特殊平行四边形的性质、轴对称图形的识别．根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的性质及轴对称图形的定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，故原说法错误，该选项不符合题意； B、“正方形的对角线相等且互相垂直平分”，原说法正确，该选项符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，故原说法错误，该选项不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 3．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 4．在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形为矩形，故A正确，不符合题意； B、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴四边形为等腰梯形或矩形，故B错误，符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故C正确，不符合题意； D、如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D正确，不符合题意； 故选：B． 5．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查等腰梯形的性质、面积计算和直角三角形的性质等知识点的理解及运用．如图，根据已知可求得，，及，的长，再根据已知求得，的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，由题意易得，，   ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． 6．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分的性质是解题的关键． 根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，依次找出图中的全等三角形． 【详解】解：在中： ， 全等三角形有：   因此，图中的全等三角形共有对，对应选项C． 故选：C． 7．如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练运用勾股定理解决问题是解题的关键． 如图，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得到，作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 8．已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，坐标与图形；根据题意求得点，根据旋转的性质可得分别对应，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，矩形的周长为12， ∴， ∴，， ∵的中点为坐标原点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点逆时针旋转后与点重合， 将绕着点逆时针旋转得到， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 9．如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．过点作于点，先根据菱形的性质可得，，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵菱形的边长为5，且， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 10．如图，在正方形中，点E，F分别为边上两点，满足，过点作于点，过点作于点，作的角平分线交于点．若，，则a，b，c满足下列哪个选项中的数量关系（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点K，设交于点H，过点M作于点L，证明，可得，再证明为等腰直角三角形，可得，从而得到，从而得到，可证得四边形为正方形，进而得到，可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点K，设交于点H，过点M作于点L， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：D 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图，在中，平分，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，根据等角对等边证明边相等，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据平行四边形的性质，得出，，再利用平行线的性质证明，结合角平分线的意义得出，从而可得出，再利用线段差求得即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 12．下列说法正确的有 ．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了直角梯形、等腰梯形的定义和性质，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．根据梯形的定义和性质逐一判断各说法是否正确． 【详解】解：①有两个直角的四边形不一定是直角梯形，因为可能没有一组对边平行，不符合梯形定义；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这是等腰梯形的判定定理，正确；③梯形包括直角梯形、等腰梯形和一般梯形，不能仅分为两种，错误；④等腰梯形有一条对称轴，是轴对称图形，正确． 故答案为②④． 13．如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了菱形的性质的运用，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分． 连接，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到都是直角，即可得到四边形是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又 ∵是的中点， ∴， 又 ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵菱形的面积为， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：3． 14．如图，四边形为长方形，点A在x轴上，点C在y轴上，B点的坐标为，将沿翻折，点A的对应点为点E，交于点D，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质，翻折的性质，等角对等边，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由B点的坐标为，可知，，由翻折与长方形的性质可知，，则，在中，由勾股定理得，即，计算求解即可． 【详解】解：∵B点的坐标为， ∴，， 由翻折与长方形的性质可知，，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得, 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④若平分，则． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，等边对等角，矩形的性质，30度角的直角三角形的性质. 根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设交于点 由作图知，垂直平分 在矩形中， 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 ∴③错误 平分 ∴④正确． 故答案为：①②④． 16．如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定是解题的关键；过点B作于点E，连接，与交于点O，由折叠的性质可知：，垂直平分，即，由题意易得，则有，，然后可得四边形是菱形，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点B作于点E，连接，与交于点O，如图所示： 由折叠的性质可知：，垂直平分，即， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴； 故答案为． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 18．在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用； （1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到； （2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：∵是的中位线， ∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴的面积为． 19．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解题关键是利用矩形对角线性质、垂直平分线性质推出四边形的边的关系，结合特殊三角形性质与勾股定理计算进而求出面积． （1）由矩形性质得，结合、是的垂直平分线，证得，再由垂直平分线性质得、，推出，判定四边形是菱形． （2）由矩形及垂直平分线性质得是等边三角形，推出，结合，用勾股定理求出；再由菱形性质得，结合中角的性质求出，最后用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形为矩形， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即 ， 解得 ， ， 四边形是菱形， ， 在中， ， ， ． 20．如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 21．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 22．如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或8或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解； （3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： 当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时四边形是中心对称图形， ∵， ∴， 当点Q没有到达点B时， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， 当点Q到达点C后，返回时， ∴， 当点Q第二次到达点B后， 综上所述：t的值为或8或 23．如图，，，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积； (3)如图，延长交于点，点为直线左侧一点，且，，连接．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（）根据余角性质即可求证； （）过点作的延长线于点，可证四边形是矩形，得到，进而得到，再证明，得到，，即得到，进而根据三角形的面积公式计算即可求解； （）分别过点和点作、的垂线，两垂线相交于点，可证四边形是正方形，得到，再证明，得到，证明，得到，，进而证明，得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴； （2）解：如图，过点作的延长线于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：如图，分别过点和点作、的垂线，两垂线相交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了余角性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $