精品解析：浙江台州市书生中学2025-2026学年第二学期高一起始考数学试卷

书生中学2025学年第二学期高一起始考数学试卷 时间：100分钟 满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 2. 若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ） A B. C. D. 或 3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 幂函数图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 7. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 8. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A. 2023 B. C. 3 D. 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列函数中，为奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同 B. 命题“，”的否定是“， C. 已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件 D. 三个内角A，B，C满足 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 11. 若向量，，则__________. 12. 函数的零点有_________个. 13. 已知，M，N是直线与曲线最近的两个交点，且，则的值为_____. 四、解答题：本题共5题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 14. 已知集合， （1）当时，求， （2）若，求实数m的取值范围. 15. 如图，在中，，点分别是的中点．设． （1）用表示； （2）如果，请判断的位置关系？用向量方法证明你的结论． 16. 已知定义在上的函数图象关于原点对称，且. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式. 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求图象的对称轴方程； （2）将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域. 18 已知函数，，其中. （1）判断与的奇偶性； （2）证明：； （3）若对任意，存在，恒有成立，求a取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 书生中学2025学年第二学期高一起始考数学试卷 时间：100分钟 满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 2. 若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C 3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示，进而求出向量夹角. 【详解】由，得，则，， 而，则，所以与的夹角为. 故选：B 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数为，设，根据为增函数，结合复合函数的单调性的判断方法，可得求函数的单调递增区间，即可得答案. 【详解】，设,则为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是， 故选：. 5. 幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将 两边平方，可得，计算进而可求解. 【详解】将 两边平方，得， 即，所以， 所以 故选：. 7. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由对数函数的定义域求得函数定义域，由复合函数对称性得到对称轴，复合函数的单调性求得单调区间，由单调区间求得最大值. 【详解】，∴定义域为，A选项正确； ，令， 则，因为二次函数的图象的对称轴为直线， 又因为的定义域为，所以的图象关于直线对称，D选项正确； 且在上单调递增，在上单调递减，B选项错误； 当时，有最大值，所以，C选项错误； 故选：AD. 8. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A. 2023 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求出的周期、可得答案. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，， 因为，所以， 可得，所以的周期为4， 故，，又，所以， ，所以， 则. 故选：C. 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列函数中，为奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的性质逐项判断即可. 【详解】由可得为偶函数，所以A错误； 由可得为奇函数，函数在上单调递增，即函数在上单调递增，所以B正确； 由可得为奇函数，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以C正确； 函数为非奇非偶函数且在上单调递增，所以D错误. 故选：BC 10. 下列命题正确的是（ ） A. 不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同 B. 命题“，”的否定是“， C. 已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件 D. 三个内角A，B，C满足 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用相同函数定义即得；对于B，利用带量词的命题的否定要求即可判断；对于C，通过取反例即可排除；对于D，利用三角形内角和关系与诱导公式推理即得. 【详解】对于A，由函数的定义可知，当两个函数的定义域相同，对应关系相同， 则值域一定相同，故A正确； 对于B，命题"，"否定是"，"，故B错误； 对于C，若取，，满足，是第一象限角，且，但，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 11. 若向量，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角的坐标表示，代入数据即可求解. 【详解】由，， 得， 则，，， 所以， 又， 所以， 故答案为： 12. 函数的零点有_________个. 【答案】2 【解析】 【分析】通过判断函数的单调性，结合零点存在定理判断函数零点的个数；或令，则或.求解可得方程的解，即函数的零点，从而得到其零点个数. 【详解】方法一：由，得： 当时，. 此时，在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以在上有一个零点，在上没有零点. 当时，， 所以在上单调递增. 又，所以在上有一个零点. 综上所述，函数的零点有个. 故答案为：. 方法二：令，则或. 对于， 由，得， 因为，所以； 对于， 由，得，所以，所以，满足. 所以. 综上，方程的解为和. 所以函数的零点有个. 故答案为：. 13. 已知，M，N是直线与曲线最近的两个交点，且，则的值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据得，即可解出的值. 【详解】相邻的两个交点M，N的横坐标分别为，，，则， ∵， ∴或， 令，得，， 则，故 故答案为： 四、解答题：本题共5题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 14. 已知集合， （1）当时，求， （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】代入m的值求出集合A，再求出集合A的补集，进而可以求解； 由，则，然后根据集合的包含关系建立不等式即可求解． 【小问1详解】 当时，，所以或， 又，所以， 【小问2详解】 因为，所以， 当，即时，，满足题意， 当时，由，得到，解得， 所以实数m的取值范围为或 15. 如图，在中，，点分别是的中点．设． （1）用表示； （2）如果，请判断的位置关系？用向量方法证明你的结论． 【答案】（1）（1）； （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出， （2）设，则，．计算即可. 【小问1详解】 由，可得， 又点分别是的中点， 则． 小问2详解】 ，证明如下：设，则，． ． ∴，∴． 16. 已知定义在上的函数图象关于原点对称，且. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合代入计算即可得； （2）借助单调性的定义证明即可； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得为奇函数， ，即， 又，故， 即，此时有， 故为奇函数，图象关于原点对称， 故； 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 令， 则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； 【小问3详解】 由题意可得为奇函数， 则得， 又在上单调递增，则有，解得， 故不等式的解集为. 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求图象的对称轴方程； （2）将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及诱导公式，可得函数的解析式，进而求出函数的对称轴的方程； （2）由函数的平移可得的解析式，再由自变量的范围，求出函数的值域． 【小问1详解】 ， ，所以函数的最小正周期，可得， 所以， 可得对称轴满足的条件，， 即对称轴方程为，； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为,， 所以,， 所以,， 所以的值域为． 18. 已知函数，，其中. （1）判断与的奇偶性； （2）证明：； （3）若对任意，存在，恒有成立，求a取值范围. 【答案】（1）为奇函数，为偶函数. （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用函数得奇偶性的定义求解， （2）利用题目的函数的解析式证明题目给的等式即可， （3）由小问（2）中得到的结论，将题目中的不等式转化成，接着转化成，进而求解结果. 小问1详解】 因为与的定义域均为， 且满足， ， 即为奇函数，为偶函数. 【小问2详解】 证明： 因为 【小问3详解】 由（2）知， 所以. 当时，不等式成立， 当时，即. 又因为， 所以， 即为. 因，，所以， 所以， . 所以， 解得， 又因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $